2022年导数与函数的极值和最值问题 .pdf

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1、精品资料欢迎下载导数与函数的极值和最值一 函数极值的定义极大值：已知函数( )yf x，设0 x是定义域内任意一点，如果对0 x附近的所有点x，都有0( )()f xf x，( )0fx，而且在0 xx附近的左侧( )0fx，右侧( )0fx，则称函数( )f x在点0 x处取得极大值，并把0 x称为函数( )f x的一个极大值点 . 极小值：已知函数( )yf x，设0 x是定义域内任意一点，如果对0 x附近的所有点x，都有0( )()f xf x，( )0fx，而且在0 xx附近的左侧( )0fx，右侧( )0fx，则称函数( )f x在点0 x处取得极小值，并把0 x称为函数( )f x

2、的一个极小值点 . 注：可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为 0 的点不一定是函数的极值点 . 求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域，求出导函数( )fx. （2）求方程( )0fx的根. （3）根据极值的定义确定极大值和极小值. 例 1 求函数31( )443fxxx的极值 . 例 2 已知函数( )2(1)lnf xfxx，则( )f x的极大值为 _ 例 3 函数23( )(1)2f xx的极值点是 _.0 x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页精品资料欢迎下载练习 1 若函数322( )f xxa

3、xbxa在1x处取得极值 10，则a_ ，b_. 练习 2 已知函数( )(sincos )xf xexx，若( )(sincos )xf xexx，若02011x，则( )f x各极大值和为 _. 练习 3 设函数3221( )2313f xxaxa x，求函数( )f x的极值. 二 极值与参数范围问题例 1 已知函数3211( )32f xxxcxd有极值，则实数c的取值范围为 _. 例 2 若函数21( )ln12fxxx在其定义域内的一个子区间(1,1)aa内存在极值，则实数a的取值范围为 _. 例 3 已知函数( )(ln)f xxxax有两个极值点，则实数a的取值范围为 _. 精

4、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页精品资料欢迎下载例 1 已知( )lnf xaxx，(1, )xe且( )f x存在极值，则实数a的取值范围为_. 例 2 已知( )(ln)f xaxx，若函数图像在点(2,(2)f处切线倾斜角为4，且32( )( )2mg xxxfx在区间(2,3)上总存在极值，则实数m的取值范围为_ 练习 3 已知函数43219( )42f xxxxcx有三个极值点，则实数c的取值范围为_.( 27,5)例 4 设2( )ln(1)f xxax有两个极值点，则实数a的取值范围为 _1(0,)2精

5、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页精品资料欢迎下载三 函数最值（最大值和最小值）如何求函数在 , a b上的最值：（1）求函数( )yf x在( , )a b内的极值和端点值( ),( )f af b. （2）将函数( )yf x的各极值与端点处的函数值( ),( )f af b比较，其中最大的一个是最大值，最小值的一个是最小值. 例 1 已知函数3( )128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则 Mm_. 32练习 1 函数( )lnf xxx在区间 0,e 上的最大值为 _ 练习 2 已知函

6、数2( )(2 )xf xxx e， 2,)x，则( )f x的最小值为 _. 四 函数最值相关的参数范围的问题例 1 已知( )lnf xaxx，0,xe ，当a=_时，( )f x最小值为 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页精品资料欢迎下载例 2 已知函数3( )(3)f xaxax在1,1 的最小值为3，则实数a的取值范围为_ 3,122练习 1 若函数3212( )33f xxx在区间( ,5)a a上存在最小值，则实数a的取值范围为 _ 练习 2 若函数( )lnaf xxxx，若( )fx有最值，则实数a的取值范围为 _ 0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页