习题课定积分的应用.pptx

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1、一. 基本要求： 1.深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。“元素法”解决物理、力学及应用中的某些问题。二. 重点、难点与例子（共11例）. 1. 几何应用方面： (1) 求面积 (2) 求体积 (3) 求弧长 (4) 求侧面积 2. 物理应用方面： (1) 求平行力作功 (2) 求压力 3. 定积分其他应用: (1)求函数平均值 (2) 实际问题三. 课堂练习(共7题)四. 综合题(共3题) 综合题解答第1页/共39页一. 基本要求(1) 因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能 解决任意（边界是已

2、知函数的）平面图形求面积的问题。(2) 由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面积已知的立体 求体积问题。 旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。 一般立体的求体积问题以后用二重积分或三重积分可以解决。(3) 利用弧微分（在局部，用切线长 ds 近似曲线长 s），可以解 决任意平面曲线（曲线函数已知）求弧长的问题。 一般空间曲线的求弧长问题以后用第一型曲线积分可以解决。(4) 通过弧微分，求旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决。 求一般曲面的面积问题以后用第一型曲面积分可以解决。1. 定积分的几何应用第2页/共39页2. 元素法(1) 怎样的量 U 可以用定积分计算？1o

3、量 U 与给定区间a, b有关；2o 量 U 对区间a, b具有可加性.(2) 计算步骤：1o 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间a, b ；2o x a, b,求小区间x, x+dx上的部分量 dU ; 称 dU= f (x)dx为元素 . d)( baxxfU计计算算定定积积分分(3) 计算中的关键和难点：找到 f (x) .f (x)的表示式与选择的坐标系有关。3o第3页/共39页S baxxfS d| )(|. dcyyS d| )(| . 2d)(21S.(1) 求面积Scd直角坐标系极 坐 标 系边界函数图形面积公式y = f ( x )x = (y) = ( )Sabx

4、 = a, x = b, y = 0y = c, y = d, x = 0 = , =二二. 重点、难点与例子重点、难点与例子. 1. 几何应用方面几何应用方面第4页/共39页例 1.的的区区域域的的面面积积。成成轴轴所所围围轴轴、和和，直直线线求求曲曲线线 3 1 2yxyxxy 解：3yx013先画图.S1S2联联立立，解解交交点点： 312yxxy 21 yx21SSS 102d)1(xx2221 223103 xx. 310 .需分块儿！1第5页/共39页例例 2面面积积。的的圆圆内内公公共共部部分分图图形形的的所所围围成成，求求三三条条圆圆曲曲线线 4)3()1( , 4)2( 4

5、222222 yxyxyx210 xy3解：先画图.弓弓SSS3 . 弓弓主要是求主要是求 S用极坐标：.cos4 4)2( 22 ryx即即.r = 4 cos3 23 2d)cos4( 21 弓弓S 23 )dcos2(14 .332 弓弓SSS3 )33 2(33221 ).3 (2 .还有别的方法吗？方法 I.第6页/共39页例例 面面积积。的的圆圆内内公公共共部部分分图图形形的的所所围围成成，求求三三条条圆圆曲曲线线 4)3()1( , 4)2( 4 222222 yxyxyx210 xy3解： 方法 II.弓弓SSS3 . 弓弓主要是求主要是求 S用初等方法求图示部分：3 SSS扇

6、扇弓弓.33 2 弓弓SSS3 )33 2(33221 ).3 (2 .322132212 2第7页/共39页例例 3图图形形的的面面积积。的的平平面面所所围围成成求求由由星星形形线线 sin ,cos 33 ayax 解：0 xyaaaa 由由对对称称性性 0 2 33)cosd(sin4tataS axyS 0 d4 2 0 242dcossin12ttta 2 0 642d)sin(sin12ttta 264253124231122a. 832a .:作作变变量量代代换换 sin cos33 ayax ，第8页/共39页 (2) 求体积1o 已知平行截面面积为A(x)的立体体积 baxx

7、AVd)(2o 绕 x 轴旋转的旋转体体积 baxxfVd)(2xA(x)xba 曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴xf(x)bxa.第9页/共39页yx03o 绕 y 轴旋转的旋转体体积 dcyygVd)(2yx0 x=g(y)cd.4o 用柱壳法求绕 y 轴旋转的旋转体体积曲边梯形 y= f (x), x = a, x = b,y = 0 绕 y 轴.af (x) baxxxfVd)(2.如下例：b第10页/共39页2a例4 4：用柱壳法求旋转体体积. .：方方法法 2的的体体积积。轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转体体围围成成的的图图形形绕绕所所及及与与直直线

8、线求求曲曲线线 0 2, )0( yyaxaxaaxy yx0a baxxxfVd)(221 VVV 解： 21d)( 21212ayya . 1轴轴：绕绕方方法法y aaxxax2d 2.22a 由柱壳法的公式：.axy 分块儿求, 怎么分？S1S221 1 2121)2(22aa.22a 显然柱壳法简便。第11页/共39页 )()(tytx )( abxxflbad)(12 tttld)()( 22 22d)()( l y = f (x)()(). (3) 求弧长. .xy0(t)(t)0(a b )( )( )第12页/共39页例 5. 2 223lxyxy所所围围成成的的图图形形的的周

9、周长长及及求求由由曲曲线线 解：先作图 .图形关于 y 轴对称.2781313 .0 xy11CBA 2232 xyxy解解交交点点：得A(1,1), B(1,1)2241 2 2 , 圆圆记记圆圆的的周周长长为为 l 1 0d491yy 1 0)49d(1 49194yy.圆圆lAB 41ABOAl 2 1 02d)(1yyxOA.2 2271613262 ABOAl23xy 第13页/共39页例 6为为正正整整数数）的的全全长长求求曲曲线线nnxnynx,0.( dsin 0 解：nxxysindd tnx 令令 0d sin1nxnx 0d sin1ttn. 4n . 0d sin1|c

10、os|tttn 220d sin1cosd sin1costttntttnxxflbad)(12 2 20d sin1)sin1d(d sin1)sin1d(tttntttn第14页/共39页曲线 y= f (x) 绕 x 轴旋转, baxxfxfAd )(1 )( 2 2侧侧面面积积bxa .(4) 求旋转体侧面积 A . txtytx , )()( 轴轴旋旋转转绕绕曲曲线线 ttttAd )()( )( 2 22侧侧面面积积.曲线绕 y 轴旋转有类似的结果。第15页/共39页bbax0y. )( )( 222Axbaabyx面面的的面面积积轴轴旋旋转转而而成成的的圆圆环环绕绕求求曲曲线线

11、解：曲线用极坐标： tabytaxsincos 202222d cossin)sin( 2ttatatab例 7 20 t ttttAd )()( )( 2 22侧侧面面积积由已知公式：. 42ab .第16页/共39页平行力：指大小变而方向不变的力。一般变力（大小、方向都变）的作功问题用第二型曲线积分解决。2. 物理应用方面xF(x)a b作作功功：求求平平行行力力 )( )1(xF baxxFWd)(0.一般情况下，力函数F(x)需要自己寻找。如下例：第17页/共39页解法 I：选择图示坐标系.例8.1 , 0 x.xy2米10 xx+dx上所消耗的功近似地为：)1(d 8 . 9d2 x

12、xyWxxxd)1)(1(2 xxxxd)1(32 1032d)1(xxxx12 118 . 9 W ./9.83米米千千牛牛设设水水的的比比重重为为).(2 .28千千焦焦 .将这薄层水抽到地面耗耗的的功功。水水全全部部抽抽到到地地面面上上所所消消装装满满水水。求求将将容容器器中中的的内内米米的的半半球球形形容容器器，容容器器米米深深处处埋埋有有一一半半径径为为离离地地面面 1 2第18页/共39页解法 II： 选择图示坐标系.例8,0 , 1 y.yx2米10yy+dy将这薄层水抽到地面上所消耗的功近似地为：)1(d 8 . 9d2yyxW yyyd)1)(1(2 yyyyd)1(32 0

13、132d)1(yyyy耗耗的的功功。水水全全部部抽抽到到地地面面上上所所消消装装满满水水。求求将将容容器器中中的的内内米米的的半半球球形形容容器器，容容器器米米深深处处埋埋有有一一半半径径为为离离地地面面 1 2= 9.8 W ).(2 .28千千焦焦 第19页/共39页解法 III： 选择图示坐标系.,1 , 0 y.yx2米10yy+dy将这薄层水抽到地面上所消耗的功近似地为：)2(d 8 . 9d2yyxW yyyd)2()1(1 2 yyyyd)44(32 1032d)44(yyyy显然，选择方法 I和方法 II的坐标系计算功比用方法 III简便一些.例8=W ).(2 .28千千焦焦

14、 耗耗的的功功。水水全全部部抽抽到到地地面面上上所所消消装装满满水水。求求将将容容器器中中的的内内米米的的半半球球形形容容器器，容容器器米米深深处处埋埋有有一一半半径径为为离离地地面面 1 2第20页/共39页(2) 求压力 比如，求水对闸门的压力。压力在不同深度是不同的。水对闸门的总压力等于闸门在不同深度处所受压力之总和。因此，可以用定积分求压力。 那么，如何求垂直竖立的一块面积所受的压力呢？ 由物理学中“帕斯卡定律”：在同一深度，液体在各个方向产生同样的压强。因此，垂直竖立的一块面积所受的压力等于把此块面积水平放置在同一深度所受的压力，即此块水平面积上承受的液体重量。 看下例：第21页/共

15、39页例 9是是多多少少？求求闸闸门门所所受受压压力力水水的的比比重重为为，高高为为。已已知知三三角角形形底底边边长长它它的的底底边边与与水水平平面面相相齐齐在在水水中中，闸闸门门，这这闸闸门门垂垂直直竖竖立立某某水水坝坝中中有有一一个个三三角角形形Pha, . 解： 选择图示坐标系.xoyahx+dxx, , 0hx 先求这一薄层的长 b :bhxhab 由由hxhab)( 得得这一薄层的面积约为:xhxhaxbd)(d 所以这一薄层受的水压力约为:xxhxhaxxbPd )(d d hxxhxhaP0d)(.62 ah.第22页/共39页的的平平均均值值： 上上连连续续函函数数闭闭区区间间

16、求求 1 1 )(, )(xfbaabf (x) baxxfabxfd)(1)( 3. 定积分其他应用： .)( xf. , 10 的的平平均均值值求求在在这这个个过过程程中中压压力力膨膨胀胀到到由由在在等等温温过过程程中中，若若体体积积一一定定质质量量的的理理想想气气体体，例例PVVba由由物物理理学学知知：解： 压压力力的的平平均均值值为为. lnababVVVVk . VkP .是是常常数数k是是体体积积，V baVVabVVkVVP d1第23页/共39页,204)( ,2000 11.2 rrp其其人人口口密密度度为为年年进进行行人人口口普普查查统统计计某某城城市市例例解：. (2)

17、 需要用元素法解决的实际问题的的单单位位为为每每平平方方公公里里人人口口密密度度表表示示距距城城市市中中心心的的距距离离其其中中)(,rpr数数。公公里里圆圆形形区区域域内内人人口口总总半半径径为为万万人人。试试求求距距城城市市中中心心2102r0,2 , 0 r 对对应应一一个个圆圆环环，小小区区间间 , rrr 数的近似值为：数的近似值为：此圆环域上对应的人口此圆环域上对应的人口,d rr 一一个个增增量量给给rrrpNd2)(d 20d2)(rrrpN 202d202 4rrr202)20ln( 4 r).10(56ln 4万人万人 具具有有可可加加性性，因因总总人人口口数数对对区区间间

18、2 0dr第24页/共39页 的的一一段段弧弧长长。到到从从 求求曲曲线线4 4. . 积积。与与其其渐渐近近线线间间图图形形的的面面曲曲线线求求面面积积。的的所所围围图图形形: :求求三三条条曲曲线线面面积积。的的轴轴所所围围图图形形上上与与在在求求曲曲线线 34 43 1 e 3. 2,1 2. 2 , 0 cos . 122 rxyxxyxyxxyx三. 课堂练习第25页/共39页 。轴轴旋旋转转所所得得立立体体的的体体积积 所所围围图图形形绕绕求求曲曲线线 10, ,2 . 622xyxxyxy 旋转所得立体的体积.旋转所得立体的体积. 所围图形绕所围图形绕求曲线求曲线1 1 , 2

19、, 1 ,2 2 yyxxxy 积积。曲曲面面面面的的成成生生旋旋转转，求求轴轴旋旋转转极极) )绕绕( (1 1 线线将将心心形形 cos . 7a 5.第26页/共39页).()(2d)()(, ,)( . 21bfafabxxfxfbaCxfba 非非减减，则则.2004)()( ), ,( )()(,0)(,0)( ,)( .3 BAbahBhAafxfbaDxf使使唯唯一一，与与试试证证：对对图图示示两两块块面面积积，且且的的面面积积最最小小。两两点点处处的的法法线线所所围围图图形形及及在在曲曲线线，使使这这条条曲曲线线和和它它中中试试选选一一条条在在曲曲线线族族 )0 , 1()0

20、 , 1( )0)(1( 1.2 axay四. 综合练习题f (x)abB(h)A(h)f (h)h0yxxy011a)1(2xay 第27页/共39页返回首页.第28页/共39页轴轴所所围围图图形形面面积积。 上上与与在在求求曲曲线线xxy 2 , 0 cos . 1 三. 课堂练习解答= 4xxSd |cos| 20 xxdcos420 解：第29页/共39页2.2ln23 . 21d)1(xxxS所所围围面面积积。: :求求三三条条曲曲线线 2,1 xxyxy1221xy0解交点：解交点：解：. )2 , 2( ),1 , 1( 得得第30页/共39页积积。与与其其渐渐近近线线间间图图形

21、形的的面面求求22e xxy 曲线有渐近线： y = 0 .= 2 02de22xxx3.线线：近近渐渐先先求求 S 面面积积解：xy00elim22 xxx由对称性 022e2x第31页/共39页的的一一段段弧弧长长。到到从从 求求曲曲线线3443 1 r. 344322d11 .4.解： 22d )()( rrl这是一条双曲螺线.由弧长公式. 34432)1d(1 3443234432d1111 34 43 2)1ln(3545 23ln125 第32页/共39页xy0. 1 1 , 2 , 1 ,2 2旋旋转转所所得得立立体体的的体体积积 所所围围图图形形绕绕求求曲曲线线 yyxxxy.

22、 12 2 xy则抛物线方程变成则抛物线方程变成5.解：121x把 x 坐标轴平移至 y = 1处. 21241)d4(xxx.60 293 2122d1)2(xxV第33页/共39页得得立立体体的的体体积积。轴轴旋旋转转所所 所所围围图图形形绕绕求求曲曲线线 10, ,2 22xyxxyxy 体积： )52(320 .xyoy = 2xy = x25 6.解： 左左锥锥右右锥锥5532)22(3d)(102252 xxV第34页/共39页7. 积积曲曲面面面面的的生生成成旋旋转转，求求轴轴旋旋转转极极) )绕绕( (1 1 线线将将心心形形. cosAa 解： d)( 222yA由极坐标和直

23、角坐标的关系：2cos2sin22cos22 a2sin2cos43 a . d)(d22 S d sin)cos1(2222aa d )cos1(22 a d 2cos422a d2cos2a 0 3d2cos22sin2cos4 2 aaA 042d2sin2cos 16 a2 532a . sin)cos1(sin ay第35页/共39页的的面面积积最最小小。两两点点处处的的法法线线所所围围图图形形及及在在曲曲线线，使使这这条条曲曲线线和和它它中中试试选选一一条条在在曲曲线线族族)0 , 1()0 , 1()0)(1(2 axayxy011a)1(2xay 2S综合练习题解答 1.解：处

24、处的的法法线线方方程程为为曲曲线线在在点点)0 , 1( )1(21 xay 10d)1(212xxaS)21 , 0(:ay 轴交点轴交点与与aa4132 a21 S.aaSaf41322)( 令令01238)( 22 aaaf由由.46 a解解得得：. 0)46( f321)( aaf 而而.)46(是是极极小小值值f).1(46 2xy 故故所所求求曲曲线线为为.第36页/共39页)()(2d)()(, ,)(1bfafabxxfxfbaCxfba 非非减减，则则ba证证明明：,bax xattfxfafaxxF d)()()(2)( )(xF)(2)()(21xfaxxfaf 中值定理

25、中值定理)( 0)()()(21xafxfax ,)( xF, xb换换成成动动点点将将令令：)()(2)()(21xfxfaxxfaf . 证毕证毕2.f (x)0)()( aFbF即即要证曲边梯形面积不超过梯形面积。第37页/共39页.2004)()( ), ,( )()(,0)(,0)( ,)( BAbahBhAafxfbaDxf使使唯唯一一，与与试试证证：对对图图示示两两块块面面积积，且且f (x)ab 证证明明：B(h)A(h)f (h), 0)( aF.2004)()( BA即即： )(hF又又,)( hF bhhaxhfxfxxfhfd)()(2004d )()( 0)( ),( Fba使使 habhhbhfxxfxxfhfah)(2004d)(2004d)()()()( 2004)()(hbahhfhF 0 唯唯一一。 , 0)( bF3.h证证毕毕。 )(2004)()( hBhAhF 令令0yx第38页/共39页感谢您的观看！第39页/共39页