2412垂直于弦的直径（1）.ppt

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1、24.1.2垂直于弦的直径(1) 问题问题: :你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗? ? 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：可以发现：圆是轴对称图形。任何圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴一条直径所在直线都是它的对称轴 不借助任何工具，你能

2、找到圆形不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗纸片的圆心吗? ? 如图如图,AB,AB是是O O的一条弦的一条弦, , 直径直径CDAB, CDAB, 垂足为垂足为E.E.你能发现图中有那些相等的线段你能发现图中有那些相等的线段和弧和弧? ? 为什么为什么? ?OABCDE线段线段: AE=BE: AE=BE弧弧: AC=BC, AD=BD: AC=BC, AD=BD垂径定理垂径定理垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧CDABCDAB CD CD是直径，是直径， AE=BE, AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD

3、 =BD.OABCDE 温馨提示温馨提示: : 垂径定理是圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理, ,三种语言要相互转化三种语言要相互转化, ,形成整体形成整体, ,才能运用自如才能运用自如. .EDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD例例1 1、如图，在、如图，在O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O的半径。的半径。OABE解：解：过点过点O O作作OEABOEAB于于E E，连接，连接OAOAc

4、mOEcmABAE3421cmOEAEAE5342222即即O的半径为的半径为5 5cm.cm.例例2 2、如图，、如图，CDCD是是O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长。的长。OABECD解：解：连接连接OAOA， CD CD是直径，是直径，OEABOEAB AE=1/2 AB=5 AE=1/2 AB=5设设OA=xOA=x，则，则OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=13 OA=13 CD=2OA=26 C

5、D=2OA=26即直径即直径CDCD的长为的长为26.26.EDCOAB1、下列图形是否具备垂径定理的条件？、下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCAB2 2、如图，、如图，ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDABCDAB于于E E，则下列结论中则下列结论中不成立不成立的是（的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BCOABECD3 3、如图，、如图，OEABOEAB于于E E，若，若O O的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则A

6、B=AB= cmcm。OABE解：解：连接连接OAOA， OEABOEABcmOEOAAE86102222 AB=2AE=16cm AB=2AE=16cm4.4.过过o o内一点内一点M M的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦长为最短弦长为8 8, ,那么那么o o的半径是的半径是5.5.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直径直径CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那那么么C C到到ABAB的距离等于的距离等于6.6.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圆心圆心O O到到ABAB的中点的中点C C的距离为的距离为1 1, ,那么那么O O的半径为的半

7、径为7.7.如图如图, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分别为垂足分别为M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,则则AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或956413Cm8 8、如图，点、如图，点A A、B B是是O O上两点，上两点，AB=8,AB=8,点点P P是是O O上的动点（上的动点（P P与与A A、B B不重合）不重合）, ,连接连接APAP、BP,BP,过点过点O O分别作分别作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,F,EFEF= = 。?O?A?B?P?E?

8、F4 9.如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3， 求弦求弦AB的长。的长。EDOCAB 10. 10.如图，如图，ABAB是是O O的弦，的弦，OCA=30OCA=300 0，OB=5cmOB=5cm，OC=8cmOC=8cm，则，则AB=AB= ；OABC30308 85 54 4DF 你能利用垂径定理解决求你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗赵州桥拱半径的问题吗? ?37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常关于弦的问题，常常需要常需要过圆心作弦过圆心作弦的垂线段的垂线段，这是一，这是一条非常重要的条非常重要的辅助辅助

9、线线。圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦半径、弦构成构成直角直角三角形三角形，便将问题，便将问题转化为直角三角形转化为直角三角形的问题。的问题。ABOCD解：解：如图，用如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为r.r.经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中的中点，点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m AD=1/2 AB=18.7m AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2 222ADODOA2222 . 77 .18rr解得解得r=27.9r=27.9（m m）即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.9m.27.9m.