最新多元分布的基本概念精品课件.ppt

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1、多元分布的基本概念多元分布的基本概念 在研究社会、经济现象和许多实际问题时，经常遇到多指标的问题。例如研究职工工资构成时，计时工资、基础工资与职务工资、各种奖金、各种津贴等都是同时需要考察的指标；又如在研究公司的运营情况时，要涉及公司的资金周转能力、偿债能力、获利能力及竞争能力等财务指标，这些都是多指标的研究问题。显然，仅研究某个指标或将这些指标割裂开来分别研究，都不能从整体上把握所研究问题的实质。一般地，假设我们所研究的问题涉及p 个指标，n次观测，这将会得到np个数据，我们的目的就是对观测对象进行分组、分类或分析、考察这p个变量之间的相互关联程度，或找出内在规律等。下面我们简要介绍多元分析

2、中涉及的一些概念。若 在点 连续，则),(21pxxxf),(21pxxx),(),(212121ppppxxxFxxxxxxf 0),(121 pxxxF且有1),(1211 ppdxdxxxxf （四）、边际分布 设有连续随机向量 ),(21 pxxxx不妨设 是 的q个分量组成。则 的分布为 ),(21)1(qxxxx),(21pxxxx),(21)1(qxxxx),(),(221121)1(qqqaxaxaxPaaaF),(12211pqqqxxaxaxaxPppaadxdxxxxfq121),(1qpqpaadxdxdxdxxxxfq1121),(1所以 的边际密度为),(21)1(

3、qxxxxpqpqdxdxxxxfxxf1211)1(),(),(例 有概率密度函数),(21xxx)sinsin1 (21),(212212221xxexxfxx 试分别求 的边际密度。21,xx22111),()(dxxxfxf221211)sinsin1 (21)(2221dxxxexfxx2212211)sinsin1 (2121)(2221dxxxeexfxx2221222211sinsin212121)(32212221dxxexedxeexfxxxx22121xe1x2222221)(xexf同理1x三、多元变量的独立性1、定义设 和 是两个随机向量，若 对一切 、成立，则称 和

4、 相互独立。y)()(),(yxyxyFFFxxxyxy 2、设 和 是两个连续随机向量， 和 相互独立，当且仅当 或对一切 、 成立。)()(),(yxyxyFFFx)()|(xyxxffxyxyxy3、设 是 个随机向量，若 对一切 成立，则 相互独立。n21xxx,n)()()(),(21mmmFFFFxxxxxx2121nm n21xxx,n21xxx, 例 设X=(x1,x2,x3)有概率密度函数其它00,0, 0),(321)(321321xxxexxxfxxx试证 x1,x2,x3相互独立。13213200)(11)(xxxxedxdxexf232132200)(22)(xxxx

5、edxdxexf33213200)(33)(xxxxedxdxexf四、随机向量的数字特征设 有p个分量。若 存在，我们定义随机向量X的均值为 （一）、随机向量X的均值111212122212ppnnnpxxxxxxxxxX 是由随机变量构成的随机矩阵。12( , ,)PXX XX1,2,iiEXip1122( )ppE XE XEE XX是一个p维向量，称为均值向量。 2、性质 1） 设为常数，则 ； )()(XXaEaE2）设 分别为常数矩阵，则CBA,CBXACAXB)()(EE 3）设 为 个同阶矩阵，则n21XXX,n)(n21XXXEn21XXXEEE （二）、协方差矩阵 1、定义

6、：设 和 分别为 维和 维随机向量，则其协方差矩阵为),(21pxxxx),(21qyyyypq)()()()()()(22112211qqppyEyyEyyEyxExxExxExE),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(212221212111YXyxyxyxyxyxyxyxyxyxqpppqq的协方差矩阵为),(21pxxxx)var(),cov(),cov(),cov()var(),cov(),cov(),cov()var()(2122121211pppppxxxxxxxxxxxxxxxVarx2、性质 1）

7、若(x1,x2,，xp) 和(y1,y2,，yp)相互独立。则0),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(212221212111qpppqqyxyxyxyxyxyxyxyxyx 若(x1,x2,，xp)的分量相互独立, 则协方差矩阵，除主对角线上的元素外均为零，即)var(000)var(000)var()(21pxxxVarx 2）随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。 证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则axxEaaa)()(axxaE0)(2xaE 3、若(x1,x2,，xp) 和(y1,y2,，yp)分别是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则 ByxAByAx),(),(CovCov 三、相关系数矩阵 若(x1,x2,，xp) 和(y1,y2,，yp)分别是p和q维随机向量，则其相关系数矩阵为),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111qpppqqyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx。，两随机向量相互独立若0yx),(若随机向量 的协方差阵存在，且每个分量的方差大于零，则X的相关阵定义为：1,PXXX,ijijppR corrXXrcov,ijijijX XrD XD X,1,2,i jp 也称为分量 和 之间的相关系数。ijriXjX