最新大地线的定义与性质PPT课件.ppt

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1、大地线的定义与性质大地线的定义与性质2.2.5 大地线（续大地线（续1）大地线的定义：大地线的定义：大地线的主法线与曲面法线处处重合。大地线的性质：大地线的性质：1、大地线上任何点的密切平面就是该点 的法截面； 2、曲面上连接任何两点的最短直线必为 大地线。 3、大地线的测地曲率等于0曲线的测地曲率：曲线的测地曲率：曲线的曲率在曲面切平面上的投影。大地线的曲率：大地线的挠率ANNAMAkg2222cos11sincosAANAAMNgcossincossin1122.2.5 大地线（续大地线（续8）又如图所示：MdBdrBBMdBdrBsin代入上式，得：AdSNBdSMAABNBAMABNB

2、dBAMdAsintancoscoscossinsin coscossinsin三个微分关系式可整理为：ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintan cossin cos 32.2.5 大地线（续大地线（续9）3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程 大地线始点坐标P0(B0,L0)，大地线上任何点的位置向量都可以展开成S,A的级数形式： 5554443332221201241 6121sdsdsdsdsdsdsdsdsdsdsrrrrrrFrenet标架的坐标轴定义：x指向大地线的切向t， y指向大地线的主法向n，向内为正， z指向大地线的副法向

3、b，构成左手系。000,LBPASLBP,xyz42.2.5 大地线（续大地线（续10）显然有：dsdrt 根据曲线论中的Frenet公式：nbbtnntggggdSdkdSdkdSd 由以上两式可求出各阶导数：23223243242545 32gggggggggggggggggdkddddkkkkdSdSdSdSdSdkd kdkddkkkkdSdSdSdSdSdkdS rtrnntnbrtnbrt2.2.5 大地线（续大地线（续11） 将上式代入大地线展开式 ，得Frenet标架下的三维坐标：443423223254432224161241612112018161SdSdkdSdkSkzS

4、kkdSkdSdSdkSkySkSdSdkkSkSxgggggggggggggggg5ANNAMAkg2222cos11sincosAANAAMNgcossincossin112顾及公式：2.2.5 大地线（续大地线（续12）和：ANBdSdAMAdSdBsintan cos 求导得：ANAtdSdAAdSdBBdSdAtNdSdAdSdkAdSdBdSdkBdSkdANAtdSdAAkdSdBBkdSdkggggggggg22222232222222cos31sincos3cos1cos3 2.2.5 大地线（续大地线（续13）代入Frenet标架下的三维坐标公式 ，得：5423322422

5、23322222544323222sin2412sin121cos231241 cos21cos12112018cos3cos161AStNASNzStANAStNSANySNSNAtSANSx2.2.5 大地线（续大地线（续14） 将坐标系饶 y逆时针旋转A，得x”、y”、z”坐标系，则有：SA000, LBPLBP,xyzzx zyxAAAAzyxcos0sin010sin0cos 以P0点为原点的地平坐标系(站心坐标系) x、y、z，与x”、y”、z”坐标系的关系为：A000, LBPLBP,xyzzxyyzzyxx 2.2.5 大地线（续大地线（续15） 最后得到地平坐标系（站心系）中

6、的大地线方程，称为Weingarten级数。4222332222254432322254423232222cos231241 2coscos121120sin3cossin cos16sinsin120coscos8124 cos16coscosStANSNAtSANzSNASNAAtSANAASySNASANtSANAASx62.2.5 大地线（续大地线（续16） 法截弧为平面曲线，其挠率为0，同理可推得地平坐标系中的计算式为：42223322222544323222544323222cos231241 2coscos121120sin8cossin3 cos16sinsin120cos8c

7、os3 cos16coscosStANSNAtSANzSNASNAAtSANAASySNASNAtSANAASx2.2.5 大地线（续大地线（续17）4、基于大地线的椭球面曲线坐标系、基于大地线的椭球面曲线坐标系(1). 大地线极坐标系大地线极坐标系大地圆：大地圆：到极点具有相同大地线长 度的点所构成的轨迹。 由大地线长度和大地方位角可描述曲面点的位置 。As,rAdAsdsmdAdS0P如图所示：2222dAmdsdS对照第一基本形式，得：2 0 1mGFE由图中的微分直角三角形，得大地极坐标系中的微分关系式：sin1 sin1 cosdSdmmdSdmdSdAdSds2.2.5 大地线（续

8、大地线（续18）大地线的归化长度 m 的计算公式：44233222120cos3161NSAtNSNSSm222AzAyAxGm由 式求出偏导数代入得：62.2.5 大地线（续大地线（续19）(2). 测地坐标系测地坐标系 以过P0点的经线及其平行线为v曲线， 过P0点与经线正交的一族大地线为u曲线，构成的坐标格网称为测地坐标系测地坐标系测地坐标在v曲线方向用Sx， u曲线方向用Sy,xS00,LBxSd ydSdSyS222222xyxydsndssddsds即：2 0 1nGFE2.2.5 大地线（续大地线（续19）n 称为测地平行线的归化长度因子。222xxxxxszsysxGdssdn

9、由 式求出对A偏导数，并顾及A = 90，得：6xxxxxxsAAzszsAAysysAAxsx tNsAzAyNSNssAxyyyy223442226 0 1201612.2.5 大地线（续大地线（续20） 根据球面角超的定义，在球面直角三角形 中，球面角超为：xs00,LBdSysxdsdAxPxPP PPPPPxx 22222sinRsdsRsdsyxyx根据球面三角形的Legendre定理：322sin32sindAdsdAsxy32dAsdsyx77将 式代入上式，得：22311RssdsdAyyx2.2.5 大地线（续大地线（续21）代入测地平行线的归化长度因子公式，得：4422222360233611RsRsNsnyyy精确到二次项时的归化长度因子计算公式为：2221Rsny则与子午弧长相应的测地平行线的弧长为：2202202121RssdsRsndssyxsxysxxxx习习 题题1. 纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否就是大地线？2. 推导大地线的三个微分式。3. 试述测地坐标系的定义？测地平行线是否等距？测地大地线是否等距？4. 简述weingarten级数的推导步骤。