专题10曲线运动的动力学解.doc

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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流专题10曲线运动的动力学解【精品文档】第 5 页专题10 曲线运动的动力学解 专题曲线运动曲直谈中，我们从运动学角度研究了曲线运动，在那里，我们熟悉了描述曲线运动的运动学方法，对圆周运动与抛体运动的运动学规律做了较深入的研究。在这个专题里，我们将从动力学角度研究曲线运动，即掌握各种曲线运动形成及运动状态变化的原因，这对于人们能动地掌控曲线运动是至为重要的。 牛顿第二定律阐述了力与加速度的普遍关系，通俗地说就是：什么样的力产生什么样的加速度。在曲线运动中，我们通常将物体所受外力沿切线方向分量的代数和称为切向力，而外力沿法线方向分量的代数和称为法向力。切向力

2、产生切向加速度、决定曲线运动物体速率变化的快慢，法向力产生法向加速度、决定物体运动方向变化的快慢。在曲线运动中，牛顿第二定律的切向与法向的分量式（动力学方程）为 当物体所受外力与运动速度方向不在同一直线时，物体一定做曲线运动，其中，若物体所受外力为恒力，物体做匀变速曲线运动，例如抛体运动；若物体所受外力方向与运动方向总垂直，则切向加速度为零，物体做匀速率的曲线运动，例如做等距螺旋线运动的物体；再如物体所受总垂直于速度的方向的外力大小不变，则法向加速度大小不变，这就是匀速圆周运动。 动力学方法求解曲线运动的加速度，首先要作好两项分析，即物体的受力情况分析与运动情况分析，当外力与运动方向不在同一直

3、线的情况下，通常将物体所受各力按运动速度的切向与法向作正交分解，通过建立两个方向上的牛顿第二定律的分量式求得。【例1】如图所示，滑块的质量为，由于绳子的牵引而沿水平导轨滑动，绳子的另一端缠绕在半径为的鼓轮上，鼓轮以等角速度转动。不计导轨与滑块间的摩擦，求绳子的拉力与距离之间的关系。【分析与解】先分析滑块受力：重力、导轨支持力，绳子拉力；再分析滑块的运动：速度沿导轨的运动可视作沿绳向绳与轮切点的平动及以切点为中心的转动的合成，这两个方向的分运动速度分别为其中为对应于，绳与导轨的夹角。以切点为中心转动的分运动的向心加速度由该方向的合力产生。如图所示，取方向为轴正方向建立直角坐标系，并按坐标方向正交

4、分解滑块所受各力，则由牛顿第二定律，在（轴）方向有 又由于滑块实际运动方向沿水平导轨，故在竖直方向满足由以上两式可得注意到 ，则 ，整理后即可得到与的关系为 竖直平面内的圆周运动有一些规律性的结论，我们略作些盘点。首先，在竖直平面内发生的圆周运动，是有重力参与提供向心力的，如果没有其他切向力，竖直面上的圆周运动肯定是非匀速率的，机械能是守恒的，在水平直径以上，各点均存在一速度的临界值。如图所示，小物体连接在轻杆一端，在竖直平面内绕杆的另一端做圆周运动，通过水平直径以上位置，杆与水平线间的夹角为并正沿圆周向上运动时。将重力沿切向与法向分解，可知，重力的切向分力，方向与速度方向相反，说明物体正做减

5、速率地运动；重力的法向分力与杆的拉力的合力作为向心力，应有式中为圆轨道半径。从该式可知，线速度越大，沿轨道运动通过该点时的加速度越大，所需向心力越大，这要靠杆的拉力来适调，因为杆的拉力是微小形变引起的弹力，是一种“适应性力”而重力则是恒力。若速度较小，向心加速度较小，致使只须重力的法向分量提供向心力即可，即 这时杆上的弹力为零若小物体速度小于，杆上弹性拉力将转为支持力，此时有故是杆牵引小物体在竖直平面内做圆周运动时，杆恰无形变，弹力为零。杆对小物体的作用效果在“拉”与“推”之间转换的临界速度，而小物体能在竖直面内做完整的圆周运动的条件是到达最高点时的速度。 若用绳来替换杆，如图甲所示，因绳对小

6、物体不可能产生支持力作用，则在达到临界速度时，绳长仍为但已不张紧，这是物体能在半径为的竖直圆轨道运动的临界状态，此后绳完全松弛，小物体只受重力作用而做抛体运动。这说明，对应于绳与水平线成角的位置，物体可沿圆周运动的最小速度，在最高点，这一临界速度值应为，小物体做完整的竖直平面内的圆周运动的条件是通过最高点时的速度不小于。再若将杆替换成环形轨道，如图乙所示，小物体沿光滑轨道外侧运动时，由于轨道对小物体只可能产生“顶”的作用效果，故就成为小物体不脱离轨道可取的最大速度，而要在轨道最高点不脱轨，小物体的速度不得超过。【例2】一长为的细线系着一小球悬挂在点静止不动。若使小球获得一个水平初速度，略去空气

7、阻力。证明：小球的运动轨迹经过悬点。【分析与解】小球运动轨迹会通过悬点，是因为线绳在水平直径上方与水平线成某一角度时，绳恰好不再张紧，小球开始脱离圆轨道而做斜上抛运动，如图所示。我们先来求出绳上张力为零时，小球达临界速度时的方位角。整个运动过程中只有重力做功，机械能守恒，则有故 ，。这个位置在距水平直径高处，此位置小球的瞬时速度。 此后，小球做斜上抛运动，以抛出点为原点建立直角坐标系，我们从斜上抛的竖直方向上的分运动求得当小球在竖直方向的位移为时，经历时间为，因此有将、代入上式整理得由此方程解得符合题意的时间，这段时间内小球完成的水平位移为 说明小球做斜抛运动过程中，通过了坐标为（，）的悬点。

8、【例3】图所示中，是一带有竖直立柱的木块，总质量为，位于水平地面上。是一质量为的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端。现拉动小球，使绳伸直并处于水平位置。然后让小球从静止状态自由下摆。如在小球与立柱发生碰撞前，木块始终未发生移动，则木块与地面间的静摩擦因数至少为多大？【分析与解】在小球下摆过程中，通过轻绳对木块施以竖直向下的压力及水平向左的拉力，随着下摆角度的增大，竖直向下的压力逐渐增大、而水平向左的拉力则是先增大后减小。我们要求的是：小球下摆于任一位置水平拉力与最大静摩擦力恰能平衡，需要的静摩擦因数的最大值。设轻绳长，小球摆至与水平线成角的位置时绳上张力为，小球的速度为，此时小球受力情况

9、如图甲所示，对小球列出动力学方程为又，小球下摆过程中机械能守恒，有分析木块的受力情况如图乙所示，由于木块静止，故有对应于角度，恰能令木块静止的静摩擦因数应符合由以上三式联立的方程因为定值，则当，即时，两项之和有最小值且为，摩擦因数则有最大值故在小球下摆过程中，要使木块始终与地面保持相对静止，木块与地面之间的静摩擦因数不得小于。【例4】如图所示，有一个质量均匀的大球壳，正好静止在桌边上，球壳与桌子无摩擦，对球壳轻轻一推，使其滚下桌子，试计算球壳脱离桌子的瞬间，球壳中心的速率。【分析与解】由题给条件，球壳在静止时，与桌边接触的一点为其支点，轻推球壳，即给球壳一微扰，球壳的质心将以支点为轴，以球半径

10、只为转动半径在竖直面内从初速度为零开始做圆周运动，其间重力势能减少，动能增加；当球壳质心做圆运动所需向心力仅由重力来提供时，球与桌支持点间无挤压，即开始脱离桌子。故球壳“不再接触桌子的瞬时速度”受到两方面关系的制约：即力与运动的因果关系和机械能的守恒关系。大球壳恰与桌边无挤压时，重力的法向分力承担向心力，设此时球心速度为，有由机械能守恒定律，有以上两式中，当球壳质心速率为时，球壳的动能可视作质心对点的转动动能及球壳对质心的转动动能之和，前者，后者我们用微元法来计算。如图所示，取质心为坐标原点，球壳转轴为轴，在球的截面圆上，将弧度均分成（）等份，进而将球壳面分割成宽为的一条条极细的环带，第条环带

11、的周长则相应环带的质量速率，转动动能。整个球壳对过而垂直于竖直面的轴转动动能为将及由式得，代入式，得。所以球壳中心的速率。【例5】筑路工人为了提高工作效率，把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑至山下.如索道形状为的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看做质量为的质点，求箩筐自处自由滑至抛物线顶点时的速度，并求此时箩筐对钢索的压力。【分析与解】如图所示，以（，）点为原点，以竖直向上方向为轴正方向建立的直角坐标系中，钢索呈顶点为坐标原点、开口向上的抛物线。质量为的物体，是从高处沿索道自由下滑的，不计摩擦及其空气阻力由机械能守恒容易求得箩筐抵达钢索道底部（即抛物线顶点）时的速度大小，方向

12、沿该点轨道的切向，也就是图示水平相左方向。为了求这时箩筐对钢索的压力，我们取箩筐为研究对象，在方向建立动力学方程。在该方向上合外力引起法向加速度，式中是抛物线顶点处的曲率半径。借助于初速度为的平抛运动，在抛出点物体的法向加速度即为，由可知该抛物线顶点处的曲率半径。于是有，求出 。在专题中，我们曾介绍过做直线加速运动的非惯性系与惯性力，我们知道，引入惯性力后，牛顿第二运动定律即可适用于非惯性系。这里，我们介绍“惯性离心力”：做匀角速度转动的非惯性参考系中的惯性力叫做惯性离心力。如图所示，水平转台以恒定的角速度相对于惯性参考系（如地面）转动，平台上一小球用长为的绳子与转台的轴相连，地面观察者看到小

13、球与转台一起匀速转动，这是因为绳子对小球的拉力提供了球所需的向心力；对于转台上的观察者而言，他看到小球是静止的，他认为小球除受绳子的拉力外，还受到一个大小与相等、方向相反、沿半径方向背离圆心的力，由于，故小球静止。这种在相对于惯性参考系具有向心加速度的参考系中所引入的使牛顿定律仍能适用的力就是惯性离心力，与直线加速运动的参考系中的惯性力一样，惯性离心力是假想的力，是为在匀角速度转动着的非惯性系中简化力学问题的处理而采用的一种等效方法。惯性离心力相对于匀角速度转动的参考系静止的物体，引入惯性离心力后，对转动参考系，仍能满足合力为零的力与运动关系。若物体相对于转动参考系做相对运动而不是静止，则对转

14、动参考系，为使牛顿运动定律适用，除引入惯性离心力外，还要虚设另一称为“科里奥利力”的惯性力。在专题例的讲解中，我们曾展示过，当如图所示半径为的圆盘，以角速度绕盘心转动，而质点沿盘上径向槽以恒定速度自盘心向外运动，在槽内任一位置（）质点加速度由两方面构成：中介参考系以匀速转动的牵连加速度 （方向指向转动中心）以及科里奥利加速度（方向沿盘面且垂直于）。对地面观察者而言，这两个加速度都是由质点所受的真实力盘面的摩擦力和槽的左侧壁弹力引起的，且，。对相对盘静止的观察者而言，质点沿槽做速度为的匀速直线运动，他的解释是，质点除了受盘面的摩擦力和槽的左侧壁弹力外，还受到惯性离心力，科里奥利力，于是转动参考系

15、中的观察者就可以解释质点的运动了：合力为零，质点做匀速直线运动。科里奥利力是转动参考系中引入的假想的惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度的真实力，方向相反。物体在转动平面上沿任何方向运动时，都将受到一个与运动方向垂直的科里奥利力，大小。地球是一个转动的非惯性参考系，地球自转的证据之一是傅科摆实验。第一次做这个实验的是法国科学家傅科，他在巴黎一个庙宇的圆屋顶的水平架上用的铁丝下端悬挂了一个大球，让球在竖直面内往复摆动，在球的每一次摆动中，摆动平面都会发生明显的偏转。我国北京天文馆陈列的傅科摆，它的摆长是，每，摆平面转动一周。在一些中学，学生们自行设计傅科摆，作为演示地球自转的校园科技景观。图示是

16、宁波效实中学学生设计并将建造的大型校园科技景观傅科摆效果图。现在我们假设傅科摆实验在北极进行。如图所示，一个悬挂在北极的傅科摆，给摆球一个水平初速度，摆球开始在初速度所在竖直面内往复运动，考察摆平面，可以发现它相对地球不断地旋转，每昼夜转一周，俯视旋转方向为顺时针。以太阳为参考系解释这一现象：摆球受到两个实际力的作用，重力和摆线拉力。这两个力都在摆动平面内，不可能使摆平面发生转动，故摆平面是静止的，但由于地球在逆时针自转，故摆平面相对于地球反向转动；地球上的观察者要解释傅科摆现象必须引入科里奥利力：除了重力和摆线拉力外，摆球还受到一个方向与摆平面、亦即摆球相对地球运动方向垂直的惯性力。例如，当

17、图所示的摆球过平衡位置向右运动时，科里奥利力向外，摆球过平衡位置向左运动时，科里奥利力向里这样，北极的这只傅科摆其摆平面在科里奥利力作用下顺时针地转动了。【例6】如图所示，在以角速度绕中心轴匀速转动的太空实验室里，一长为的细线，一端固定在中心轴，另一端系一质量为的小球，小球在实验室里以速度匀速转动，转动方向与相反，求细线上的拉力的大小。【分析与解】取太空实验室为参考系，小球受到线的拉力和惯性力。设小球对太空实验室的加速度为，则由牛顿第二定律，有上式中；而，代入上式中即可得 例中我们先求出小球对惯性系的角速度为（负号是因为小球反向转动），进而求得对惯性参考系的加速度，最终得到对太空实验室的加速度

18、为。也可以这样解：太空实验室中，小球做匀速圆周运动，是因为受到绳拉力和惯性力及科里奥利力，三力均沿径向，则有即 结果与前解一致。1、长度为的不可伸长的细线系在竖直轴的顶端，在线的下端悬挂质量为的一重物。再在这重物上系同样长度的另一根线，线的下端悬挂质量也为的另一个重物，如图所示。竖直轴以恒定角速度转动。试证明第一根线与竖直线所成角度小于第二根线与竖直线所成角度。2、如图所示，套管的质量为，因受绳子牵引沿竖直杆向上滑动。绳子另一端绕过离杆距离为的滑轮而缠绕在鼓轮上。当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为。求绳子拉力和距离之间的关系。3、橡皮圈挂在钉子上，如图所示。这时它的长度为。然后使橡皮圈在水

19、平面上旋转起来，当转动角速度达到时，它的长度也为。求橡皮圈转动的角速度。4、如图所示，小物块质量为，在半径为的圆柱面上沿螺旋线形的滑槽滑动，运动的切向加速度大小为，式中为螺旋线的切线与水平面的夹角，求由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小。5、如图所示，一轻绳跨越一固定水平光滑细杆，其两端各系一小球，球置于地面，球从水平位置由静止向下摆动，设两球质量相同。求球恰要离开地面时跨越细杆的两绳之间的夹角。6、长为的轻杆上端有一个质量为的小重物，杆被铰链固接在点，如图所示，并处于竖直位置，同时与质量为的物体互相接触。由于微小扰动使系统发生运动。试问质量之比为多少的情况下，杆在脱离物体的时

20、刻与水平面成角，这时物体的速度为多少？7、质量均为的两个小球固定在长度为的轻杆两端，如图所示，直立在相互垂直的光滑墙壁和地板交界处。突然发生微小的扰动使杆无初速倒下，求当杆与竖直方向成角时，球对墙的作用力。8、质量为，半径为的圆木搁在两个高度相同的支架上，如图所示。右支架固定不动，而左支架以速度从圆木下面向左滑动。求当两个支点距离时，圆木对固定支架的压力。（两支架开始彼此靠得很近，圆木与支架之间的摩擦不计）9、一对绕固定水平轴和同步转动的凸轮，使传送装置的水平平板发生运动，如图所示。问凸轮以多大角速度转动时，放在平板上的零件开始移动？当凸轮按顺时针方向转动的情况下，零件将向什么方向移动？零件与

21、平板之间的动摩擦因数为。凸轮半径为。10、用手握着一绳端在水平桌面上做半径为的匀速圆周运动，圆心为，绳长为，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为的小球，恰好也沿着一个以点为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦，如图所示。求：手对细绳做功的功率；小球与桌面之间的动摩擦因数。11、一个半径的金属小圆环，从高度处掉到桌上，如图所示，此小圆环在空气中绕其中心轴旋转，轴在竖直方向，角速度。圆环与桌面的碰撞为非弹性的，且碰撞时间很短。小圆环与桌面间摩擦因数，求小圆环与桌面接触到旋转停止所转的圈数。（取）12、有两个相同的单摆，把一个拴在另一个的下面，使它们各在一个水平面内做匀速圆周运动，设两条摆

22、线（长）与竖直线所成的夹角都很小。已知在运动过程中两条摆线一直保持在同一平面内，求此平面转动的角速度，以及两质点轨道半径之比。13、半径为的水平圆台，可绕通过圆心的竖直光滑细轴转动，如图所示，圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有槽，质量为的物体放在一个槽内，物体与槽底间的静摩擦因数为，质量为的物体放在另一槽内，此槽是光滑的。间用一长为（）且不可伸长的轻绳绕过细轴相连。试求当圆台做匀角速率转动且、两物体相对圆台不动时，转动角速度和物体到圆心的距离所应满足的条件。（设此时物体与槽的侧面之间没有作用力）14、质量为、半径为的光滑匀质半球，静止在光滑水平面上，在球顶有一质量为的质点，由静止沿球面下滑，求离开以前的轨迹方程和绕球心的角速度。15、轮船以等速率沿赤道向东航行，试计算，由此使船上物体重量产生的相对误差，地球自转角速度为。16、半径为的空心球绕本身的竖直直径旋转，如图所示，角速度为。在空心球内高度为处有一小木块同球一起旋转，取。求：实现这一情况所需的最小摩擦因数为多少？求时实现这一情况的条件。17、一根不可伸长的轻绳，穿上一粒质量为的小珠子，绳的一端固定在点，另一端系在轻环上，环可以沿水平杆无摩擦自由滑动，如图所元开始珠子被维持在轻环旁边。绳是直的，但未被拉紧，绳子长度为，点到杆的距离为，绳能承受最大张力为。试求当绳子被拉断时珠子的速度。（摩擦不计）