高中数学全部知识点整理 超经典.doc
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1、高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性.3、集合的表示:(1) 如我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(2). 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,54集合的表示方法:列举法与描述法。常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R5.关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说
2、a属于集合A 记作 aA ,相反,a不属于集合A 记作 aA列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。6、集合的分类:(1)有限集 含有有限个元素的集合(2)无限集 含有无限个元素的集合(3)空集 不含任何元素的集合例:x|x2=5=二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都
3、是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B 任何一个集合是它本身的子集。即AA如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB(读作A交B),即AB=x|xA,且xB2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A
4、B(读作A并B),即AB=x|xA,或xB3、交集与并集的性质:AA = A, A= , AB = BA,AA = A,A= A ,AB = BA.4、全集与补集(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作: CSA 即 CSA =x | xS且 xASCsAA(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(3)性质:CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA)A=U二、函数的有关概念1函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对
5、于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数记作: y=f(x),xA其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集
6、合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域再注意:(1)由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:表达式相同;定义域一致 (两点必须同时具备)3区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示4映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中
7、的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB”给定一个集合A到B的映射,如果aA,bB.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、B及对应法则f是确定的;对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;对于映射f:AB来说,则应满足:()集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;()集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;()不要求集合B中的每一个元素在集合A
8、中都有原象。5.常用的函数表示法:解析法: 图象法: 列表法:6.分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集7函数单调性(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2 时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=
9、f(x)的单调减区间.注意: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;(2) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法:任取x1,x2D,且x10时,2、配方:3、0时,()的两个根为(),则, 4、=0时,()的两个等根为,则,无解,5、0时,()无解,则,无解6根与系数的关系若()的两个根为则高中数学必修2知识点一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义:x轴正向与直线向上方向
10、之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时,; 当时,; 当时,不存在。过两点的直线的斜率公式: 注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。(3)直线方程点斜式:直线斜率k,且过点注意:当直线的斜率为0时,
11、k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b两点式:()直线两点,截矩式:其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式:(A,B不全为0)注意:各式的适用范围 特殊的方程如:平行于x轴的直线:(b为常数); 平行于y轴的直线:(a为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数)(二)过定点的直线系()斜率为k的直线系:,直线过定点;()过两条直线,
12、的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。(6)两直线平行与垂直当,时,;注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。(7)两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ; 方程组有无数解与重合(8)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点,则 (9)点到直线距离公式:一点到直线的距离(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径
13、为当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形。(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;(2)设直线,圆,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为,则有;注:如果圆心的位置在原点,可使用公式去解直线与圆相切的问题,其中表示切点坐标,r表示半径。 (3
14、)过圆上一点的切线方程:圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 (课本命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只
15、有一条公切线;当时,两圆内含; 当时,为同心圆。三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。(2)棱锥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥
16、、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母,如五棱锥几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:用各顶点字母,如五棱台几何特征:上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形。(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边
17、为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形。(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面展开图是一个弓形。(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后
18、的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点:原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线) (3)柱体、锥体、台体的体积公式 (4)球体的表面积和体积公式:V= ; S=4、空间点、直线、平面的位置关系(1)平面 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; 平面的表示:通常用希腊字母
19、、表示,如平面(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。 点与平面的关系:点A在平面内,记作;点不在平面内,记作点与直线的关系:点A的直线l上,记作:Al; 点A在直线l外,记作Al;直线与平面的关系:直线l在平面内,记作l;直线l不在平面内,记作l。(2)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线)应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1:(3)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定
20、一平面。公理2及其推论作用:它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据(4)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号:平面和相交,交线是a,记作a。符号语言:公理3的作用:它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。(5)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行(6)空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质:既不平行,又不相交。 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面
21、直线 异面直线所成角:直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线aa,bb,则把直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0,90,若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。说明:(1)判定空间直线是异面直线方法:根据异面直线的定义;异面直线的判定定理(2)在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位置无关。求异面直线所成角步骤:A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角(7)等角定理:如果一个角的两边和
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