全国高中数学竞赛专题-不等式.doc

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1、全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：这是不等式的定义，也是比较法的依据.对一个不等式进行变形的性质：（1）（对称性）（2）（加法保序性）（3）（4）对两个以上不等式进行运算的性质.（1）（传递性）.这是放缩法的依据.（2）（3）（4）含绝对值不等式的性质：（1）（2）（3）（三角不等式）.（4）证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合

2、法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。1比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。）（1）差值比较法（原理：A B0AB）例1 设a, b, cR+，试证：对任意实数x, y, z, 有x2+y2+z2证明：左边-右边= x2+y2+z2所以左边右边，不等式成立。（2）商值比较法（原理：若1，且B0，则AB。）例2 若axlog(1-x)(1-x)=

3、1（因为01-x21-x0, 01-x|loga(1-x)|.2分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证，只需证。）例3 已知a, b, cR+，求证：a+b+c-3a+b证明：要证a+b+ca+b只需证，因为，所以原不等式成立。例4 已知实数a, b, c满足0abc，求证：证明：因为00，求证：abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。证明:(a+b-c)+(b+c-a)=2b0, (b+c-a)+(c+a-b)=2c0,(c+a-b)+(a+b-c)=2a0,a+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一个数非正.(1) 当a+b-c,

4、b+c-a,c+a-b中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立.(2) a+b-c,b+c-a,c+a-b均为正时,则同理三式相乘得abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)例6 已知ABC的外接圆半径R=1，SABC=，a,b,c是ABC的三边长，令S=，t=。求证：tS。解：由三角形面积公式:.正弦定理：a/sinA=2R.可得abc=1.所以2t=2bc+2ac+2ab.由因为a.b.c均大于0。所以2t=2a+2b +2c=2+2+2=2(+)=2s.所以ts。4反证法例7 设实数a0, a1,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, an-2-

5、2an-1+an0，求证ak0(k=1, 2, n-1).证明：假设ak(k=1, 2,n-1) 中至少有一个正数，不妨设ar是a1, a2, an-1中第一个出现的正数，则a10, a20, ar-10, ar0. 于是ar-ar-10，依题设ak+1-akak-ak-1(k=1, 2, , n-1)。所以从k=r起有an-ak-1an-1-an-2 ar-ar-10.因为anak-1ar+1ar 0与an=0矛盾。故命题获证。5数学归纳法例8 对任意正整数n(3)，求证：nn+1(n+1)n.证明：1）当n=3时，因为34=8164=43，所以命题成立。2）设n=k时有kk+1(k+1)k

6、，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2(k+2)k+1，即1. 因为，所以只需证，即证(k+1)2k+2k(k+2)k+1，只需证(k+1)2k(k+2)，即证k2+2k+1k2+2k. 显然成立。所以由数学归纳法，命题成立。6.分类讨论法例9 已知x, y, zR+，求证：证明：不妨设xy, xz.）xyz，则，x2y2z2，由排序原理可得，原不等式成立。）xzy，则，x2z2y2，由排序原理可得，原不等式成立。7.放缩法（即要证AB，可证AC1, C1C2,Cn-1Cn, CnB(nN+).）例10 已知a, b, c是ABC的三条边长，m0，求证：证明：（因为a+bc），得证。8.引入

7、参变量法例11 已知x, yR+, l, a, b为待定正数，求f(x, y)=的最小值。解： 设，则，f(x,y)=(a3+b3+3a2b+3ab2)=，等号当且仅当时成立。所以f(x, y)min=例12 设x1x2x3x42, x2+x3+x4x1，求证：(x1+x2+x3+x4)24x1x2x3x4.证明：设x1=k(x2+x3+x4)，依题设有k1, x3x44，原不等式等价于(1+k)2(x2+x3+x4)24kx2x3x4(x2+x3+x4)，即(x2+x3+x4) x2x3x4，因为f(k)=k+在上递减，所以(x2+x3+x4)=(x2+x3+x4)3x2=4x2x2x3x4

8、.所以原不等式成立。9.局部不等式例13 已知x, y, zR+，且x2+y2+z2=1，求证：证明：先证因为x(1-x2)=,所以同理，所以例14 已知0a, b, c1，求证：2。证明：先证 即a+b+c2bc+2.即证(b-1)(c-1)+1+bca.因为0a, b, c1，所以式成立。同理三个不等式相加即得原不等式成立。10.利用函数的思想例15 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值。解：当a, b, c中有一个为0，另两个为1时，f(a, b, c)=，以下证明f(a, b, c) . 不妨设abc，则0c, f(a, b, c)=因为

9、1=(a+b)c+ab+(a+b)c，解关于a+b的不等式得a+b2(-c).考虑函数g(t)=, g(t)在）上单调递增。又因为0c，所以3c21. 所以c2+a4c2. 所以2所以f(a, b, c)=下证0 c2+6c+99c2+90 因为，所以式成立。所以f(a, b, c) ，所以f(a, b, c)min=11.构造法例16 证明：。提示：构造出（x，0）到两定点的距离之差，并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点共线时取最大值，从而结论得证。12.运用著名不等式（1）平均值不等式：设a1, a2,anR+，记Hn=, Gn=, An=则HnGnAnQn. 即调和平均几何平均

10、算术平均平方平均。其中等号成立的条件均为a1=a2=an.当n=2时，平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值不等式的特例证明：由柯西不等式得AnQn，再由GnAn可得HnGn，以下仅证GnAn. 1）当n=2时，显然成立；2）设n=k时有GkAk，当n=k+1时，记=Gk+1.因为a1+a2+ak+ak+1+(k-1)Gk+12kGk+1, 所以a1+a2+ak+1(k+1)Gk+1，即Ak+1Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。例17 利用基本不等式证明【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法.【略解】；三式相加再除

11、以2即得证.【评述】（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.如，可在不等式两边同时加上再如证时，可连续使用基本不等式. （2）基本不等式有各种变式 如等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.例18 已知求证：【思路分析】不等式左边是、的4次式，右边为常数，如何也转化为、的4次式呢.【略解】要证即证（2）柯西（Cavchy）不等式：设、，是任意实数，则等号当且仅当为常数，时成立.证明：不妨设不全为0，也不全为0（因为或全为0时，不等式显然成立）. 记A=，B=.且令则原不等式化为即.它等价于其中等号成立的充要条件是从而

12、原不等式成立，且等号成立的充要条件是变式1：若aiR, biR, i=1, 2, , n，则等号成立条件为ai=bi,(i=1, 2, , n)。变式2：设ai, bi同号且不为0(i=1, 2, , n)，则等号成立当且仅当b1=b2=bn.例19 设，求证：【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之.【详解】 ，故由柯西不等式，得 ，【评述】这是高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.（3）排序不等式：（又称排序原理）设有两个有序数组及 则（同序和）（乱序和） （逆序

13、和）其中是1，2，n的任一排列.当且仅当或时等号（对任一排列）成立. 证明：不妨设在乱序和S中时（若，则考虑），且在和S中含有项则 事实上，左右=由此可知，当时，调换（）中与位置（其余不动），所得新和调整好及后，接着再仿上调整与，又得如此至多经次调整得顺序和 这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当或时中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在及k，使这时中不等号成立.因而对这个排列中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”.例20 【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.【略解】不妨设，则（乱序和）（逆序和），同理（乱序和）（逆序和）两式相加再除以2

14、，即得原式中第一个不等式.再考虑数组，仿上可证第二个不等式.例21 设，且各不相同，求证：【思路分析】不等式右边各项；可理解为两数之积，尝试用排序不等式.【略解】设的重新排列，满足，又所以.由于是互不相同的正整数，故从而，原式得证.【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，例22 在ABC中，试证：【思路分析】 可构造ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明之.【详解】 不妨设，于是由排序不等式，得 相加，得，得 又由有得 由、得原不等式成立.例23 设是正数的一个排列，求证【思路分析】 应注意到【略证】 不妨设，因为都大于0. 所以有，又的任意一个排列，于是得到例24 设正数的乘积，试证：【略解】 设，这里都是正数，则原需证明的不等式化为 中最多只有一个非负数.若中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若均为正数，则是某三角形的三边长.容易验证故得【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数、的乘积证明证明：设，且所需证明的不等式可化为，现不妨设，则，据排序不等式得及两式相加并化简可得（4）切比雪夫不等式：若， ，则证明：由题设和排序不等式，有=，将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式.12