高中数学竞赛知识点整理.doc
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1、不等式块1排序不等式(又称排序原理)设有两个有序数组及则(同序和)(乱序和)(逆序和)其中是1,2,n的任一排列.当且仅当或时等号(对任一排列)成立.2应用排序不等式可证明“平均不等式”:设有n个正数的算术平均数和几何平均数分别是 此外,还有调和平均数(在光学及电路分析中要用到,和平方平均(在统计学及误差分析中用到) 这四个平均值有以下关系. 3应用算术平均数几何平均数不等式,可用来证明下述重要不等式.柯西(Cavchy)不等式:设、,是任意实数,则等号当且仅当为常数,时成立.4利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式:若, ,则例题讲解1求证:2,求证: 3:4设,且各不相同,求
2、证:.5利用基本不等式证明6已知求证:7利用排序不等式证明8证明:对于任意正整数R,有9n为正整数,证明:例题答案:1. 证明: 评述:(1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母,不等式不变),在因式分解或配方时,往往采用轮换技巧.再如证明时,可将配方为,亦可利用,3式相加证明.(2)本题亦可连用两次基本不等式获证.2.分析:显然不等式两边为正,且是指数式,故尝试用商较法.不等式关于对称,不妨,且,都大于等于1.评述:(1)证明对称不等式时,不妨假定个字母的大小顺序,可方便解题. (2)本题可作如下推广:若 (3)本题还可用其他方法得证。因,同理,另,4式相乘即得证. (4)设例3等价于类
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