喀兴林高等量子力学习题EX2.算符.doc
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1、如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流喀兴林高等量子力学习题EX2.算符【精品文档】第 8 页EX2.算符2.1证明下列常用公式 (陈玉辉解答 项鹏核对 ) (1)证明:(2)证明:2.2 若算符与对易,证明: (陈玉辉解答 项鹏核对 )证明:将n换成(n-1),就有重复这种递推过程(n-1)次,即得练习2.3 证明: (输入人:杜花伟 核对人:王俊美)(1)若A有逆,a0,则也有逆,且;(2)若A,B都有逆,则也有逆,且;(3);(4).(为复数);证明:(1)若A有逆,a0,满足,则 所以有逆,且.(2) 若A,B都有逆,满足,则 所以有逆,且.(3)(4) 由于(x极小,即x0时)展为
2、级数: 故( #2.4 若线性算符A有逆,|(i=1,2,3,,n)是A的有限维的定义域的中的一组完全集。证明在A的值域中A|也是一组完全集,从而证明值域的维数与定义域相同。证明:已知A为可逆算符得 |(i=1,2,3,,n) 是A的有限维的定义域中的一组完全集定义域 |为n维的假设值域|不是一组完全集,那么值域中的每一个|在定义域中有且只有一个|所以的|为数肯定小于n。又因为A算符是可逆的,所以得定义域|维数小于n的那么不论|是否为完全集都应该小于或等于n维的。这样的话|的维数与题目相矛盾由此得之A的值域中A|也是一组完全集,而值域的维数与定义域相同。练习 2.5 有逆算符A的定义域是有限维
3、的,若已知,证明 。证明:(何建贤解答 项朋核对)已知A是可逆算符,所以和 又因为,即两边同时右乘得两边同时左乘得所以得:练习2.6 证明任何线性算符作用于零矢量上,必得零矢量。证明:(高召习解答 孟祥海核对)设为任意线性算符,由线性算符的性质得:令,由于, 所以 令,所以练习 2.7 (2.7)式与(2.8)式还各有一个用型多重对易式表示的式子,试把它们求出来。(高召习解答 孟祥海核对)解:(1)由于显然,对于型多重对易式有即(2)由于 (1)且 (2)把(1)代入(2)得练习2.8 试用数学归纳法证明:(陈玉辉解答 项鹏核对)证明:用数学归纳法,当n=1时原式成为原式显然成立;现设原式对n
4、成立,推出它对n+1也成立:这就证明了原式对n+1也成立,所以2.92.10 若算符A有逆,证明A的伴算符也有逆,而且证明:取一任意 可见对于任意,确有存在,这个就是。 若,用C作用在此式两边 但此式就是,所以存在,因此A的伴算符也有逆。 又因A有逆,即 则 由于 则 又因有逆,所以2.11 伴算符的定义式(2.24)或可否改成对任意有:?(许中平 核对:田军龙)证明:取一任意,都有 式中的B是右矢空间的算符,此式右边的的右矢与左矢的内积,单用右矢空间的话说,就是右矢与右矢的内积,在单一空间中,此式正是伴算符的定义式,写成单一空间的形式就是:因此,可改成对任意有:练习 2.12 本节提到的由断
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- 喀兴林 高等 量子力学 习题 EX2 算符
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