上海十年中考数学压轴题及答案解析.doc

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1、学然教育 学然教育培训中心LearnWellEducationandTrainingCenter上海十年中考数学压轴题解析2001年上海市数学中考27已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA图8求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长（不必写出解题过程）27（1）证明：ABP180AAPB，DPC180BPCA

2、PB，BPCA，ABPDPC在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，ADABPDPC解：设APx，则DP5x，由ABPDPC，得，即，解得x11，x24，则AP的长为1或4（2）解：类似（1），易得ABPDPQ，即，得，1x4AP2或AP3（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径）上海市2002年中等学校高中阶段招生

3、文化考试27操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q图1 图2 图3探究：设A、P两点间的距离为x（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）

4、题均为4分）27图1 图2 图3（1）解：PQPB（1分）证明如下：过点P作MNBC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，AMP和CNP都是等腰直角三角形（如图1）NPNCMB（1分）BPQ90，QPNBPM90而BPMPBM90，QPNPBM（1分）又QNPPMB90，QNPPMB（1分）PQPB（2）解法一由（1）QNPPMB得NQMPAPx，AMMPNQDN，BMPNCN1，CQCDDQ121得SPBCBCBM1（1）x（1分）SPCQCQPN（1）（1）x2（1分）S四边形PBCQSPBCSPCQx21即yx21（0x）（1分，1分）解法二作PT

5、BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形PTCBPN又PNQPTB90，PBPQ，PBTPQNS四边形PBCQS四边形PBTS四边形PTCQS四边形PTCQSPQNS正方形PTCN（2分）CN2（1）2x21yx21（0x）（1分）（3）PCQ可能成为等腰三角形当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQQC，PCQ是等腰三角形，此时x0（1分）当点Q在边DC的延长线上，且CPCQ时，PCQ是等腰三角形（如图3）（1分）解法一此时，QNPM，CPx，CNCP1CQQNCN（1）1当x1时，得x1（1分）解法二此时CPQPCN22.5，APB9022.567.5，ABP180（4567

6、.5）67.5，得APBABP，APAB1，x1（1分）上海市2003年初中毕业高中招生统一考试27.如图，在正方形ABCD中，AB1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点：（1）当DEF45时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AEx，FCy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将DEF沿直线EF翻折后得DEF，如图，当EF时，讨论ADD与EDF是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。2004年上海市中考数学试卷27、（2004上海

7、）数学课上，老师提出：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH同学发现两个结论：SCMD：S梯形ABMC=2：3 数值相等关系：xCxD=yH（1）请你验证结论和结论成立；（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t0）”，其他条件不变，结论是否仍成立（请说明理由）；（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为

8、“A的坐标（t，0）（t0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；（2）（3）的解法同（1）完全一样解答：解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），由点C坐标为（1，

9、1）易得直线OC的函数解析式为y=x，故点M的坐标为（2，2），所以SCMD=1，S梯形ABMC=所以SCMD：S梯形ABMC=2：3，即结论成立设直线CD的函数解析式为y=kx+b，则，解得所以直线CD的函数解析式为y=3x2由上述可得，点H的坐标为（0，2），yH=2因为xCxD=2，所以xCxD=yH，即结论成立；（2）（1）的结论仍然成立理由：当A的坐标（t，0）（t0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx，故点M的坐标为（2t，2t2），所以SCMD=t3，S梯形ABMC=t3所

10、以SCMD：S梯形ABMC=2：3，即结论成立设直线CD的函数解析式为y=kx+b，则，解得所以直线CD的函数解析式为y=3tx2t2；由上述可得，点H的坐标为（0，2t2），yH=2t2因为xCxD=2t2，所以xCxD=yH，即结论成立；（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a0），且点A坐标为（t，0）（t0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），设直线CD的解析式为y=kx+b，则：，解得所以直线CD的函数解析式为y=3atx2at2，则点H的坐标为（0，2at2），yH=2at2因为xCxD=2t2，所以xCxD=yH点评：本题主要考查了二次函数的应用、

11、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点2005年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷1、 （本题满分12分，每小题满分各为4分）在ABC中，ABC90，AB4，BC3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EPED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。（1） 如图8，求证：ADEAEP；（2） 设OAx，APy，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3） 当BF1时，求线段AP的长.J2006 年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分）已

12、知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。（1） 如图9，如果AP=2PB，PB=BO。求证：CAOBCO；（2） 如果AP=m（m是常数，且m1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项。当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；（3） 在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。图9APBOC25（1）证明：，（2分），（1分），（1分）（2）解：设，则，是，的比例中项，（1分）得，即（1分）（1分）是，的比例中项，即，（1分）设圆与线段的延长线相交于点，当点与点，

13、点不重合时，（1分）（1分）；当点与点或点重合时，可得，当点在圆上运动时，；（1分）（3）解：由（2）得，且，圆和圆的圆心距，显然，圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含当圆与圆相交时，得，；（1分）当圆与圆内切时，得；（1分）当圆与圆内含时，得2007年上海市初中毕业生统一学业考试25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2），（3）小题满分各5分）已知：，点在射线上，（如图10）为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心（1）当点在射线上运动时，求证：点在的平分线上；（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交于点，设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（

14、3）若点在射线上，圆为的内切圆当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离图10备用图25（1）证明：如图4，连结，是等边三角形的外心，1分圆心角当不垂直于时，作，垂足分别为由，且，1分1分点在的平分线上1分当时，即，点在的平分线上综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上图4图5（2）解：如图5，平分，且，1分由（1）知，1分1分定义域为：1分（3）解：如图6，当与圆相切时，；2分如图7，当与圆相切时，；1分如图8，当与圆相切时，2分图6图7图82008年上海市中考数学试卷25（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）已知，（如图13）是射线上的动点

15、（点与点不重合），是线段的中点（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长BADMEC图13BADC备用图25解：（1）取中点，联结，为的中点，（1分）又，（1分），得；（2分）（1分）（2）由已知得（1分）以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，即（2分）解得，即线段的长为；（1分）（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得（1分）由此可知，另一对对应角相等有两种情况：；当时，易得得；（2分）当时，又，即，得解得，（舍去）即线段的长为2（2分）综上所

16、述，所求线段的长为8或22009年上海市初中毕业统一学业考试25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图8所示）（1）当，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；（2）在图8中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；ADPCBQ图8DAPCB（Q）图9图10CADPBQ（3）当，且点在线段的延长线上时（如图10所示），求的大小（2009年上海25题解析）解：（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，PBC=PDA，因为A=90。 PQ

17、/PC=AD/AB=1,所以：PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H，h，则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2S2=3*h/2 因为两S1/S2=y，消去H,h,得：Y=-(1/4)*x+(1/2), 定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABDQD/DC=AD/AB=3/4，令Q

18、D=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得：直角三角形AQD中：(3/2)2+(2-x)2=(3t)2直角三角形QBC中：32+x2=(5t)2整理得：64x2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8 x2=(43/8)2(舍去) 所以函数:Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为0，7/8(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ垂直于PC，与AB交于Q点，则：B，Q，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q与点Q重合，所以角QPC=90。AD

19、PCBQ图8DAPCB（Q）图9图10CADPBQ2010年上海市初中毕业统一学业考试数学卷25如图9，在RtABC中，ACB90.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当B30时，连结AP，若AEP与BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求BPD的正切值；（3）若，设CE=x，ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用) 图11(备用)2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）

20、在RtABC中，ACB90，BC30，AB50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EMEN，（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设APx，BNy，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长图1 图2 备用图25. (本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分) 解 (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，CP=24，又sinEMP=CM=26。 (

21、2) 在RtAEP與RtABC中，EAP=BAC， RtAEP RtABC，即，EP=x，又sinEMP=tgEMP=，MP=x=PN，BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (0x32)。 (3) j當E在線段AC上時，由(2)知，即，EM=x=EN，又AM=AP-MP=x-x=x，由題設AME ENB，=，解得x=22=AP。k當E在線段BC上時，由題設AME ENB，AEM=EBN。由外角定理，AEC=EAB+EBN=EAB+AEM=EMP，RtACE RtEPM，即，CE=j。設AP=z，PB=50-z，由RtBEP RtBAC，即=，BE=(50-z)，CE=BC-BE=30

22、-(50-z)k。由j，k，解=30-(50-z)，得z=42=AP。（2012上海12分）23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，ADE=90，tanDAE=，EFOD，垂足为F（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；【答案】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），解得。这个二次函数的解析式为：y=2x2+6x+8。（2）EFD=EDA=90，DEF+EDF=90，EDF+ODA=90。DEF=

23、ODA。EDFDAO。，。OD=t，EF=。同理，DF=2，OF=t2。（2012上海市14分）24.如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域 【答案】解：（1）点O是圆心，ODBC，BC=1，BD=BC=。 又OB=2，。（2）存在，DE是不变的。如图，连接AB，则。D和E是中点，DE=。（3）BD=x，

24、。1=2，3=4，AOB=900。2+3=45。过D作DFOE，垂足为点F。DF=OF=。由BODEDF，得，即，解得EF=x。OE=。【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由ODBC，根据垂径定理可得出BD=BC= ，在RtBOD中利用勾股定理即可求出OD的长。（2）连接AB，由AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE=。（3）由BD=x，可知，由于1=2，3=4，所以2+3=45，过D作DFOE，则DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y关于x的函数关系式。 ，点C是弧

25、AB上的一个动点（不与点A、B重合）， 。图9（2013上海12分）24如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结，求的大小；（3） 如果点在轴上，且与相似，求点的坐标（2013上海14分）25在矩形中，点是边上的动点，联结，线段的垂直平分线交边于点，垂足为点，联结（如图10）已知，设（1）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（2）当以长为半径的P和以长为半径的Q外切时，求的值；备用图beibeiyongtu图10（3）点在边上，过点作直线的垂线，垂足为，如果，求的值来源:学,科,网（2014上海12分）24在平面直角坐标

26、系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t3，如果BDP和CDP的面积相等，求t的值（2014上海14分）25如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）联结AP，当APCG时，求弦E

27、F的长；（3）当AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长（2015上海12分）24已知在直角坐标系xOy中，抛物线yax24与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB2点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D设点P的横坐标为m(1)求这条抛物线的解析式；(2)用含m的代数式表示线段CO的长；(3)当tanODC时，求PAD的正弦值【解析】（2015上海14分）25已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CDAB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQOP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB20，cosAOC设OPx，

28、CPF的面积为y(1)求证：APOQ；(2)求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；(3)当OPE是直角三角形时，求线段OP的长（2016上海12分）24. 如图，抛物线（）经过点，与轴的负半轴交于点，与轴交于点，且，抛物线的顶点为；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结、，求四边形的面积；（3）如果点在轴的正半轴上，且，求点的坐标；24. 解：（1）抛物线与轴交于点 ； ；又点在轴的负半轴上 ；抛物线经过点和点，解得；这条抛物线的表达式为；（2）由，得顶点的坐标是；联结，点的坐标是，点的坐标是，又，；（3）过点作，垂足为点；， ；在Rt中，；在Rt中，； ，得 点的坐标为；（2016上海14分）25. 如图所示，梯形中，点是边上的动点，点是射线上一点，射线和射线交于点，且；（1）求线段的长；（2）如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长；（3）如果点在边上（不与点重合），设，求关于函数解析式，并写出取值范围；25. 解：（1）过点作，垂足为点； 在Rt中，； ； 又 ； （2），又 ； 由是以为腰的等腰三角形，可得是以为腰的等腰三角形； 若， ； 若，过点作，垂足为 在Rt中，； 在Rt中， ； 综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为15或； （3）在Rt中，； ，； ，的取值范围为；