大学物理课件 刚体力学.ppt

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1、第四章 刚体力学,欧拉,本章教学要求： 了解转动惯量概念 理解刚体转动中的功和能的概念 理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律 了解进动的概念。,本章重点： 刚体绕定轴转动的转动定律 刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律 刚体质点系统的运动问题 本章难点： 刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律,内容,4.1 刚体运动学,4.2 刚体动力学,4.2.1 力矩 角动量 转动惯量,4.2.2 定轴转动定律,4.3 定轴转动的功和能,4.3.2 定轴转动的动能和势能,4.3.3 定轴转动的动能定理,4.4 定轴转动的角动量守恒,4.2.3 转动定律的应用,4.3.1 力矩

2、做功,4.1 刚体运动学,刚体的概念在外力作用下，形状和大小都不发生变化的理想物理模型。(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组) 刚体运动 平动：刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变；可用质心运动定理描述 定轴转动：各质点绕某固定轴作圆周运动,定轴转动的运动学规律,注意角速度是矢量并与线速度间满足,角坐标,角速度,角加速度,注意角速度是矢量，方向由右手螺旋法则规定,定轴转动的角速度矢量只有两个方向：沿轴正向与沿轴负向，故可用正负号表示转动方向,角速度与线速度关系,质点运动与刚体运动的规律比较,例题1、一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。

3、求它的角加速度。,解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4 将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为,角加速度是角速度对t的导数，因此得,由此可见飞轮作的是变加速转动。,例题2、一飞轮转速n=1500转/分，受到制动后均匀地减速，经t=50s后静止。 （1）求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过 的转数N； （2）求制动开始后t=25s 时飞 轮的角速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速 度和加速度。,解:（1）设初角度为0方向如图所示，,量值为0=21500/60=50 rad/s,对于匀变角速转动，可以应用以角量表示的运动方程,在t=50S

4、 时刻 =0 ，代入方程=0+t 得,（2）t=25s 时飞轮的角速度为,从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N 分别为,的方向与0相同,（3）t=25s时飞轮边缘上一点P 的速度。,的方向垂直于 和 构成的平面，如图所示相应的切向加速度和法向加速度分别为,由,边缘上该点的加速度 其中 的方向与 的方向相反, 的方向指向轴心, 的大小为,的方向几乎和 相同。,4.2 刚体动力学,4.2.1 力矩 角动量 转动惯量 力矩用来描述力对刚体的转动作用,力矩的大小和方向,讨论,若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,垂直于转轴，在转轴方向投影为零，只能引起轴的变形, 对转动无贡

5、献。,（1）在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。,（2）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+、-号表示。,（3）刚体同时受几个力矩作用时，总力矩为,每个力矩只有两个可能方向（顺轴、逆轴），故轴方向的力矩为,角动量,质点定点转动的角动量,刚体定轴转动的角动量,转动惯量描述刚体的转动惯性,分立质点：,连续分布：,质元的质量,质元到转轴的距离,例题3、求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。 （3）转轴通过棒的一端并和棒垂直；,解：如图所示，在棒上离轴

6、x 处，取一长度元dx，如 棒的质量线密度为，这长度元的质量为dm=dx。,（1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有,因=m/l，代入得,（2）当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂 直时，我们有,这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。,平行轴定理：,（3）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，我们有,垂直轴定理：,例题4、求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。,解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、 宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的 质量dm= 2rdr 。可得,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质

7、量是平动中惯性大小的量度。,对比：,线动量,角动量,4.2.2 定轴转动定律,由质点系的角动量定理,则刚体定轴转动的角动量定理,又,上式称刚体的定轴转动定律。它表明，刚体绕某一定轴转动，它受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。,1分析问题，视解题方便选定转轴正向。,2根据右手螺旋法则，如果某力对转轴力矩方向与转轴正向一致为正，否则为负。合外力矩应为各力矩的代数和。,4.2.2 转动定律的应用,3. 如果研究刚体质点构成的系统：质点作受力分析，其运动方向与刚体转动方向要协调,4. 对质点用牛顿定律列方程，对刚体用转动定律列方程,5. 关联方程,对滑轮来讲，还受重力和轴的支撑力，但对转动

8、没有影响,注意：中学内容中定滑轮仅为一连接件，绳中张力处处相同，但现在滑轮转动不可忽略，绳各处张力不同！,4.3 定轴转动的功和能,4.3.1 力矩做功,力 对P 点的质元 作功：,因,力矩作功：,对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。,4.3.2 定轴转动的动能和势能 动能,相当于惯性质量 ，角速度 相当于线速度,与质点运动的动能公式,对比，转动惯量,重力势能,表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。,即：,质心高度为：,对于一个不太大的质量为 的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。,4.3.2 定轴转动的动能定理

9、,根据定轴转动定律,外力矩所做元功为：,总外力矩对刚体所作的功为：,则物体在 时间内转过角位移 时,刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,例题7、如图，冲床上配置一质量为5000kg的飞轮， r1=0.3m, r2=0.2m.今用转速为900r/min的电动机借皮带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为d=10cm。（1）求飞轮的转动动能。 （2）若冲床冲断0.5mm厚 的薄钢片需用冲力9.80104 N，所消耗的能量全部由飞 轮提供，问冲断钢片后飞轮 的转速变为多大？,解：（1）为了求飞轮的转动动能，需先求出它的转动惯量和转速。因飞轮质量大部分分别布在轮缘

10、上，由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得,皮带传动机构中，电动机的传动轴是主动轮，飞轮是从动轮。两轮的转速与轮的直径成反比，即飞轮的转速为,由此得飞轮的角速度,这样飞轮的转动动能是,（2）在冲断钢片过程中，冲力F所作的功为,这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为,由,求得此时间的角速度为,而飞轮的转速变为,力矩作功：,(2)定滑轮角速度变化到 时，物体上升的高度,，其初角速度 =5.00rads，,例9、绕在定滑轮上轻绳的一端固定于定滑轮边上，另一端与一质量为m=2.00 kg的物体相连，已知定滑轮质量M=1.00 kg，半径R=0.100m，且轴承光滑，定滑轮转动惯量,方向垂直于纸面向

11、内，求(1)定滑轮的角加速度,解 ：(1)研究定滑轮的转动，选向内作为转轴正向，重力、轴支撑力对转轴力矩为零，对转动没有影响,选x轴向上，根据牛顿定律，有T-mg=ma 关联方程,联立以上三式解得,(2)研究物体m、定滑轮M及地球组成的系统，在物体m上升、定滑轮转动过程中，机械能守恒，选开始m所在处为重力势能零点，有,式中,代入数据，解得h=0.0159 m,4.4 定轴转动的角动量守恒,恒量,这就是说：刚体(或质点系)对某一定轴所受合外力矩为零，则它对这一固定轴的角动量保持不变，这称为刚体(或质点系)绕定轴转动的角动量守恒定律。,由角动量定理,内力矩不改变系统的角动量.,守恒条件,若 不变，

12、 不变； 若 变， 也变，但 不变.,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,系统（多个刚体或质点刚体系统）的角动量守恒,在冲击等问题中,常量,动量一般不守恒，机械能也可能不守恒,生活中的角动量守恒,例题11、一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。,解： 这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。研究棒与地球组成的系统，机

13、械能守恒。,第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点，,用表示棒这时的角速度,则,机械能守恒,（1）,（1）,第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度， 表示棒在碰撞后的角速度，,（2）,式中可正可负。 取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。,第三阶段对物体是碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为,（3）,由

14、匀减速直线运动的公式得,由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得,（5）,定轴转动刚体的角动量守恒定律,（1）,（2）,棒向左摆的条件为：l 6s；,棒向右摆的条件为：l 6s,当取正值，则棒向左摆，其条件为,（5）,当取负值，则棒向右摆，其条件为,求棒的质心C上升的最大高度，第三阶段对棒的偏转来说，研究棒与地球组成的系统，可由机械能守恒定律求得：,把式（5）代入上式，所求结果为,(6),（5）,例题12、工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为

15、600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,为两轮啮合后共同转动的角速度，于是,以各量的数值代入得,或共同转速为,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,以各量的数值代入得,例题13、图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J= 2103kg

16、m2 ，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。每个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m。两喷管的喷气流量恒定，共是=2kg/s 。废气的喷射速率（相对于飞船周边）u=50m/s，并且恒定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。,解：把飞船和排出的废气看作一个系统，废气质量为m。可以认为废气质量远小于飞船的质量，,定轴转动刚体的角动量守恒定律,所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即,在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体，这些气体对中心轴的角动量为dm r(u+v)，方向与飞船的角动量相同。因u=50m/s远大于飞船的速率v(= r=0.3m/s) ，所以此角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即为,在整个喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即L0=L1 ，由此得,即,定轴转动刚体的角动量守恒定律,于是所需的时间等于需要喷出气体总的质量除以喷气流量,喷出气体总的质量,