大学物理课件 运动的守恒定律.ppt

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1、第三章 运动的守恒定律,笛卡尔,开普勒,迈耶,莱布尼茨,本章教学要求： 掌握质点的动量定理和动能定理 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变力的功。理解保 守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力和万 有引力势能。 通过质点在平面内的运动情况理解角动量（动量矩）和角动量守恒定律，并能用它们分析、解决质点在平面内运动时的简单力学问题。 掌握机械能、动量、角动量守恒定律，掌握运用守恒定律分 析问题的思想和方法。,本章重点： 动量守恒定律，械能守恒定律，角动量守恒定律 本章难点： 系统的势能，三大守恒定律。,内容,3.1 动量守恒,3.2.3 势能与功能原理 3.2.4 机械能及能量守恒定律 3

2、.2.5 两体碰撞问题,3.2 机械能守恒,3.1.1 冲量和动量 3.1.2 质点与质点系的动量定理 3.1.3 动量守恒定律 3.1.4 质心运动定理,3.3 角动量守恒,3.3.1 角动量 3.3.2 角动量定理 3.3.3角动量守恒定律,3.2.1 能和功 3.2.2 动能和动能定理,3.4 综合应用,3.1 动量守恒,3.1.1 冲量和动量 冲量力对时间的积累,重写牛顿第二定律微分形式,考虑一过程，时间从t1到t2，两端积分,左侧表示力对时间的积累冲量,3.1.2 质点与质点系的动量定理 质点的动量定理物体在一段时间中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。,动量定理的几点说明：

3、,(1)冲量的方向：,(2)在直角坐标系中的投影式（分量式）,冲量 的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向。,冲量的大小 曲线与t轴所包围的面积,(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。,打击或碰撞过程：,力 的方向保持不变,用平均力代替变力,手接篮球；给商品包上软包装,(4)生活中的动量定理,解1：,根据质点的动量定理，得：,得：,解2：,碰撞过程，地对小球冲量,例3、垒球m=0.3kg，初速v1=20m/s，沿水平，被棒打击后v2=30m/s，方向 ，求垒球受棒打击力，设球和棒接触时间0.01s。,解：忽略碰撞过程的重力作用,方法一：用分量式求解,方法二：

4、用矢量图解法,根据余弦定理,根据正弦定理,得,例4、质量为m=30kg的铁锤（彩电）从1m高处由静止下落，碰撞后末速度为0，（1）若碰撞时间为 ，计算铁锤对被加工锻件的平均冲力。（2）加上包装的彩电与地面碰撞时间 ，求彩电受到的平均冲力。,解：物体受外力,（2）彩电受地面的平均冲力 为,（1）求锻件对铁锤的平均冲力,飞机撞鸟,全世界每年大约发生1万次鸟撞飞机事件。自1960年以来，世界范围内由于飞鸟的撞击至少造成了78架民用飞机损失、201人丧生，250架军用飞机损失、120名飞行员丧生。国际航空联合会已把鸟害升级为“A”类航空灾难。,1980年，英国的一架正在升空的战斗机战斗机在威夫士地区与

5、一秃鹰相撞，机毁人亡。估算相撞时飞机受到的平均冲力。设飞机的速率为v=500m/s，相撞前秃鹰的速率可以忽略不记。秃鹰质量m=5kg，体长l=30cm，秃鹰全部撞入机内。,解：设相撞过程秃鹰相对于战斗机的平均速率为250m/s，则撞击过程时间为,负号表示作用力与初速度方向相反,质点系的动量定理,质点系： n个质点组成的系统,质点系的动量定理,系统总动量的时间变化率，等于系统受到的合外力。,区分外力和内力！,3.1.3 动量守恒定律,内力对系统总动量无改变，但内力可使系统总动量在各质点之间重新分配。,动量守恒定律：孤立系统（不受其它物体作用的系统）的总动量守恒,2、在系统内质点间的碰撞，打击，爆

6、炸过程中，内力很大，可忽略重力、摩擦力等外力，近似认为动量守恒。,讨论,1、虽然有时系统总动量不守恒，但只要系统在某个方向受的合外力为0，则系统在该方向动量守恒。,3、动量守恒是自然界最普遍、最基本的规律之一。,A开始是静止的，则B与e运动方向相反，但实验显示两者的轨迹并不在一条直线上。泡利1930年提出了中微子假说，1956年由实验证明了中微子的存在。即,例5、,解：设衰变后原子核，电子，反中微子动量分别为 、 、 ，则,上式说明车相对地的速度与人相对车的速度方向相反，即沿x轴负向。,（3）式代入（1）式得：,(5),车相对地面移动的距离为,人相对地面移动的距离为,解： 把炮车和炮弹看成一个

7、系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。,例7、 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹相对炮车的出口速度为v0，求炮车的反冲速度v。炮车与地面间的摩擦力不计。,上式得出炮弹的水平分量为,水平方向的动量分量守恒，即,经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度 ，炮车相对地面速度为 ，按速度变换为,炮弹的水平分量为,于是，炮弹在水平方向的动量为m(v0cos+v)，而炮车在水平方向的动量为Mv。根据动量守恒定理有,由此得炮车的反冲速度为,讨

8、论,思考：若炮车在运动过程中发射（速度为 ），发射后瞬间车对地速度 是多少？,增大 可有效增加炮弹的出射速度,若 ，则,火箭飞行原理,前苏联东方1号火箭,长征三号运载火箭,火箭发射,在其后 到 时间内，火箭喷出了质量为 的气体,设在某一瞬时 ，火箭的质量为 ，速度为,是质量 在 时间内的增量,喷出的气体相对于火箭的速度为 ,使火箭的速度增加了,喷气前总动量为：,喷气后火箭的动量为：,所喷出燃气的动量为：,喷气前总动量为：,喷气后火箭的动量为：,所喷出燃气的动量为：,忽略外力的作用，系统的总动量保持不变。根据动量受恒定律,设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量,设火箭开始飞行的速度为零，质量为 ，燃

9、料烧尽时，火箭剩下的质量为 ，此时火箭能达到的速度是,多级火箭,3.1.4 质心运动定理 质心,如果质点系由,个质点组成，记第,个质点的质量和位置矢量分别为,和,则质心的位置矢量为,质量连续分布的物体,质心运动定理,质心运动的速度公式,质点系的总动量,质心运动定理,质心加速度定义为,3.2 机械能守恒,3.2.1 能和功 历史上两种量度之争 力必须由它产生的效果衡量，而不是用它传给另一物体的速度来衡量（莱布尼茨） 动量和能量是运动的两个方面 能对外做功的能力的量度，体现力的距离效果 功 表示力对空间累积效应的物理量。 改变能量的手段,元功,物体在力 的作用下发生一无限小的位移 (元位移)时,此

10、力对它做的功定义为:力在力的位移上的投影和此元位移大小的乘积。,其中为力与位移的夹角。 可以把上式写成两个矢量 的标积,功是标量，没有方向，但有正负。,当00，力对物体做正功。 当=/2时， dA=0，力对物体不做功。 当/2时，dA0，力对物体做负功。,功率：力在单位时间内做的功，用P 表示,功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大，做同样的功花费的时间就越少。,在国际单位制中，功的单位是Nm，叫做焦(J)，功率的单位是J/s ，叫做W(瓦)。,在原子物理中，常用另一个功的单位，即电子伏特（eV），,有限路径上变力对物体做功,b,a,物体在变力的作用下从a运动到b。,怎样计算这个力的功呢？,采

11、用微元分割法,分量式(直角坐标系中的表示）：,分量式（自然坐标系中的表示）：,合力的功,例9、 考察如图3-18所示的单摆。若以水平力,无限缓慢地将摆球从平衡位置推到摆线与竖直方向成,角的位置。求在此过程中，,对摆球所做的功。,平衡条件,水平力,随,变化的函数关系为,元位移的大小可以表示为圆弧的长度,变化的函数关系为,水平力,随,元位移的大小可以表示为圆弧的长度,水平力做的元功为,即,所以在水平力 无限缓慢地将摆球从平衡位置推到摆线与竖直方向成 角的过程中， 对摆球所做的功为,在此过程中，摆球的位置升高,例10、 装有货物的木箱，重G980N，要把它运上汽车。现将长l3m的木板搁在汽车后部，构

12、成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30o角，木箱与斜面间的滑动摩擦系数=0.20，绳的拉力 与斜面成10o角，大小为700N，如图 (a)所示。 求：（1）木箱所受各力所作的功；（2）合外力对木箱所作的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功？,(a),(b),解：斜面与地面成30o角，木箱所受的力为：拉力F 700N ，方向与斜面成100角向上；重力G 980N ，方向竖直向下；斜面对木箱的支持力N ，方向垂直于斜面向上，斜面对木箱的摩擦力 方向和斜面平行，与木箱运动方向相反，如图 (b).已知l=3m,每个力所作的功可计算如下。,（1）拉力F 所做的功A1,重力

13、 所做的功A2,正压力 所做的功A3,摩擦力 所作的功A4；分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上没有运动，根据牛顿第二定律得,由此可求得摩擦力,（2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算出合力所作的功,（3）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力 至少要等于重力 。在这个拉力（ ）的作用下，木箱移动的竖直距离是 。因此 拉力所作的功为,它等于重力 所作的功，而符号相反（因为这时合外力所作的功为零）。,与（1）中 F 作的功相比较，用了起重机能够少作功 我们还发现，虽然 起重机的拉力F比 绳的拉力F 大，但所作的功A却比A1为小，这是因为功的大小不完全取决于力的大小，还和位移的大小及位

14、移与力之间的夹角有关。 为了把木箱装上汽车，我们所需要作的最小功等于克服重力所作的功，其大小为1.47103J, 这对于斜面或是利用起重机甚至其他机械都是一样的。机械不能省功，但能省力或省时间。 正是这些场合，使我们对功的概念的重要性加深了认识。,这一部分起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服摩擦力，用去435J的功，它最后转变成热量；第二，余下的165J的功将使木箱的动能增加。,现在，在（1）中绳的拉力 F 比起重机的拉力多作的功，或者绳的拉力 F 与重力做功之和为：,3.2.2 动能和动能定理,根据功的积分形式,定义质点的动能为：,质点的动能定理,质点动能定理:合外力对质点所做的功等于质

15、点动能的增量。,a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小。,d.功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。,b.动能的量值与参考系有关。,c.动能定理只适用于惯性系。,几点注意：,例11、有一密度为的细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为的液体表面。现悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性。,解：如图所示，t时刻，细棒在水中部分的长度为x，细棒受重力G= lg，受浮力B=xg,细棒下落过程中，合外力对它作的功为,应用动能定理，因初速度为0，末速度v，可求得如下,细棒下落过程中，合外力对它作的功为,例12、传送机通过滑道将长为

16、L，质量为m的柔软匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台面上滑动S距离后停下来（如图）。已知滑道上的摩擦可不计，物与台面间的摩擦系数为，而且SL，试计算物体的初速度v0。,解：由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面之前，它对台面的正压力可认为与滑台上面的质量成正比，所以，它所受台面的摩擦力fr是变化的。本题如果用牛顿定律的瞬时关系求加速度是不太方便的。,任意时刻，物体在水平台面上的长度为x,则物体所受的摩擦力大小为：,当物体前端在s处停止时，摩擦力做的功为,再由动能定理得,即得,质点系的动能定理,考虑两个质点的简单质点系,系统内力做功之和可以不为零，这是因为虽然一对内力 大小相等，

17、方向相反，即,但有相互作用的两个质点的位移并不一定相同。内力虽不能改变系统的总动量，但可以改变系统的总动能。,所有外力和内力对质点系内各质点所作的功之和等于质点系总动能的增量，这一结论称为质点系的动能定理。,3.2.3 势能与功能原理 几种常见的力做功,重力做功,万有引力做功,以M 为参考系,弹力做功,摩擦力做功,摩擦力方向与运动方向相反,摩擦力方向不总与运动方向相反,保守力,做功与路径无关，只与起点和终点位置有关,质点沿闭合路径运动一周，保守做功为零,势能,保守力做功仅取决于运动物体的始末位置，而与经过的路径无关，因此必然存在一个由位置决定的函数来确定保守力做功的值，该函数称为势能。,势能属

18、于相互作用的两物体,为处理方便，可选择一个位置为势能零点O，空间任意位置的势能数值就相对势能零点确定。,由势能函数求保守力,功能原理,质点系的动能定理,系统末动能,系统初动能,末机械能,初机械能,机械能,比较,质点的,质点系的 动能定理,质点系,外力作功与 内力作功,只有动能,摩擦力与重力做功,桌面正压力作功为0,外力：摩擦力、重力、正压力,桌面上链条质量：,桌面下链条质量：,例16、一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在环上运动(=0)开始球静止于点 A, 弹簧处于自然状态，其长为环半径R;,当球运动到环的底端点B时，球对环没有压力求弹簧

19、的劲度系数,解：以弹簧、小球和地球为一系统,只有保守内力做功,系统,即,又,所以,3.2.4 机械能守恒与能量守恒,状态1的机械能：,状态2的机械能：,状态1的机械能：,状态2的机械能：,由机械能守恒：,三种宇宙速度,第一宇宙速度：物体绕地球作圆周运动所需要的最小速度,从地球表面发射卫星的速率为,在半径为 的轨道上，由机械能守恒,第二宇宙速度：物体逃脱地球引力的最小速度,由机械能守恒,一般星球质量与半径分别为M，R，则物体脱离该星球引力的最小速度为,星球上任何物质（包括电磁波）都逃不出，该星球与外界的一切物质与信息交流全部中断了，我们称之为黑洞。,也就是说，若星球的半径压缩到,从地球表面发射卫

20、星的速率为,第三宇宙速度：物体逃脱太阳系的最小速度,发射物体相对于太阳的速率为,对于太阳而言，地球绕日公转平均速率为,借助公转，地球上发射的速率可为,脱离太阳系既要摆脱太阳，还要摆脱地球,碰撞持点:,（2）碰撞时间极短，易于分清过程始末状态,3.2.5 两体碰撞问题,（1）碰撞冲击力外力,可不考虑外力的作用,对心碰撞-碰撞前后的速度矢量都沿两球中心（质心）连心线上的碰撞。,便于用守恒定律来研究,设 和 分别表示两球在碰撞前的速度， 和 分别表示两球在碰撞后的速度， 和 分别为两球的质量。,碰撞后,碰撞前,碰撞时,我们把物体视为“球模型”来考虑。,应用动量守恒定律得,牛顿的碰撞定律：碰撞后两球的

21、分离速度 ，与碰撞前两球的接近速度 成正比，比值由两球的材料性质决定。,恢复系数,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，称为完全非弹性碰撞。机械能有损失。,的碰撞叫做非弹性碰撞(机械能有损失)。,分离速度等于接近速度，称为完全弹性碰撞。机械能守恒。理想情况。,1. 完全弹性碰撞,（1）设 得 ，两球经过碰撞将交换彼此的速度。,（2）设 ，质量为 的物体在碰撞前静止不动，即,讨论：,如果,质量极大并且静止的物体，经碰撞后，几乎仍静止不动，而质量极小的物体在碰撞前后的速度方向相反，大小几乎不变。,如果,用质量极大的球碰撞静止的轻球，经碰撞后，几乎以原速前进，而轻球在碰撞后以2倍重球速度前进。,完全弹

22、性碰撞促使中子的发现,2. 完全非弹性碰撞,在完全非弹性碰撞中,3. 碰撞中的力和能,设在两球相碰撞的问题中，碰撞接触时间极短，用 表示，把动量定理应用于质量为 的小球得,表明：力的大小和两物体相遇前的接近速度成正比，而和接触时间成反比。力的大小与接触物体的质量和材料有关。,系统损失的机械能,如锻铁、打桩等、,在此条件下，碰撞前的机械能为：,工程上，有时希望碰撞后形变大（机械能损耗大）如锻铁：,有时则希望碰撞后形变小（机械能损耗小）如打桩，以希望被打的物体获得较大的动能。,m2,3.3 角动量守恒,动量、能量不足以描述运动的全部特征,计算角动量时不是看它离开原点跑多快，而是看它围绕原点的运动如

23、何 费曼,或,3.3.1 角动量,特例,证明：作匀速直线运动的物体对某一参考点的角动量为常矢量，与物体的位置无关。,如图，做匀速直线运动的物体位于1点对参考点O的角动量为,位于2点对参考点O的角动量为,两者大小相等，方向相同，且,3.3.2 质点与质点系的角动量定理 力矩,质点的角动量定理,注意,质点系的角动量定理,系统总角动量,第 个点的角动量,系统的总角动量变化率,系统内力矩和,系统的角动量定理,3.3.3 角动量守恒,角动量守恒定律：系统所受的总外力矩为0时，系统总角动量保持不变,内力矩对系统总角动量无改变，但内力矩可使系统总角动量在各质点之间重新分配。,例18、,解：,根据动能定理，外

24、力做功为,例19、质量均为 的两个小钢球固定在一个长为 的轻质硬杆的两端，杆可在水平面内绕通过中点O的轴自由转动，杆原来静止。另一泥球质量为 ，以水平速度 沿垂直于杆的方向与一个小钢球相碰，碰后两者粘在一起。求碰后杆转动的角速度。,思考：可以用动量守恒解吗？,解：角动量守恒，对于O点,初始角动量：,碰后角动量：,开普勒第二定律的证明,对于任何一个行星来说，它的矢径在相等的时间内扫过相等的面积等面积定律,证明：设在很短的时间 内，矢径扫过的面积为 ，近似为一个三角形面积,根据角动量守恒：,掠面速度 也为常数,3.4 综合应用,原则：分阶段（过程）解题，每个阶段的对象可发生变化,第三阶段：泥球、平板向下运动过程 （对象：m、M、弹簧、地球） 机械能守恒,