经济函数最值管理及财务知识分析应用.pptx

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1、(1) 定义定义最值的定义最值的定义 如果函数如果函数f（x）在其定义域）在其定义域a，b上的函数值满足上的函数值满足 其中其中 则称则称 为函数的最为函数的最小值，小值， 为函数的最大值。为函数的最大值。mxf)(1,)(,)(2121baxxMxfmxfMxfm)(Mxf)(23.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1) 定义定义,ba我们知道，连续函数我们知道，连续函数 在闭区间在闭区间 上一定存在最大值上一定存在最大值和最小值，且最大值和最小值只可能在区间和最小值，且最大值和最小值只可能在区间 内的极值点和内的极值点和端点处得到因此可直接求出一切可能的极值

2、点（驻点及个别不端点处得到因此可直接求出一切可能的极值点（驻点及个别不可导点）和端点处的函数值，比较这些数值的大小，即可得出函可导点）和端点处的函数值，比较这些数值的大小，即可得出函数的最大值和最小值。数的最大值和最小值。)(xf),(ba3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 引子引子如果函数如果函数 在在 上单调增加，则函数的最大值上单调增加，则函数的最大值和最小值分别是什么？和最小值分别是什么？ )(xf,ba)(xf? ?3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 引子引子)(af如图所示，如果在如图所示，如果在上单调

3、增加，则函上单调增加，则函数的最小值是，数的最小值是，最大值是。最大值是。)(xf,ba)(xf)(bfxyoab3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 引子引子如果函数如果函数 在在 上单调减少，则函数的最大值上单调减少，则函数的最大值和最小值分别是什么？和最小值分别是什么？ )(xf,ba)(xf? ?3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 引子引子)(af如右图所示，如果在如右图所示，如果在上单调减少，则函上单调减少，则函数的最小值是，数的最小值是，最大值是。最大值是。)(xf,ba)(xf)(bfxyoab3.4

4、函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 引子引子在什么情况下函数在什么情况下函数 的极大值一定是最大值，在什么情的极大值一定是最大值，在什么情况下函数况下函数 的极小值一定是最小值的极小值一定是最小值)(xf)(xf? ?3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 引子引子3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用 如果连续函数如果连续函数 在在 上仅有一个极大值而上仅有一个极大值而没有极小值，则此极大值就没有极小值，则此极大值就是是 在在 上的最大值，上的最大值，如右图所示。如右图所示。)(xf,ba)(x

5、f,baxyoabx0f(x0)(2) 引子引子3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用 如果连续函数如果连续函数 在在 上仅有一个极小值而上仅有一个极小值而没有极大值，则此极小值就没有极大值，则此极小值就是是 在在 上的最小值，上的最小值，如右图所示。如右图所示。)(xf,ba)(xf,baxyoabx0f(x0)(3) 举例举例3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用例例 求函数求函数 在上的最值。在上的最值。430182)(23xxxxf3, 0解：解：)5)(1(630366)(2xxxxxf因为因为, 0)x(f, 1x152x

6、令令得驻点得驻点（不合题意舍去）（不合题意舍去）,18)3(f ,18) 1 (f , 4)0(f由于由于比较各值，比较各值，,18) 1 (f18)3(f得函数的最大值为得函数的最大值为最小值为最小值为(3) 举例举例3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用例例 求函数求函数 在上的最大值和最小值。在上的最大值和最小值。322)(xxxf4, 1解：解：3222)2(3)1 (2)22(231)(32xxxxxxxf因为因为0)( xf)(xf2x0 x显然显然 与与 是是 的不可导点，令的不可导点，令 ，1x得驻点为得驻点为 ，1) 1 (f2)4(f 比较各值

7、，得函数最大值为比较各值，得函数最大值为 ，最小值为，最小值为 。(4) 训练题一训练题一 3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用 1 . 求函数求函数 在在 上的最大值和最上的最大值和最小值。小值。593)(23xxxxf4, 2答案：最大值答案：最大值f（-1）=10，最小值，最小值f（3）=-22(1) 举例举例3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用设某产品的总成本函数为设某产品的总成本函数为 （元）（元）（为产品的产量），求当产量为多少时，该产品的平均成本最（为产品的产量），求当产量为多少时，该产品的平均成本最小，并求最小平均

8、成本？小，并求最小平均成本？1600q15q25. 0)q(C2解：解：), 0(16001525. 0)()(qqqqqCqC该产品的平均产品函数为该产品的平均产品函数为0)(qC0160025. 0)(2qqC令令 ，即，即 80q求得唯一驻点求得唯一驻点 ，55801600158025. 0)80(C80q)(qC所以所以 在在 处取得最小值，最小值为处取得最小值，最小值为例例 又因为又因为, 0)80(C 3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 训练题二训练题二 1. 设某产品的价格与需求的关系为设某产品的价格与需求的关系为 ，总成本，总成本函数函数

9、 （元），求当产量和价格分别是多少时，（元），求当产量和价格分别是多少时，该产品的利润最大，并求最大利润该产品的利润最大，并求最大利润qp3 . 0250 1800100)(qqC 答案：当产品为答案：当产品为250个单位，价格为个单位，价格为175元元/单位时，单位时，利润最大，最大利润为利润最大，最大利润为16950元元 (1) 定义定义3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用定义定义3.2 边际函数边际函数 反映了函数反映了函数 在点在点 处的变化率。处的变化率。)(xf)(xf x设函数设函数 在点在点 处可导，则导函数处可导，则导函数 称为函数称为函数 的

10、边的边际函数。际函数。 也称为函数在也称为函数在 处的边际函数值。处的边际函数值。x)(xf)(xf )(0 xf 0 x)(xf)(xf3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1) 定义定义 因为因为 ，当，当 ， 时有时有因此，函数因此，函数 在点在点 处的边际函数值的具体意义是，处的边际函数值的具体意义是，当当 在点在点 处改变一个单位时，函数处改变一个单位时，函数 近似地改变近似地改变个单位。个单位。xxfdyy)(00 xx 1x)(0 xfy)(xfy )(xf)(0 xf 0 xx 0 x)(xf3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数

11、在经济中的应用(2) 举例举例例例 求函数求函数 在点在点 处的边际函数值。处的边际函数值。2x123xxy解解: 即边际函即边际函 数值为数值为14。yx2xy 它表示函数在它表示函数在 处，当处，当 改变一个单位时，函数近改变一个单位时，函数近似地改变似地改变14个单位。个单位。, 2x3y2因为因为,14y2x所以所以3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1) 定义定义边际需求的定义边际需求的定义设需求函数设需求函数 在点在点 处可导（其中处可导（其中 为需求量，为为需求量，为价格），则其边际函数价格），则其边际函数 称为边际需求函数。简称边际需称为边际需

12、求函数。简称边际需求。求。p)(pfQQp)(pfQ 3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1) 定义定义边际供给的定义边际供给的定义 若供给函数若供给函数 在点在点 处可导（其中处可导（其中 为供给量，为供给量，为价格），则其边际函数为价格），则其边际函数 称为边际供给函数。简称边际供称为边际供给函数。简称边际供给。给。p)(pgQQp)(pgQ 3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1) 定义定义边际成本的定义边际成本的定义 设成本函数设成本函数 可导（其中可导（其中 表示总成本，表示总成本， 表示产量），表示产量），则其边际

13、函数则其边际函数 称为边际成本函数，简称边际成本。称为边际成本函数，简称边际成本。 称为当产量为称为当产量为 时的边际成本。时的边际成本。q)(qCCC)(qCC )(0qC0q0q)(0qC 其经济意义为：当产量达到其经济意义为：当产量达到 时，如果增减一个单位产品，时，如果增减一个单位产品，则成本相应增减个单位。则成本相应增减个单位。3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1) 定义定义边际收益的定义边际收益的定义设收益函数设收益函数 可导（其中可导（其中 表示收益，表示商品销售表示收益，表示商品销售量），则其边际函数量），则其边际函数 称为边际收益函数，简称

14、边际收益。称为边际收益函数，简称边际收益。 称为当商品销售量为称为当商品销售量为 时的边际收益。时的边际收益。q)(qRRR)(qRR )(0qR0q)(0qR0q 经济意义：销售量达到经济意义：销售量达到 时，如果销售量增减一个单位产品，则时，如果销售量增减一个单位产品，则收益相应增减个单位。收益相应增减个单位。3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1) 定义定义边际利润的定义边际利润的定义设利润函数设利润函数 可导，则其边际函数可导，则其边际函数 称为边际称为边际利润。称为当产量为利润。称为当产量为 时的边际利润。时的边际利润。)(qLL)(qLL )(0q

15、L0q)(0qL0q 经济意义：当产量达到经济意义：当产量达到 时，如果增减一个单位产品，则利时，如果增减一个单位产品，则利润相应增减润相应增减 个单位。个单位。3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 举例举例例例 设总成本函数设总成本函数 （元），（元），求：求： 边际成本函数；边际成本函数； 生产生产50个单位时的平均单位成本，和边际个单位时的平均单位成本，和边际成本值，并解释后者的经济意义。成本值，并解释后者的经济意义。1000q40q3 . 0q001. 0)q(C23, 5 .4750)50(C q=50时的平均单位成本为时的平均单位成本为406

16、. 0003. 0)(2qqqC 边际成本函数为边际成本函数为解：解：5 .17)406 . 0003. 0()50(502qqqCq=50时的边际成本为时的边际成本为 经济意义：当生产达到经济意义：当生产达到50个单位产品时，如果再多生产个单位产品时，如果再多生产1个产品个产品所最加的成本为所最加的成本为17.5元。元。3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(3) 训练题三训练题三 某工厂日产能力最高为某工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本吨，每日产品的总成本C（元）是（元）是日产量日产量x（吨）的函数：（吨）的函数： 求当日产量为求当日产量为100吨

17、时的边际成本，并解释经济意义。吨时的边际成本，并解释经济意义。x50 x71000)x(C1000, 0 x 答案：答案：边际成本：边际成本： 经济意义是：当产量是经济意义是：当产量是100吨时，每增加吨时，每增加1吨产量，成本增加吨产量，成本增加9.5元。元。5 . 9)100(C3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1) 定义定义定义定义3.3 设函数设函数 在点在点 处可导，称极限处可导，称极限 为函数为函数的弹性函数，记为的弹性函数，记为 ，即，即x)(xf)(xfxxyyx0lim)(xE)()(lim)(0 xfxxfyxxyxEx3.4 函数的最值

18、与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1) 定义定义在点在点 处，弹性函数值处，弹性函数值 称为函数称为函数 在点在点 处的弹性值，简称弹性。它表示在点处的弹性值，简称弹性。它表示在点 处，当处，当 变动变动1%时，时， 的值近似地变动的值近似地变动 。)(xf)(xf)%x(E00 xx )()()(0000 xfxxfxE0 x0 xx x3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 举例举例例例 x2exy设函数设函数 ，求其弹性函数以及在，求其弹性函数以及在 处处的弹性。的弹性。3x )2(22xxeexxeyxxx解：因为解：因为xexxe

19、xxfxyxExx 2)2()()(22所以弹性函数所以弹性函数1)2()3(3xxE于是，于是，3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1) 定义定义定义定义3.4 )(pgQ 0pp 设需求函数设需求函数 在在 处可导，则处可导，则)()()(lim000000pQppQppQQp0pp称为该商品在称为该商品在 处的需求弹性，记作处的需求弹性，记作 或或 ，即，即0pp )(0p)p(Qp)p(Q)p(00003.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(1) 定义定义定义定义3.5 0pp )p(SS设供给函数设供给函数 在在 处可导

20、，则处可导，则)()()(lim000000pSppSppSSp0pp称为该商品在称为该商品在 处的供给弹性，记作处的供给弹性，记作 或或 ，即，即0pp )(0p)()(0000pSppSpp3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 举例举例例例 设某商品的需求函数为设某商品的需求函数为 ，求，求 需求弹性函数；需求弹性函数； 时的需求弹性，并说明其经济意义；时的需求弹性，并说明其经济意义； 时，价格上涨时，价格上涨1%，其总收益增加还是减少？变化的幅度是，其总收益增加还是减少？变化的幅度是多少？多少？ 当当 取多少时，总收益最大？取多少时，总收益最大？27

21、5)(ppQ4p 4pp3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 举例举例222752752)()(ppppppQpQp 需求弹性函数：需求弹性函数：275)(ppQ解：因为需求函数为解：因为需求函数为)75()(2pppR，总收益函数为，总收益函数为54. 0593247542)4(22 当当p=4时的需求弹性时的需求弹性 这说明，在这说明，在p=4时，价格每上涨时，价格每上涨1%，则需求减少，则需求减少0.54%；而价；而价格若下降格若下降1%,则需求增加则需求增加0.54%。3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(2) 举例

22、举例解：解：46. 054. 011)(pE 当当p=4时的收益弹性：时的收益弹性： 所以，当所以，当P=4时，价格上涨时，价格上涨1%，总收益增加，总收益增加0.46% 。1p75p2221)(p 要使总收益要使总收益R（p）最大，应有需求弹性）最大，应有需求弹性 ，即，即得得p=5，p=-5（舍去），故当（舍去），故当p=5时，总收益取得最大值。时，总收益取得最大值。3.4 函数的最值与函数的最值与导数在经济中的应用导数在经济中的应用(3) 训练题四训练题四 1. 设某商品的供给函数为设某商品的供给函数为s=2+3p，求供给弹性函数以及，求供给弹性函数以及p=3 时的供给弹性时的供给弹性 2. 某产品的销售量某产品的销售量x与价格与价格p之间的关系式为之间的关系式为 ，求，求需求弹性。如果价格为需求弹性。如果价格为0.5，试确定此时需求弹性的值。，试确定此时需求弹性的值。ppx1 答案：答案：1. 8 . 0,p32p32,1p12.