2022年高三数学二轮复习专题辅导解答题解题策略精品教学案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载【专题九】解答题解题策略【考情分析】高考数学解答题是在高考试卷中的其次部分（或第二卷）,在近几年的高考中其题量已基本稳固在6题,分值占总分的49.3%,几乎占总分一半的数学解答题（通常6 大题, 74 分）聚集了把关题和压轴题,在高考中举足轻重,高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标像圆锥曲线综合题、函数方程不等式的交汇题、三角向量的结合问题等仍将是 12 年高考的重点；估量 13 年高考的热点：1、三角函数解答题多集中在以下几个类型上：三角函数的化简、求值问题；三角函数的图象与 性质问题；涉及解三角形 的三角

2、函数问题；三角函数与平面对量、导数、数列等的交汇问题；三角形 中的边角关系特殊是正余弦定理,它是三角形本身内在的一种确定关系；近几年高考考查三角问题主要有两种形式：一是求较为复杂的三角函数表达式的某些性质、图像的变 换、值域或者最值；二是三角形中有关边角的问题；高考试卷中将这两种形式合二为一,这很可能会是今后命题的趋势；对于第一种形式的问题,一般要依据角、次、名、结构等方面,进行三角公式变换,然后 运用整体代换思想或者结合函数思想进行处理；对于其次种形式的问题,一般要结合正余弦定理和三角形 的边角学问进行处理；备考复习的重点应当放在三角恒等式的等价变形、三角函数的图像和性质、正余弦定理的使用、

3、三角形学问的把握和敏捷应用以及三角函数常用基本思想、技能、方法方面；2、立体几何：多角度训练证明平行、垂直问题；留意数量关系中空间角、距离的运算与转化；连续关注作图,识图,空间想象才能；学会两种法解题,侧重于传统解法；立体几何解答题的考查近几年基本形成肯定规律,就是以棱柱、棱锥等简洁几何体为载体考查平行、垂直的判定和性质、角和距离的运算、表面积和体积的运算；试题的设置一般两问或者三问,近几年大多是两问；如设置两问,就第一问往往考查平行、垂直的判定和性质（特殊垂直是重点）；其次问考查空间 角的运算（特殊二面角是重点）；出 现第三问,就一般考查空间距离的运算（特殊是点面距离）或者体积的运算,体积常

4、常也是以求空间距离为核心；其中空间角和距离的运算往往转化到三角形中进行；另外仍 要留意立体几何探干脆问题的显现,主要是探究空间点的存在性；备考复习的重点应当放在三个方面；第 一方面是把握线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质,特殊要留意平行链和垂直链学问之间的转化；其次方面是把握空间角和距离的求法；在空间角中,异面直线所成角要留意定义法和补形法；线面角要注意定义法和点面距离法；二面角要留意三垂线定理法和射影面积法；至于空间距离, 要着重留意线面距离、面面距离转化为点面距离,点面距离的求法以及等体积转化求点面距离；第三方面是留意立体几何常用的 思想方法和解题技巧：方程思想（特殊适用于解探干脆问题

5、）、转化思想、空间问题平面化思想；3、概率与统计：概率作为近几年应用问题的考查题型,几乎是不变的准就（只有极个别省市寻求变化没显现） ,留意图表意识,向统计方向转移这一点在有些省市高考试题中已有表达；精确识别概率 模型；把握大事间的运算关系；熟识常见的离散型随机变量的分布列并精确运算出期望；近几年概率统计问题常常结合实际应用问题考查,是近几年的热点；估量2022 年仍将突出概率应用题的考查,主要分两个层次：文科主要考查等可能大事的概率、互斥大事有一个发生的概率、相互独立大事同时发生的概率 的运算方法以及运用概率学问解决实际问题的才能；理科主要考查离散型随机变量的分布列与期望、方差 的运算；离散

6、型随机变量的分布列与正态分布的内容在近几年的考查中得到了加强,估量 2022 年不仅不 会减弱对的考查,而且仍很可能加大对正态分布的考查,提示同学们留意；备考复习的重点应当放在把握 基此题型,搞清晰互斥大事、对立大事、等可能大事、相对独立大事的概念和算法；把握离散型随机变量的分布列以及期望、方差的运算； 留意如何抽取样本、估量总体以及如何利用正态分布解决实际应用问题；4、数列：把握数列的整体结构,会求通项和前n 项和；数列就是一列数,可从函数与方程思想角度来懂得,多用归纳,猜想,数列中常常显现的一些不等式放缩问题要多总结；近几年解答题关于数列学问的考查,重点是数列的通项公式、数列的求和及其应用

7、、Sn 与 an 的关系,且这类题目多与函数、不等式、解析几何等学科交叉命题,此类题目难度大、综合性强需要运用各种数学思想和方法；备考复习 中,需要同学们留意基础,娴熟把握等差数列、等比数列的概念与性质、通项公式、求和公式（公比 q 的 争论）；数列 Sn 与 an 的关系,并项法、裂项法、错位相减法等常用求和方法；另外,仍要留意数列学问名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载与极限学问的结合,三种基本极限对于q 的争论等学问的把握；仍有两点想提示同学们留意：一是探干脆问题在数列中考查较多；二是数列应

8、用问题可能会在高考题目中显现；5、解析几何：小题小做,多用圆锥曲线定义、性质和平面几何学问；大题留意通性通法,强化 运算代换才能,加强意志品质的培育,留意分步得分,踩点得分；有向量背景的几何问题,留意图形特征及意义, 一般情形都是坐标表示,实施数与形的转化；与解析几何有关的试题约占试题总数的六分之一；试题既坚持了留意通性通法、淡化特殊技巧的命题原就,又适度地表达了敏捷运用的空间,仍集中考查了 考生的运算才能,真正做到了有效检测考生对解析几何学问所包蕴的数学思想和方法的把握程度；解析几 何解答题,常常以圆锥曲线为载体,高考一般设置两问,第一问常常考查圆锥曲线的方程、定义、轨迹、离心率等基础学问；

9、其次问常常争论直线与圆锥曲线的位置关系,弦长、焦点弦长、中点弦、参数范畴、最值问题等；常常在题目设置时,结合平面对量,有时仍结合导数学问（例如切线问题）,构成学问交汇 问题,综合考查分析和解决问题的才能；备考复习时,第一应当留意对基础学问的把握和敏捷应用,娴熟把握直线与圆的方程,圆锥曲线的定义、 性质； 其次突出抓好高考考查的重点、热点内容以及方法的复习,如轨迹问题、对称问题、参数范畴问题、最值问题、弦长问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题、向量和 解析几何综合问题等；最终仍要重视运算才能的培育,尽可能达到优化解题思维、简化解题过程的目的；6、函数、导数与不等式：考查求函数的解析式、定义域、值域

10、、函数的奇偶性与周期性的问题；对函数图象的考查；函数的单调性及最值问题；函数与导数、 不等式, 函数与数列、 不等式等综合；函数是高中数学的重要内容,函数的观点和方法贯穿整个高中数学；导数作为新课标新增内容,近几年已 由解决问题的帮助位置,上升为分析问题和解决问题必不行少的工具；不等式与函数、导数之间存在千丝 万缕的关系；在近几年的高考解答题中,对于函数、导数、不等式的考查,理科基本是利用导数作为工具 争论非初等函数的单调性、极值与最值、解决与方程以及不等式相关的综合问题；文科基本上是以三次函 数为载体考查函数的单调性、极值与最值以及结合不等式考查参数的取值范畴问题；其中以参数的取值范围问题和

11、函数单调性、最值方面的应用为重点,更多的是函数、 数列、 解析几何等交叉渗透命题,以导数、不等式为工具加以解决的综合性题目；有时也显现考查解含参数不等式的解答题；备考复习中,应将重点 放在二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系；基本初等函数的图像和性质；原函数与反函数、原函 数与导函数的关系；不等式的基本性质、均值不等式的使用、八类不等式的解法（一元一次不等式、一元 二次不等式、肯定值不等式、分式不等式、高次不等式、无理不等式、指对数不等式、三角不等式）等基 本学问的娴熟把握,以及结合函数与方程的思想、分类争论思想（含参数不等式）、转化与化归思想、数 形结合思想,引进变量、运用函数、导函数分

12、析问题,解决问题的才能提高上；另外,特殊提示两点留意：一是函数和不等式结合,争论命题恒成立时的参数范畴问题；二是导数与传统不等式的证明相互结合,用 导数法证明不等式也有可能成为新的命题趋势；仍有高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型,另外, 估测运算型和信息迁移型也时有显现；当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治、经济、文化,紧扣时代的主旋律,凸显了学科 综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景线；多数显现在像理科概率中分布列的期望方差说明实际 问题、函数和数列学问及其性质说明、解决实际问题中；【学问归纳】在高考数学试题的三种题型中,解答题占分的比重最大,足见它在试卷中位置之

13、重要；解答题也就是 通常所说的主观性试题,这种题型内涵丰富,包含的试题模式敏捷多变,其基本架构是：给出肯定的题设（即已知条件） ,然后提出肯定的要求（即要达到的目的）,让考生解答；而且, “ 题设” 和“ 要求” 的模 式就五花八门,多种多样；考生解答时,应把已知条件作为动身点,运用有关的数学学问和方法,进行推 理、演绎或运算,最终达到所要求的目标,同时要将整个解答过程的主要步骤和经过,有条理、合规律、完整地陈述清晰；1数学综合题的解题策略解综合性问题的三字诀“ 三性” ：综合题从题设到结论,从题型到内容,条件隐藏,变化多样,因此名师归纳总结 - - - - - - -就打算了审题摸索的复杂性

14、和解题设计的多样性；在审题摸索中,要把握好“ 三性” ,即1 目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标；2 精确性：提高概念把握的精确性和运算的精确性；3 隐第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载含性：留意题设条件的隐含性；审题这第一步,不要怕慢,其实慢中有快,解题方向明确,解题手段合理,这是提高解题速度和精确性的前提和保证；“ 三化” ： 1 问题详细化 包括抽象函数用具有相同性质的详细函数作为代表来争论,字母用常数来代表 ；即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系详细明确,有时可画表格或图形,以便于把一般原理、一般规律应用到

15、详细的解题过程中去；的简洁问题,把复杂的形式转化为简洁的形式；2 问题简洁化；即把综合问题分解为与各相关学问相联系 3 问题和谐化；即强调变换问题的条件或结论,使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点,或者突出所涉及的各种数学对象之间的学问联系；“ 三转” ： 1 语言转换才能；每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所 组成；解综合题往往需要较强的语言转换才能；仍需要有把一般语言转换成数学语言的才能；2 概念转换才能：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换才能；3 数形转换才能；解题中的数形结合,就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义,力图在代数与几

16、何的结合上找出解题思路；运用数形转换策略要留意特殊性,否就解题会显现漏洞；“ 三思” ： 1 思路：由于综合题具有学问容量大,解题方法多,因此,审题时应考虑多种解题思路；2 思想： 高考综合题的设置往往会突显考查数学思想方法,解题时应留意数学思想方法的运用；3 思辩：即在解综合题时留意思路的挑选和运算方法的挑选；“ 三联” ： 1 联系相关学问,2 连接相像问题,2 联想类似方法；2数学综合题的解题策略求解应用题的一般步骤是（四步法）：（1）、读题：读懂和深刻懂得,译为数学语言,找出主要关系；（2）、建模：把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题；（3）、求解：化归为常规问题,挑选合适的数学方

17、法求解；（4）、评判：对结果进行验证或评估,对错误加以调剂,最终将结果应用于现实,作出说明或验证 . 4在近几年高考中,常常涉及的数学模型,有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等；函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容,现实世界中普遍存在着的最优化问题,常常可归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数学问和方法去解决； 依据题意,娴熟地建立函数模型； 运用函数性质、不等式等学问处理所得的函数模型；几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及肯定图形属性的应用问题,常常需要应用几何图形的性质,或用方程、不等式或用三角函数

18、学问来求解；数列模型 在经济活动中,诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决. 在解应用题时,是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合肯定的规律,可先从特殊的情形入手,再查找一般的规律；【考点例析】题型 1：二次函数综合问题名师归纳总结 例 1（ 2022 年高考（北京文） ）已知函数f x ax21a0,g x x3bx . 处具有公第 3 页,共 19 页1 如曲线yf x 与曲线yg x 在它们的交点 1, c 处具有公共切线, 求a b 的值；2 当a3,b9时, 求函数f x g x 在

19、区间 ,2上的最大值为28, 求 k 的取值范畴 . 解:1f 2ax ,g x =3x2b . 由于曲线yf x 与曲线yg x 在它们的交点1,c共切线 , 所以f1g 1,f1g1. 即a11b 且 2 a3b . 解得a3,b3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 记h x f x 学习好资料,h x 欢迎下载1,2 2 g x 当a3,b9时,h x x33 x29x13x26x9令h x 0, 解得 :x 13,x 21; h x 与h x 在 , 2 上的情形如下 : 3,11 x, 33h x + 3 + 0 0 28 -4 h x 由

20、此可知 : 当k3时, 函数h x 在区间 ,2上的最大值为h 328; 当3k2时, 函数h x 在区间 ,2上的最大值小于28. 因此 , k 的取值范畴是, 3点评：三个“ 二次” 即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和亲密的联系,同时也是争论包含二次曲线在内的很多内容的工具 . 高考试题中近一半的试题与这三个“ 二次” 问题有关 . 本节主要是帮忙考生懂得三者之间的区分及联系,把握函数、方程及不等式的思想和方法 . 名师归纳总结 1例 2设 f xax2bxc a0 ,如f 01 , f 1f1 , f 11 , 试证明：对于任意第 4 页,

21、共 19 页x1,有 fx5. ,f1,f1来表示a,b,c. 0, 4f0分析：同上题,可以用解：f1abc ,f1abc,f0c, a1f1f10,b1f1 f1 ,c2f22fxf1x22xf1x22xf01x2. 当1x0时,f1x22xf01x2fxf1x22xx2xx2x1x222x2xx2x 1x222x2x15 4.x12524当0x1时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fxf1x2xf学习好资料f01欢迎下载1x22xx22x 2xx2x1x222x2xx2x1x22x12x2x1255 4.24综上,问题获证；点评：由于二次函数的

22、解析式简捷明白,易于变形（一般式、顶点式、零点式等）,所以,在解决二次函数的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性质；题型 2：代数推 理题的典例解析名师归纳总结 c例 3已知fxxx1x1 .xyxy第 5 页,共 19 页 1 求fx 的单调区间；（2）如ab0,ca1b,求证:fafc3.b 4解析：（1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得fx 1x11, fx 在区间,1 和,1上分别单调递增.（2）第一证明任意xy0 ,有fxyfxfy.事实上：fx fyxx1yy1xyxyxyxyxxyy1fxyxy1xy而xyxyxy,由 1

23、知fxyxyfxy,fxfy fxya1ba1b240 ,b ba2 , 在高考备考中2acaa43.22a2fafcfacf3 3. 4点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新, 是既考学问又考才能的好题型- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有较高的训练价值. 针对本例的求解学习好资料欢迎下载有fxy fxfy.采纳逆, 你能够想到证明任意xy0,向分析法 , 给出你的想法；f例 4对于函数fx,如存在x0R ,使fx0x0成立,就称x 为fx 的不动点；假如函数xx2ab ,cN有且只有两个不动点0,2,且f2 1,bxc3成立 . 2（1）求

24、函数fx的解析式；（2）已知各项不为零的数列a n满意4S nf11,求数列通项a ；an（3）假如数列an满意a1,4an1fan,求证：当n2时,恒有an解析：依题意有x2ax, 化简为 1b x2cxa0,由违达定理 , bxc得：2011cb,20a,x不止有两个不动点,b解得a0c,代入表达式fx1x2xc,b1c22由f2121,得c3 ,又cN,bN,如c,0b,1就fxc2c2,b2,故fx 2x21 ,x1 .x（2）由题设得4 S n1211 得:2 S na n2 a n,（*）an2 1a n且an,1以n1 代n 得:2S n1an1a21（* ）n由（ *）与（ *

25、 ）两式相减得：名师归纳总结 2a na nan1a2a21,即anan1ana 1an11 ,0an1得a2,1这 与an1矛 盾 ,nnanan1 或a nan1,1以n1 代入*得:21a1a 1 2,解 得a0（ 舍 去 ） 或a 11, 由a 1, 如an1第 6 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - aa学习好资料欢迎下载nan11,即 an是以 -1 为首项, -1 为公差的等差数列,a nn；（3）采纳反证法,假设a n3 n2,就由（ 1）知an1fana22n2 anan12a n111an111 113,1即an1an

26、n2 ,nN,有nanan2224an1a2,而当n2 时,a22 a 12168;3a n,3这与假设冲突,故假设不成立,an3；2 a 1823关于本例的第 3 题, 我们仍可给出直接证法, 事实上：由a n1f an得an1a22,112 11211得an10 或an12 .na22 ananan222如an10 ,就an10,3结论成立；如an12 ,此时n2 ,从而an1ananan20,即数列 an 在n2时单调递减,由2 a1 n22,可知ana2223 ,在n2上成立 . 33点评：比较上述两种证法, 你能找出其中的异同吗. 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能进步；题

27、型 3：解析几何综合问题例 5已知双曲线C:y2x21,直线 l 过点A20,斜率为 k ,当0k1时,双曲线的上支22上有且仅有一点B 到直线 l 的距离为2 ,试求 k 的值及此时点B的坐标；分析 1：解析几何是用代数方法来争论几何图形的一门学科,因此,数形结合必定是争论解析几何问题的重要手段 . 从“ 有且仅有” 这个微观入手,对比草图,不难想到：过点B 作与 l 平行的直线,必与双曲线 C相切 . 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 0 . 由此动身,可设计如下解题思路：l : y k x 2 0 k 1直线 l 在 l 的上方且到直线 l 的距离为 2l : y kx 2 k

28、2 2 2 k解得 k 的值 把直线 l 的方程代入双曲线方程,消去 y,令判别式 0解题过程略 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载分析 2：假如从代数推理的角度去摸索,就应当把距离用代数式表达,即所谓“ 有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ” ,相当于化归的方程有唯独解 . 据此设计出如下解题思路：问题关于 x 的方程kx2k2x212k20k1有唯独解转化为一元二次方程根的问题求解解析：设点Mx ,2x2为双曲线 C上支上任一点,就点M到直线 l 的距离为：kx22x 212 k

29、20k1kx2x22 k .k于是,问题即可转化为如上关于x 的方程 . 由于0k1,所以2x 2xkx,从而有2x22 kkx于是关于 x 的方程名师归纳总结 2 kx2x22k2 k211 2 k2220,220的 二 根 同 正 , 故2x222 k21 2kkx 2,2k21 2kkx0k21x22 k2k21 2kx2 k22k21 2kkx0.2 k21 2 k2由0k1可知：方 程k21x22 k2k21 2kx2k220. k212 kkx0恒成立,于是等价于2kx2 k1 k21x22k2k21由如上关于 x 的方程有唯独解,得其判别式0 ,就可解得k5. 第 8 页,共 1

30、9 页5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载点评：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分表达了全局观念与整体思维的优越性；例 6已知椭圆 C: x22y28 和点 P（4,1）,过 P 作直线交椭圆于A、B 两点, 在线段 AB上取点 Q,使AP PBAQ,求动点 Q的轨迹所在曲线的方程；QB分析：这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,同学往往不知从何入手；其实,应当想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,第一是选定参数, 然后想方设法将点Q的横、 纵坐标用参数表达,最终通过消参可达到解题的目的；由于点 Q x , y 的

31、变化是由直线 AB的变化引起的, 自然可挑选直线 AB的斜率 k 作为参数, 如何将 x, yAP AQ与 k 联系起来？一方面利用点 Q在直线 AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化 . 由PB QBA、B、P、Q四点共线,不难得到 x 4 x A x B 2 x A x B,要建立 x 与 k 的关系,只需将直线 AB的8 x A x B 方程代入椭圆 C的方程,利用韦达定理即可；通 过这样的分析,可以看出,虽然我们仍没有开头解题,但对于如何解决此题,已经做到心中有数；AP AQx4 PBQBy,利用韦达定理xAxB2xAxB8xAx Bx将直线方程代入椭圆方程,消去fk利用点 Q 满意

32、直线 AB 的方程： y = k x 4+1,消去参数 k 点 Q 的轨迹方程名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在得到xfk学习好资料欢迎下载x,y的方程之后,假如能够从整体上把握,熟识到：所谓消参,目的不过是得到关于（不含k）,就可由ykx41解得ky1,直接代入xfk即可得到轨迹方程；从而简x4化消去参的过程；16简解：设Ax1,y 1,Bx2,y2,Q x,y,就由APAQ可得：4x1x2x 1,x24xxPBQB解之得：x4x1x 22x1x2（1）8x 1x2设直线 AB的方程为：ykx41,代入椭圆C的

33、方程,消去y 得出关于 x 的一元二次方程：2k21x24k14 kx214k280（2）x 1x2x 24 k 4 k1 1,2 k2x 12 14k 28.2k21代入（ 1）,化简得：x4 k3. 3 k2与ykx4 1联立,消去 k 得：2xy4x40 .在（ 2）中,由64k264k240,解得2410k2410,结合（3）可求得210x16210.99故知点 Q的轨迹方程为：2xy40（16210x16210）. 99点评：由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到 . 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参,而“ 引参

34、、用参、消参” 三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道；题型 4：立体几何应用问题名师归纳总结 - - - - - - -例 7在边长为a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的, 并且这三个四边形也全等,如图 如用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器,如图 就第 10 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载当容器的高为多少时,可使这个容器的容积最大,并求出容积的最大值；图 图解析：设容器的高为 x就容器底面正三角形的边长为 a 2 3 x , V x 3 x a 2 3 x 2 0 x a 4 2 33 14 3 x a 2 3 x a 2 3 x 4 4 331 4 3 x a 2 3 x a 2 3 x 3 a . 16 3 543当且仅当 4 3 x a 2 3 x , 即 x 3a 时 , V max a. . 18 543故当容器的高为 3 a 时,容器的容积最大,其最大容积为 a .18 54点评：对学过导数的同学来讲,三次函数的最值问题用导数求解是最便利的,请读者不妨一试 . 另外,此题的深化好像与 2002 年全国高考文科数学压轴题有关,仍请做做对比 . 类似的问题是：某企业设计一个容积为 V的密闭容器,下部是圆柱形,上部是半球形,当圆柱的