2022年一元函数微积分学在物理学上的应用.docx

《2022年一元函数微积分学在物理学上的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年一元函数微积分学在物理学上的应用.docx（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载一元函数微积分学在物理学上的应用速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心用导数描述某些物理量1. 速度是路程对时间的导数 . 加速度是速度对时间的导数；2. 设物体绕定轴旋转,在时间间隔 0, t 内转过的角度 , 就物体在时刻 t 的角速度 .3. 当物体的温度高于四周介质的温度时,物体就不断冷却,如物体的温度 T 与时间t 的函数关系为 T=Tt, 就物体在时刻 t 的冷却速度为 T t.3. 一根杆从一端 0 点算起,0,x 段干的质量为 m m x , 就杆在点 x处的线密 度是 x

2、=m x.4. 一根导线在 0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为 Q Q t , 就导线在时刻 t 的电流强度 It= Q t .5. 某单位质量的物体从某确定的温度上升到温度 T 时所需的热量为 qT,就物体在温度 T 时的比热 CT=q T.6. 某力在 0,t 时间内作的功 w w t , 就 时刻的功率为 t w t .例 1 . 设有长为 12 cm 的非匀称杆 AB AM 部分的质量与动点 M 到端点 A 的距离 的平方成正比,杆的全部质量为 360 , 就杆的质量的表达式 m x 5 x 2, 杆在任一点2M 处的线密度 x= 5x 解： mx=kx 2, 令 x 12, m

3、 360 得 k 5 , 所以 m x 5 x 2, x= m x 5 x2 2b变力作功：变力 F x 沿直线运动从 a 到 b 所作的功 w a F x dx例 21 （功 ）一圆柱形的注水桶高为 5 m,底圆半径为 3 m,桶内盛满了水,试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解： 作 轴如下列图 xm, 第 1 页,共 9 页 取深度x为积分变量,它的变化区间为0 5相应于0 5,上任一小区间 , x xdx 的一薄层水的高度为dx,因此如x 的单位为这薄层水的重力为9.83 2dxkN,把这层水吸出桶外需作的功近似为dw88 2dx x所求的功为w588 2x dx88 2253462k

4、J02细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 22 （功 ）设有一半径为精品资料l欢迎下载2R的水池中,R,长度为的圆柱体平放在深度为（圆柱体的侧面与水面相切,设圆柱体的比重为（1）现将圆柱体从水中 ,移出水面,问需作多少功？解： 分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至x2R处,运算位于 , x x1 上的体积微元移至2Rx,2Rxdx 时所作的微元功；由于在水面上方与下方所受力不同,所以应分开运算,留意到介于x 与xdx之

5、间的体积微元为22 R2 x dx l2lR22 x dx长宽高它在水面下方需移动Rx,上方需移动Rxw2 1RRx R22 x dx2lRRxR22 x dxRRR4lR21R22 x dxlR3210例 23 （功 ）、设半径为1的球正好有一半沉入水中,球的比重为1,现将球从水中取出, 问要作多少功？解法一： 分析：把球的质量 4集中到球心,球从水中取出作功问题可以看成质136 第 2 页,共 9 页 3量为4的质点向上移动距离为1时变力所作的功,问题归结为求出变力,3即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力,因球的比重为1球受的重力球的体积,球受的浮力沉在水中部分的体积它的合力球露出水面

6、部分的体积；当球心向上移动距离h时,0h1,球露出水面部分的体积为2h12 z dz2hh23033因此,球从水中取出要作的功为w12hh2dh211033321212细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解法二、分析：微元法精品资料欢迎下载取 x 轴垂直水平面并通过球 心,方向向上,原点为 球心,任取下半球取中 的微元薄片即 ,1 0 上的小区间 x , x dx 相应的球体中的薄片,其重量为 1 x 2 dx ,在水中浮

7、力与重力相等,当球从水中取出时,此薄片移至离水面高为 1 x 处需作功 dw F S 1 x 1 x 2 dx , 于是,对下半球作的功 为0w 1 1x 1x2dx1任取上半球中的微元薄片即01,上小区间x,xdx相应的球体中的薄片,其重量为 1x2dx, 当球从水中取出时,它移动的距离为1,需作功dw1 1x2dx1于是对上半球作的功为w2 1x2dx0对整个球做的功为ww 1w2013 1x2 dx13 1x 1x2 dx1210例 24 （功 ）要将一半径为0.2m,密度为500kg m浮于水面的木球提高水面,问需要作功多少？分析：依据浮力定律知道球的上半部浮于水面下半部没于水中,（由

8、浮力定律浮 第 3 页,共 9 页 Q比重1水的比重）,所以只要提高0.2 m 即可将此球提离水面,由于在整个2过程中浮力与提力都在作功,所以应有提力所作的功克服重力所作的功力所作的功解：建立坐标如图,取 , y ydyR ,0就对应于此小区间,浮力作功的功元素为dw 浮ydFyg dm ygdVygR2y2dy W 浮g0y R22 y dy1gR412.315kJR4从而有W 提W 重W 浮50043 0.2 9.80.212.31520.525kJ3与前例类似：W 提W 上重W 下重W 浮W 重W 浮细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

9、- - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载例25 （ 功 ）在底面积为S 的圆柱形容器中盛有肯定量的气体,在等温条件下,由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞（面积S）从点 处推移到点b 处,运算在移动过程中,气体压力所作的功？解：取坐标系为图,活塞的位置可以用坐标x 来表示,由物理学知道,肯定量的气体在等温条件下,压强 与体积 V 的乘积是常数 k,即 PV k,或 P kVQ V xS,P kxS作用在活塞上的力：F p S kS kxS x在气体膨 胀过程中,体积 V 是变的,因而 x 也是变的

10、,所以作用在活塞上的力也是变的取 为积分变量,它的变化区间为 , ,设 , x x dx 为 , 上的任一小区间,当活塞从 移动到 x dx 时,变力 F 所作的功近似于 k dx , 即 dw k dxx xbk bw dx k lna x a例 26 （功 ） 一球形贮液灌,半径为 10 m,盛有比重为 8 kN m 3 的某种液体, 液面距离灌顶部出口 4 m,（如下列图）已将灌中全部液体从顶部出口抽出,需作多少功？解：作 x 轴通过球心且正向铅直向下,原点在灌顶部出口处,长度单位取为 m,取 x 为积分变量,x 4.20考察 , x x dx 上液体,高度为 dx , 底圆半径为 10

11、 2 x 10 220 x x 2dw 8 x 20 x x 2 2dx 8 20 x 2x 3 dx 比重 体积 路程）20 202 3 311296w dw 8 20 x x dx 325990 kJ 4 4 3* 此题也可挑选 x 轴的原点在球心,这时变量 x 的范畴和功元素的表达式都要随之转变细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载水压力从物理学知道,在水深为 h 处的压强为

12、P gh, 是水密度,g 是重力加速度,假如有一面积为 A 的平板水平地放放置在水深为 h 处,那么,平板一侧所受的水压力为 P p A,压强 面积 ,假如平板铅直放置在水中,那么,由于水深不同的点处压强为 p 不相等,平板一侧所受的水压力就不能用上述方法运算,此时一般用微元法例31 （水压力 ）、一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为 ,水的密度为,运算桶内的一个端面上所受的压力.解：取坐标系如图桶的一个端面为圆片,所以现在要运算的是当水平面通过圆心时,铅直放置的一个半圆片的一侧所受的水压力,考察 , x xdx 上所受的压力dP dP压强面积gx22 R2 x dx1 m

13、时,3）PR22 gx R2 x dx2g3 R03例 32 （水压力2 .）浇灌涵洞的断面为抛物线拱形,在水面高出涵洞顶点为求涵洞闸门 （底面宽为2m,高为1 m）所受的水压力（水的比重1 / t m解：建立坐标系如图该抛物线的方程为x1ky2,由条件,闸门高为1 m,宽为2m,k1x1y2考察在 , x xdx上的压力,dP压强面积2x ydx2xx1 dxP22xx1 dx32 115这里压强x比重水深1 吨3 / m水深 ,最终压力单位吨与前例有区分 x比重密度g例33 （水压力 ）有一外形为等腰梯形的闸门,二水平面的长分别为20 米和 12 米高为10 米,如较长边位于水的自由表面,

14、运算水对闸门的压力解：建立坐标系如图AB 所在的直线方程：x 010y6, 即y10x2x 第 5 页,共 9 页 101065在 , x xdx 上,压强水的比重水深12 102x dx压力dPxdSx ydx5P102 102x dx7331吨053细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载6斜沉于水中,例34 （水压力 ）半径为R0.4 m 的圆形薄板,与液面成夹角为上缘距水平为H1 m,求薄板一侧所受的压

15、力 .解：取圆心为原点,平行液面的半径为x 轴 建立相应的y 轴 , , y ydy 2R R 对应水平小条的压力为dFpdAgh2xdyg HRy sin 2R2 y dyRRsin2 RF2g HRy sin 22 R2 y dyg HR以 R 0.4 m,H 1 m,1000 kg m 3 , g 9.8 代入得 F 5911.22 N 6例35 （水压力 ）、（02. .7%）某闸门的外形与大小如下列图,其中直线 l 为对称轴,闸门的上部为矩形 ABCD,下部由二次抛物线与线段AB 所围成；当水面与闸门的上端相平常,欲使闸门矩形部分承担的水压力与闸门下部承担的水压力之比为5: 4,闸门

16、矩形部分的高h应为多少米？解法一：建立坐标系如图,闸门矩形部分承担的水压力为水的密度,就抛物线方程为yx2.1h1P 12g h1y dy2 gh.31细心整理归纳 精选学习资料 闸门下部水承担的水压力为P 211y ydy4g1h2 第 6 页,共 9 页 2g h315P 15,解得：1h225,h 101（舍去）32,h 2P 24h44315故h2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载引力F由物理学知道,质点分别为m ,m2

17、,相距为的两质点间的引力的大小为Gm 1m 2,其中 G 为引力常数,引力的方向沿着两质点的连线方向2如需运算一根细棒对一个质点的引力,那么,由于细棒上各点与该质点的距离是变化的,且各点对该点的引力的方向也是变化的,因此就不能用上述公式来运算例41 引力 ）、设有一长度为 l,线密度为 的匀称的细直棒,在其中垂线上距棒a 单位处有 一质量为 m 的质点 M,试运算该棒对质点的引力解：建立坐标系如图考察 , y ydy 上引力微元, , y ydy 上的质量为dy,FGm dya 2y2F在水平方向分力F x 的近似值,dF xGam dy3a2y22（QdF xFcosFaFa2ay2rlF

18、x2Gam dy3dy2 Gml1l2l2 ay2a4 a222由对称性知,引力在铅直方向的分力为F y0*当细直棒的长度 很大时,可视l趋于无穷,此时,引力的大小为2 Gm（la方向与细棒垂直且由M指向细棒例42 （引力 ） 设有顶角为o 90,高为 的正圆锥体,密度为1,求正圆锥体与位于圆锥体顶点质量为 的质点之间的引力 .解：建立坐标系如图,正圆锥方程为x2y22 z0z10 第 7 页,共 9 页 依据对称性可知,所求引力在x 轴, 轴上的分力F xF y取包含点 , , 的体积微元dV,就此微元与原点处质量为1 的质点间的引力为kdV,并且它在 轴的方向的分力dF ZkzdV,其中x

19、2y22 z23F zkzdVk2d1rdr1r2zdz32k111r21 dr2k 12300r2 z02r222其中表示所争论的锥体细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载x 轴上仍有例43 （引力 ）在 轴上有一线密度为常数,长度为 的细杆,在一质量为m 的指点道干右端的距离为a ,始终引力常数为k,就质点和细杆之间引力的大小为km ldx 的一小段,其质量为dMdx ,就a al解：用微元法,在细杆上x

20、 处去长为质点与这一小段细杆之间的引力大小为dFkmdMkm2dx xl,0 ax2 ax 求积分,即得质点和细杆之间引力的大小为F=0dF0km2dxkm lllax a al质心设光滑曲线L:yf x ,axb ,具有匀称线密度（kg m ,该曲线的质量中心为 , ,就有xMyb ax1f2 x dx,yMxb ay1ff22 x dxMb1f2 x dxMb1 x dxaa其中Mxbf x 1f2 x dx Mybx1f2 x dx 表示 对 轴与 轴的静力矩aaMb1f2 x dxl为该曲线的质量, 为弧长；a同时可得到2xl2bx1f2 x dxS ya2yl2bf x 1f2 x

21、dxS xa其中S S y 分别表示曲线 L绕x轴与绕 y轴旋转而成的旋转体侧面积,这一结论称为古尔金第肯定理；匀称密度条件下的质量中心坐标实质上与密度无关,所以又称为几何中心或形心；b b2 2形心的运算公式：x a y 1 f x dx, y a x 1 f x dx, l 是弧长；l l实 际应用中可依据曲线方程的形式,取弧长的相应运算公式直角坐标方程、参数方程或极坐标方程；细心整理归纳 精选学习资料 如曲线为 x轴上直线段 axb, 密度函数为= x, 就 第 8 页,共 9 页 y0,xb ax x dxb x dxa - - - - - - - - - - - - - - - -

22、- - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例（质心 1.1）求平面圆弧y= a2精品资料欢迎下载x2的形心解：明显 x 0, l aa2 2 x 2y a a x 1a 2x 2 dx2 a 22 aa a2此题如用古尔金第肯定理得到 2 y a 4 a ,例 2 质心 2 设长度为 h 的细杆 AB 上任一点处的密度与该点到细杆 A端的距离的平方成正比 , 比例系数为 k0, 求该细杆的质心坐标 .解 : 沿细杆 AB的方向并以细杆 A端为坐标建立坐标系 Ox,如图 ,于是细杆 AB上各点的坐标满意 0 x h ,

23、且 端对于 A x 0, B 端对应于 x h2, 细杆 AB 上点 处的密度为 x kx , 把细杆 AB 上从点 x 到点 x dx 的一小段看成2一个质点 , 就该质点的质量为 x dx kx dx , 故 细杆 AB 的质心坐标h h 3x 0h x x dx 0h kx dx 3 h0 x dx 0 kx dx 2 4即细杆 AB 的质心坐标在杆上距离 A 端 3 h, 距离 B端 h 处4 4对匀称密度薄板的质量中心有如下公式设yf x 为 a,b 上的连续非负函数,考虑形如区域2D , x y axb,0yf x ,其面密度为（kg m质量中心xbxf x dx,yb1f2 x

24、dx,其中bf x dxM为该匀称薄板的质量.aa2 bbf x dxf x dxaaa由此仍可以推得古尔金其次定理：2 xA V y , 2 yA V x其中 V x,V y 分别表示区域 D 绕 轴与绕 y轴旋转一周生成旋转体的体积 .例（质心 ）一面密度为 的匀称薄板由 0 y 4 x 2 围成,求此薄板的质量中心；解：由对称性,质心 x的坐标为 ,只需求 yy21 4 222 4x22dx2568,质心（ ,）85 第 9 页,共 9 页 215 32x2dx5细心整理归纳 精选学习资料 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -