1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 教案--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系教学设计一、 教学目标1.能理解空间点、直线、平面的向量表示.2.能用空间向量研究直线、平面的平行关系.3.能用空间向量研究直线、平面的垂直关系.二、教学重难点1. 教学重点用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.2. 教学难点用向量方法证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.三、教学过程（一）新课导入同学们，我们已经学过了空间向量及其坐标表示，并利用空间向量解决了一些有关空间位置和度量的问题，那如果和立体几何的证明结合起来，空间向量是否会成为一种好用的工具呢？其实建立空间向量与几何要素的对应关系是利用

2、空间向量解决立体几何问题的关键，比如说，大家看到的墙角，三个平面两两相互垂直，可以建立一个空间直角坐标系，而墙角这一个有限空间内包含的点、线都可以用具体的坐标表示出来，据此我们可以利用坐标运算，得到立体几何中相关的证明结论.（二）探索新知探究一：空间点、直线和平面的向量表示同学们，立体几何的基本图形包括点、线、面，大家知道怎样在空间中表示一个点吗？学生思考.1.空间中点的向量表示：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示. 我们把向量称为点P的位置向量.直线的空间向量怎么表示呢？2.空间中直线的向量表示：如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取，设P是直线

3、l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，即.空间直线的向量表示式：如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ，将代人式，得 ，式和式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.由上述概念，我们知道了空间中点和直线的向量的表示方法，那么平面怎样表示呢？同学们可以联想一下空间向量基本定理，一个定点和两个定方向能否确定一个平面？学生思考.3.空间中平面的向量表示：平面可以由内两条相交直线确定. 如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，由平面

4、向量基本定理可知存在唯一的有序实数对，使得.这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点.空间平面的向量表示式：如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使 . 我们把式称为空间平面ABC的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.同学们要记住：空间中任意一点、任意一条直线、任意一个平面用向量表示的方法.为了方便以后的计算，我们还要知道一个概念，就是平面的法向量.4.用点和直线的方向向量来确定平面：如图，直线. 取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面的法向量. 给定一个点A和一个向量a，那么过

5、点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.探究二：空间中直线、平面的平行同学们，我们已经知道，要想得到空间中直线、平面的位置关系，需要严谨的证明，那么我们现在已经具有空间向量这一个工具，那么直线、平面位置关系上的证明，可否利用空间向量的坐标运算得到解释呢？学生阅读教材，认真思考下面我们来看一下平行的问题.如图，设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得.如图，设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则.如图，设，分别是平面，的法向量，则，使得.探究三：空间中

6、直线、平面的垂直同学们，类似于空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？学生阅读教材，积极思考.一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.如图（1），设直线，的方向向量分别为，则.如图（2），设直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.如图（3），设平面，的法向量分别为，则.（三）课堂练习1.已知直线l经过点和点，则直线l的单位方向向量为( )A.B.C.D.答案：D解析：由题意得，直线l的一个方向向量

7、为，则，因此直线l的单位方向向量为，故选D.2.若已知两个向量，则平面ABC的一个法向量为( )A.B.C.D.答案：A解析：设平面ABC的法向量，由，得所以令，解得所以，故选A.（多选）3.若直线的方向向量为,平面的法向量为,则不能使的向量是( )A.B.C.D.答案：ABC解析：直线的方向向量为,平面的法向量为,则使,只需即可.四个选项中,只有D选项满足.4.如图,在正方体中,以为原点建立空间直角坐标系,为的中点,为的中点,则下列向量中,不能作为平面的法向量的是( )A.B.C.D.答案：ACD解析：设正方体的棱长为2,则.所以.设向量是平面的法向量,则取,得,则是平面的一个法向量.结合其他选项,检验可知只有B选项是平面的法向量.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1. 空间点、直线和平面的向量表示；2. 空间中直线、平面的平行；3. 空间中直线、平面的垂直.四、板书设计1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系1. 空间点、直线和平面的向量表示；2. 空间中直线、平面的平行；3. 空间中直线、平面的垂直.学科网（北京）股份有限公司