1.4.2.2用空间向量研究夹角问题同步练习--高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册.docx

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1、1.4.2.2用空间向量研究夹角问题（同步练习）一、选择题1.若平面的一个法向量为n1(1,0,1)，平面的一个法向量是n2(3,1,3)，则平面与所成的角等于()A.30B.45C.60D.902.已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A. B. C. D.3.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，AA13，ABACBC2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A30 B45 C60 D904.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()

2、A30 B45 C60 D905.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.6.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为()A B C D7.已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长相等，ABC60，则直线BC1与平面ABB1A1所成角的余弦值等于()A. B. C. D.8.(多选)在正方体ABCDA1B1C1D1中，若棱长为1，E，F分别为线段B1D1，BC1上的动点，则下列结论正确的是()A.DB1

3、平面ACD1 B.平面A1C1B平面ACD1C.点F到平面ACD1的距离为定值 D.直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值二、填空题9.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)和(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为_10.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_11.在空间中，已知平面过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_12.已知菱形ABCD中，ABC60，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC平面DAC，则平面BCD与平面

4、CDA夹角的余弦值为_13.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACAA12BC2，D为AA1上一点若二面角B1DCC1的大小为30，则AD的长为_三、解答题14.如图所示，在四面体ABCD中，CACBCDBD2，ABAD.求异面直线AB与CD所成角的余弦值15.四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小16.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD，BC2，PA2.(1)取PC的中点N，求证：DN平面PAB；(2)求直线A

5、C与PD所成角的余弦值；(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由参考答案：一、选择题1.D 2.A 3.A 4.B 5.A 6.A 7.B 8.ABC二、填空题9.答案： 10.答案： 11.答案： 12.答案： 13.答案：三、解答题14.解：取BD的中点O，连接OA，OC由题意知OA，OC，BD两两垂直以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，(1,0,1)，(1，0)，cos，.异面直线AB与CD所成角的余弦值为.1

6、5.(1)证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设ABa，PDh，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(a，a,0)，(0,0，h)，(a，a,0)，0，0，ACDP，ACDB，又DPDBD，DP，DB平面PDB，AC平面PDB，又AC平面AEC，平面AEC平面PDB(2)解：当PDAB且E为PB的中点时，P(0,0，a)，E，设ACBDO，O，连接OE，由(1)知AC平面PDB，AEO为AE与平面PDB所成的角，cosAEO，AEO45，即AE与平面PDB所成角的大小为45.16.证明：(1)取BC的中点E，连接DE，交AC

7、于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(2，1,0)，C(0,1,0)，D(1,0,0)，P(0，1,2)点N为PC的中点，N(0,0,1)，(1,0,1)设平面PAB的一个法向量为n(x，y，z)，由(0,0,2)，(2,0,0)，可得n(0,1,0)，n0.又DN平面PAB，DN平面PAB解：(2)由(1)知(0,2,0)，(1,1，2)设直线AC与PD所成的角为，则cos .(3)存在设M(x，y，z)，且，01，M(，1,22)设平面ACM的一个法向量为m(x，y，z)，由(0,2,0)，(，22)，可得m(22，0，)，由图知平面ACD的一个法向量为n(0,0,1)，|cosm，n|，解得或2(舍去)M，m.设BM与平面MAC所成的角为，则sin |cos，m|，30.故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45，此时BM与平面MAC所成的角为30.5学科网（北京）股份有限公司