gct高数(公式).pdf

《gct高数(公式).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《gct高数(公式).pdf（30页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高等数学公式导数公式：导数公式：(tgx)sec2x(ctgx) csc2x(secx)secxtgx(cscx) cscxctgx(ax) axlna(logax)基本积分表：基本积分表：(arcsin x) 11xlna1 x21(arccosx) 1 x21(arctgx) 1 x21(arcctgx) 1 x2tgxdx lncosx Cctgxdx lnsinx Csecxdx lnsecxtgx Ccscxdx lncscxctgx Cdx1xarctgCa2 x2aadx1xalnx2a22axaCdx1a xa2 x22alna xCdxx arcsinCa2 x2a2ndx2

2、cos2xsec xdx tgxCdx2sin2xcsc xdx ctgxCsecxtgxdx secxCcscxctgxdx cscxCaxa dx lnaCxshxdx chxCchxdx shxCdxx2a2 ln(xx2a2)C2Insin xdx cosnxdx 00n1In2nx2a22x a dx x a ln(xx2a2)C22x2a2222x a dx x a ln xx2a2C22x2a2x222a x dx a x arcsinC22a22三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：2u1u2x2dusin x ，cosx ，u tg，dx 21u21u21u21 1 /

3、 3030一些初等函数：一些初等函数：两个重要极限：两个重要极限：exex双曲正弦:shx 2exex双曲余弦:chx 2shxexex双曲正切:thx chxexexarshx ln(xx21）archx ln(xx21)11 xarthx ln21 x三角函数公式：三角函数公式：诱导公式：诱导公式：函数角 A-90-90+180-180+270-270+360-360+sinlimsin x1x0 x1lim(1)x e 2.718281828459045.xxcostg-tgctgctg-ctgtg-ctgctgtg-ctgctg-sincoscoscossinsin-sin-ctg-t

4、g-cos-tg-sin-costg-cos-sinctg-cossin-sincossincos-tgtg-ctg-tg和差角公式：和差角公式：和差化积公式：和差化积公式：sin() sincoscossincos() coscossinsintgtgtg() 1tgtgctgctg1ctg() ctgctgsinsin 2sin22sinsin 2cossin22coscos 2coscos22coscos 2sinsin22cos2 2 / 3030倍角公式：倍角公式：sin2 2sincoscos2 2cos2112sin2 cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg

5、2半角公式：半角公式：sin33sin4sin3cos3 4cos33cos3tgtg3tg313tg2sintg2 1cos1coscos 2221cos1cossin1cos1cossinctg 1cossin1cos21cossin1cos2正弦定理：正弦定理：abc 2R余弦定理：余弦定理：c2 a2b22abcosCsin AsinBsinC反三角函数性质：反三角函数性质：arcsinx 2arccosxarctgx 2arcctgx高阶导数公式莱布尼兹高阶导数公式莱布尼兹LeibnizLeibniz公式：公式：(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nn(n1)(n2)n(n1)

6、(nk 1)(nk)(k)u(n)vnu(n1)vuvuvuv(n)2!k!中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ()(ba)f (b) f (a)f ()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：曲率：当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。3 3 / 3030弧微分公式：ds 1 y2dx,其中ytg平均曲率： K .:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sydM点的曲率：K lim.23s0sds(1 y )直线：K 0;1半径为a的圆：K .a定积分的近似计算：定积分的近似计算：b矩形法：f (x) abba(y

7、0 y1 yn1)nba 1 (y0 yn) y1 yn1n2ba(y0 yn)2(y2 y4 yn2)4(y1 y3 yn1)3n梯形法：f (x) ab抛物线法：f (x) a定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：功：W F s水压力：F p Am m引力：F k122,k为引力系数rb1函数的平均值： y f (x)dxbaa12均方根：f (t)dtbaa空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：b4 4 / 30302d M1M2(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2Pr juAB AB cos,AB uvvvvPr ju(a1a2) Pr ja1Pr ja2vvv

8、vab a b cos axbxaybyazbz,cosivvvc ab axbxjaybyaxbxaybyazbzaxayaz bxbybzk222222vvvvvvaz, c a b sin.v wr.bzaybycyazvvvbz ab c cos,czaxvvv vvvabc (ab)c bxcx1、点法式：A(x x0) B(y y0)C(z z0) 0，其中n A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax ByCz D 0 xyz3、截距世方程： 1abc平面外任意一点到该平面的距离：d Ax0 By0Cz0 DA2 B2C2平面的方程：x x0mtx xy y0z z0

9、空间直线的方程：0t,其中s m,n, p;参数方程：y y0ntmnpz z pt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2221abcx2y22、抛物面： z（ , p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2221abcx2y2z2双叶双曲面：222（马鞍面）1abc5 5 / 3030多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用全微分：dz zzuuudxdydu dxdydzxyxyz全微分的近似计算：z dz fx(x,y)x fy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzz uz vz fu(t),v(t) dtu tv tzz uz vz fu(x,y),v(x,y) xu

10、xv x当u u(x,y)，v v(x,y)时，uuvvdu dxdydv dxdyxyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y) 0， ，2(x)(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z) 0， ， xFzyFzFF(x,y,u,v) 0(F,G)u隐函数方程组：J GG(x,y,u,v) 0(u,v)uu1 (F,G)v1 (F,G) xJ(x,v)xJ(u,x)u1 (F,G)v1 (F,G) yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：FvFuGGuvFvGvx (t)x xy y0z z0空间曲线y (t)在点

11、M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t )(t )(t0)00z (t)在点M处的法平面方程：(t0)(x x0)(t0)(y y0)(t0)(z z0) 0FyFzFzFxFxF(x,y,z) 0若空间曲线方程为：,则切向量T ,GGGxGxyzGzG(x,y,z) 0曲面F(x,y,z) 0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x x0y y0z z03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)FyGy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0

12、,z0)(x x0) Fy(x0,y0,z0)(y y0) Fz(x0,y0,z0)(z z0) 06 6 / 3030方向导数与梯度：方向导数与梯度：fff函数z f (x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为： cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ff函数z f (x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf (x,y) i jxyf它与方向导数的关系是： grad f (x,y)e，其中e cosi sin j，为l方向上的l单位向量。f是gradf (x,y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0) fy(x0,y0) 0，

13、令：fxx(x0,y0) A,fxy(x0,y0) B,fyy(x0,y0) CA 0,(x0,y0)为极大值2AC B 0时，A 0,(x0,y0)为极小值2则：值AC B 0时，无极AC B2 0时,不确定重积分及其应用：重积分及其应用：f (x,y)dxdy f (rcos,rsin)rdrdDD曲面z f (x,y)的面积AD z z 1 ydxdyx22平面薄片的重心：x MxMx(x,y)dD(x,y)dDD,y MyMy(x,y)dD(x,y)dDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a)

14、,(a 0)的引力：F Fx,Fy,Fz，其中：Fx fD(x,y)xd(x y a )2222，Fy f3D(x,y)yd(x y a )2222，Fz fa3D(x,y)xd(x y a )22322柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：7 7 / 3030 x rcos柱面坐标：f (x,y,z)dxdydz F(r,z)rdrddz,y rsin,z z其中：F(r,z) f (rcos,rsin,z)x rsincos2球面坐标：y rsinsin，dv rdrsinddr r sindrddz rcos2r(,)f (x,y,z)dxdydz F(r,)r2sindrdddd00

15、F(r,)r02sindr重心：x 1Mxdv,y 1Mydv,z 1Mzdv，其中M x dv转动惯量：Ix(y2 z2)dv，Iy(x2 z2)dv，Iz(x2 y2)dv曲线积分：曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x (t)设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(t ),则：y (t)L x tf (x,y)ds f(t),(t)2(t)2(t)dt()特殊情况：y (t)8 8 / 3030第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x (t)设L的参数方程为，则：y (t)P(x,y)dxQ(x,y)dy P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtL两类曲线积分之间

16、的关系：PdxQdy (PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式： ()dxdy PdxQdy格林公式： ()dxdy PdxQdyxyxyDLDLQP1当P y,Q x，即： 2时，得到D的面积：Adxdy xdy ydxxy2LD平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：QP在时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP。注意奇点，如(0,0)，应xyu(x,y) (x0,y0)P(x,

17、y)dxQ(x,y)dy，通常设x0 y0 0。曲面积分：曲面积分：22对面积的曲面积分： f (x,y,z)ds fx,y,z(x,y) 1 z (x,y) z (x,y)dxdyxyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy，其中：号；R(x,y,z)dxdy Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正Dxy号；P(x,y,z)dydz Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正DyzQ(x,y,z)dzdx Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdx Rd

18、xdy (PcosQcos Rcos)ds高斯公式：高斯公式：9 9 / 3030(PQR)dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (PcosQcos Rcos)dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：PQR散度：div,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 div 0,则为消失.xyz通量：Ands Ands (PcosQcos Rcos)ds，因此，高斯公式又可写 成：divAdv Ands斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：(RQPRQP)dydz()dzdx()dxdy PdxQdy RdzyzzxxycosyQcoszRdydzdzdxdx

19、dycos上式左端又可写成：xyzxPQRPRQPRQP空间曲线积分与路径无关的条件：， ， yzzxxyijk旋度：rotAxyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdy Rdz Atds常数项级数：常数项级数：1qn等比数列： 1qq q1q(n1)n等差数列： 123n 2111调和级数： 1是发散的23n2n1级数审敛法：级数审敛法：1010 / 30301、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设： limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛U设： limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;

20、limsn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un 0)的审敛法 莱布尼兹定理：unun1如果交错级数满足s u1,其余项rn的绝对值rnun1。limu 0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1 u2 u3 un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1级数：n2收敛；时发散1p级数：npp 1时收敛幂级数：幂级数：1111 / 30301x 1时，收敛于1 x1 x x2 x3

21、 xnx 1时，发散对于级数(3)a0a1x a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x R时发散，其中R称为收敛半径。x R时不定1 0时，R 求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则 0时，R nan 时，R 0函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：f (x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f (x) f (x0)(x x0)(x x0) (x x0)n2!n!f(n1)()余项：Rn(x x0)n1, f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是： limRn 0n(n1)!f (0)2f(n)(0)nx0

22、 0时即为麦克劳林公式：f (x) f (0) f (0)xx x 2!n!一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：m(m1)2m(m1)(mn1)nx x (1 x 1)2!n!2n1x3x5xsinx x(1)n1( x )3!5!(2n1)!(1 x)m1mx欧拉公式：欧拉公式：eixeixcosx 2eix cosxisinx或ixixsinx e e2三角级数：三角级数：a0f (t) A0Ansin(nt n) (ancosnxbnsinnx)2n1n1其中，a0 aA0，an Ansinn，bn Ancosn，t x。正交性： 1,sin x,cosx,sin2x,cos2x

23、sinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在,上的积分0。傅立叶级数：傅立叶级数：1212 / 3030a0f (x) (ancosnxbnsinnx)，周期 22n11(n 0,1,2)anf (x)cosnxdx其中b 1f (x)sinnxdx(n 1,2,3)n112122835111222224246正弦级数：an 0，bn余弦级数：bn 0，an11121222（相加）623411121222（相减）12234f (x)sinnxdxn 1,2,3f (x) b02nsinnx是奇函数20f (x)cosnxdxn 0,1,2f (x) a0ancosnx是偶函数2周期为周期为2l

24、的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数：a0nxnxf (x) (ancosbnsin)，周期 2l2n1lll1nxa f (x)cosdx(n 0,1,2)nlll其中lb 1f (x)sinnxdx(n 1,2,3)nlll1313 / 3030微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：一阶微分方程：y f (x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy f (x)dx的形式，解法：g(y)dy f (x)dx得：G(y) F(x)C称为隐式通解。dyy f (x,y) (x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududx

25、duy设u ，则u x，u (u)， 分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：dy1、一阶线性微分方程： P(x)y Q(x)dx P(x)dx当Q(x) 0时,为齐次方程，y Ce当Q(x) 0时，为非齐次方程，y (Q(x)edy2、贝努力方程： P(x)y Q(x)yn， (n 0,1)dx全微分方程：全微分方程：P(x)dxdxC)e P(x)dx如果P(x,y)dxQ(x,y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y) P(x,y)dxQ(x,y)dy 0，其中： P(x,

26、y)，Q(x,y)xyu(x,y) C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：二阶微分方程：f (x) 0时为齐次d2ydy P(x)Q(x)y f (x)，2dxdxf (x) 0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y pyqy 0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程： ()r2 pr q 0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y, y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式两个不相等实根(p 4q 0)2(*)式的通解y c1er1xc2er2x

27、1414 / 3030两个相等实根(p 4q 0)一对共轭复根(p 4q 0)22y (c1c2x)er1xy ex(c1cosxc2sinx)r1i，r2i4q p2p ，22二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程y pyqy f (x)，p,q为常数f (x) exPm(x)型，为常数；f (x) exPl(x)cosx Pn(x)sinx型1515 / 3030解析几何中的基本公式解析几何中的基本公式1、 两点间距离：假设A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB 2、 平行线间距离：假设l1: Ax By C1 0,则：d (x2 x1)2(y2 y1)2l2: Ax

28、 By C2 0C1C2A B22注意点：x，y 对应项系数应相等。3、 点到直线的距离：P(x,y), l: Ax By C 0则 P 到 l 的距离为：d Ax ByCA B224、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：2y kx bF(x,y) 0消 y：ax bx c 0，务必注意 0.假设 l 与曲线交于 A(x1, y1),B(x2, y2)则：AB (1 k2)(x2 x1)25、 假设 A(x1, y1),B(x2, y2)，Px，y 。P 在直线 AB 上，且 P 分有向线段 AB 所成的比为，x1 x2x1 x2x x 1 2则，特别地：=1 时，P 为 AB 中点且y yy y

29、22y 1y 11 2变形后： x x1y y1或 x2 xy2 y6、 假设直线 l1的斜率为 k1，直线 l2的斜率为 k2，则 l1到 l2的角为,(0,)适用范围：k1，k2都存在且 k1k21 ，tan k2 k11 k1k2假设 l1与 l2的夹角为，则tan k1 k2，(0,21 k1k21616 / 3030注意： 1l1到 l2的角，指从 l1按逆时针方向旋转到 l2所成的角，范围(0,)l1到 l2的夹角：指l1、l2相交所成的锐角或直角。2l1l2时，夹角、到角=。23当 l1与 l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。7、 1倾斜角，(0,)；2a,b夹角，0，

30、；3直线 l 与平面的夹角，0， ；4l1与 l2的夹角为，0， ，其中 l1/l2时夹角=0；5二面角,(0,；6l1到 l2的角，(0，)8、 直线的倾斜角与斜率 k 的关系a)每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。b)假设直线存在斜率 k，而倾斜角为，则 k=tan。9、 直线 l1与直线 l2的的平行与垂直1假设 l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2k1=k2l1l2k1k2=12假设l1:A1x B1y C1 0,假设 A1、A2、B1、B2都不为零 l1/l2 22l2:A2x B2y C2 0A1B1C1；A2B2C2 l1l2A1A2+B1B2=0；1717 / 3030

31、l1与 l2相交A1B1A2B2A1B1C1；A2B2C2 l1与 l2重合注意：假设 A2或 B2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况。10、直线方程的五种形式名称方程注意点斜截式：y=kx+b应分斜率不存在斜率存在点斜式：y y k(x x)1斜率不存在：x x2斜率存在时为y y k(x x)两点式：截距式：y y1x x1y2 y1x2 x1xy交 y 轴于(0,b)1其中 l 交 x 轴于(a,0)，ab当直线 l 在坐标轴上，截距相等时应分：1截距=0设 y=kx2截距=a 0设即 x+y=a一般式：Ax By C 0其中 A、B 不同时为零10、确定圆需三个独立的条件圆的

32、方程1标准方程：(x a) (y b) r，(a,b) 圆心，r 半径。2一般方程：x y Dx Ey F 0， D E 4F 0)2222222xy1aaDE(,) 圆心,r 22222D2 E2 4F211、直线Ax By C 0与圆(x a) (y b) r的位置关系有三种假设d Aa BbCA B22，d r 相离 0d r 相切 01818 / 3030d r 相交 012、两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，O1O2 dd r1 r2 外离 4条公切线d r1 r2 外切 3条公切线r1r2 d r1r2 相交 2条公切线d r1r2内切 1

33、条公切线0 d r1r2内含 无公切线外离外切相交内切内含13、圆锥曲线定义、标准方程及性质一椭圆定义：假设F1，F2是两定点，P 为动点，且PF1 PF2 2a F1F2a为常数则 P 点的轨迹是椭圆。定义：假设 F1为定点，l 为定直线，动点 P 到 F1的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e0e1 ，则动点 P的轨迹是双曲线。二图形：2020 / 3030三性质x2y2y2x2方程：221 (a 0,b 0)221 (a 0,b 0)abab定义域：x x a或x a；值域为 R；实轴长=2a，虚轴长=2b焦距：2ca2准线方程：x c焦半径：a2a2PF1 e(x )，PF2 e(

34、 x)，PF1 PF2 2a；cc注意： 1图中线段的几何特征：AF1 BF2 ca，AF2 BF1 a ca2a2a2a2或a 或c 顶点到准线的距离：a ；焦点到准线的距离：c cccc2a2两准线间的距离=cx2y2x2y2b2假设双曲线方程为221渐近线方程：22 0 y xababax2y2xyb假设渐近线方程为y x 0双曲线可设为22 ababa2121 / 3030 x2y2x2y2假设双曲线与221有公共渐近线，可设为22 abab 0，焦点在 x 轴上， 0，焦点在 y 轴上3特别地当a b时 离心率e 2两渐近线互相垂直，分别为y= x，此22时双曲线为等轴双曲线，可设为

35、x y ；4注意PF1F2中结合定义PF1 PF2 2a与余弦定理cosF1PF2，将有关线段PF1、PF2、F1F2和角结合起来。5完成当焦点在 y 轴上时，标准方程及相应性质。二、抛物线一定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 ee=1 。二图形：三性质：方程：焦点：(y2 2px,(p 0), p 焦参数；p,0)，通径AB 2p；2p准线：x ；22222 / 3030焦半径：CF x,过焦点弦长CD x1注意： 1几何特征：焦点到顶点的距离=p2pp x2 x1 x2 p22p；焦点到准线的距离=p；通径长

36、=2p2顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 2 抛 物 线y 2px上 的 动 点 可 设 为2yP(, y)或2p2P(2pt2,2pt)或P(x, y)其中y2 2px2323 / 30301、行列式1.n n行列式共有n n2个元素，展开后有n n!项项，可分解为2n n行列式；2.代数余子式的性质：、A Aij ij和a aij ij的大小无关；、某行列的元素乘以其它行列元素的代数余子式为0；、某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为A A；3.代数余子式和余子式的关系：MMij ij (1)i i j jA Aij ij4.设n n行列式D D：将D D上、下翻转或左右翻转，所得行列式

37、为D D1，则D D1 (1)n n(n n1)2A Aij ij (1)i i j jMMij ijD D；D D；将D D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D D2，则D D2 (1)将D D主副角线翻转后，所得行列式为D D4，则D D4 D D；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)n n(n n1)2n n(n n1)2将D D主对角线翻转后转置，所得行列式为D D3，则D D3 D D；、上、下三角行列式 ：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积(1)、拉普拉斯展开式：A AO OC CB BA AC CO OB Bn n

38、(n n1)2；C CA AB BO OO OA AB BC C (1)m m n nA A B B A A B B、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于n n阶行列式A A，恒有：E E A A (1)k kS Sk kn nk k，其中S Sk k为k k阶主子式；n nk k1n n7.证明A A 0的方法：、A A A A；、反证法；、构造齐次方程组AxAx 0，证明其有非零解；、利用秩，证明r r(A A) n n；、证明 0 是其特征值；2、矩阵1.A A是n n阶可逆矩阵：A A 0是非奇异矩阵；r r(A A) n n是满秩矩阵A A的行列向量组线性无关；2

39、424 / 3030齐次方程组AxAx 0有非零解；b bR Rn n，AxAx b b总有唯一解；A A与E E等价； A A可表示成假设干个初等矩阵的乘积；A A的特征值全不为 0；A AT TA A是正定矩阵； A A的行列向量组是R Rn n的一组基； A A是R Rn n中某两组基的过渡矩阵；2.对于n n阶矩阵A A：AAAA* A A*A A A A E E无条件恒无条件恒成立；3.(A A1)* (A A*)1(ABAB)T T B BT TA AT T(A A1)T T (A AT T)1(ABAB)* B B*A A*(A A*)T T (A AT T)*(ABAB)1 B

40、 B1A A14.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A A、B B可逆： A A1假设A A A A2，则：A As sA As s；1A A2、A A A A1A A2 A A111、A A1；A As s1O O ；主对角分块B B1B B1；副对角分块O O A A1 A AO O、O OB BO O O OO OA A、1B BO OA A1 A A1 A AC C 、O OB BO O11A A1CBCB1；拉普拉斯B B1O O ；拉普拉斯B B1A A1 A AO O、11C CB BB B CACA3、矩阵的初等变换

41、与线性方程组1.一个m mn n矩阵A A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：E EF F r rO OO O；O Om mn n等价类：所有与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A A、B B，假设r r(A A) r r(B B)A AB B；2525 / 30302.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：初等列变换类似，或转置后采用初等行变换、假设(A A, E E)(E E , X X)，则A A可逆，且X X A

42、 A1；、 对矩阵(A A,B B)做初等行变化， 当A A变为E E时，B B就变成A A1B B， 即：(A A,B B) (E E, A A1B B)；、求解线形方程组：对于n n个未知数n n个方程AxAx b b，如果(A A,b b)(E E, x x)，则A A可逆，且x x A A1b b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1、 ，左乘矩阵A A，乘A A的各行元素； 右乘，乘A A的各列元素；i ii in n1r rc cr r211、对调两行或两列，符号E E(i i, j j)，且E E(i i

43、, j j)1 E E(i i, j j)，例如：11；111 、 倍 乘 某 行 或 某 列 ， 符 号E E(i i(k k)， 且E E(i i(k k)1 E E(i i( )， 例 如 ：k k1111k kk k1(k k 0)；1 、 倍 加 某 行 或 某 列 ， 符 号E E(ij ij(k k), 且E E(ij ij(k k)1 E E(ij ij(k k)， 如 ：k kk k1111(k k 0)；1115.矩阵秩的基本性质：、0 r r(A Am mn n) min(m m,n n)；、r r(A AT T) r r(A A)；、假设A AB B，则r r(A A)

44、 r r(B B)；、假设P P、Q Q可逆，则r r(A A) r r(PAPA) r r(AQAQ) r r(PAQPAQ)；可逆矩阵不影响矩阵的秩可逆矩阵不影响矩阵的秩、max(r r(A A),r r(B B) r r(A A,B B) r r(A A)r r(B B)；、r r(A A B B) r r(A A)r r(B B)；、r r(ABAB) min(r r(A A),r r(B B)；、如果A A是m mn n矩阵，B B是n n s s矩阵，且ABAB 0，则：、B B的列列向量全部是齐次方程组AXAX 0解转置运算后的结论；2626 / 3030、r r(A A)r r

45、(B B) n n、假设A A、B B均为n n阶方阵，则r r(ABAB) r r(A A)r r(B B)n n；6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵向量列矩阵向量行矩阵向量行矩阵向量的形式，再采用结合律；1a ac c01b b、型如的矩阵：利用二项展开式；001n n二0n nn n1n nn n11项b b C C a am mn nn nm m展b b m m开n n11n n1n n式n nm m0：(a a b b) C C a a C C a aC Ca a b bm mm mn nm m；C C b b C Cn na a b bn nn nn

46、n注：、(a a b b)n n展开后有n n1项；n(n1)(nm1)n!1 2 3mm!(nm)!0nCn Cn1n、Cnmmnm、组合的性质：Cn Cnmmm1Cn1 CnCnCr0rn 2nrr1rCn nCn1；、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：n n、伴随矩阵的秩：r r(A A ) 10*r r(A A) n nr r(A A) n n1；r r(A A) n n1、伴随矩阵的特征值：、A A* A A A A1、A A* A AA A(AXAX X X,A A* A A A A1 A A*X X A AX X)；n n18.关于A A矩阵秩的描述：、r r(A A) n

47、n，A A中有n n阶子式不为 0，n n1阶子式全部为 0；两句话、r r(A A) n n，A A中有n n阶子式全部为 0；、r r(A A) n n，A A中有n n阶子式不为 0；9.线性方程组：AxAx b b，其中A A为m mn n矩阵，则：、m m与方程的个数相同，即方程组AxAx b b有m m个方程；、n n与方程组得未知数个数相同，方程组AxAx b b为n n元方程；10. 线性方程组AxAx b b的求解：、对增广矩阵B B进行初等行变换只能使用初等行变换只能使用初等行变换；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n n个未知数m m个

48、方程的方程组构成n n元线性方程：a a11x x1a a12x x2a a1n nx xn n b b1a a x x a a x x a ax x b b2n nn n2、211222；a am m1x x1a am m2x x2a anmnmx xn n b bn n2727 / 3030 a a11a a12a aa a22、21a am m1a am m2n n个未知数a a1n n x x1 b b1a a2n nx x2b b2 AxAx b b向量方程，A A为m mn n矩阵，m m个方程，a amnmnx xm mb bm m x x1b b1x x2b ba an n 全

49、部按列分块，其中 2；x xn nb bn n、a a1a a2、a a1x x1a a2x x2a an nx xn n 线性表出、有解的充要条件：r r(A A) r r(A A, ) n nn n为未知数的个数或维数4、向量组的线性相关性1.m m个n n维列向量所组成的向量组A A： 1, 2, m m构成n nm m矩阵A A ( 1, 2, m m)；T Tm m个n n维行向量所组成的向量组B B： 1T T, 2, 1T TT T T T, m m构成m mn n矩阵B B 2； T Tm m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关 AxAx 0有

50、、无非零解；齐次线性方程组、向量的线性表出 AxAx b b是否有解；线性方程组、向量组的相互线性表示 AXAX B B是否有解；矩阵方程3.矩阵A Am mn n与B Bl ln n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组AxAx 0和BxBx 0同解；(P P101例 14)4.5.r r(A AT TA A) r r(A A)；(P P101例 15)n n维向量线性相关的几何意义： 0；、 线性相关、 , 线性相关 , 坐标成比例或共线平行；、 , , 线性相关 , , 共面；6.线性相关与无关的两套定理：假设 1, 2, s s线性相关，则 1, 2, s s, s s1必线性相关；