第5章湍流.pdf

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1、第五章1. 湍流与层流有何不同？湍流的主要特点是什么？试讨论由层流转变为湍流的过程。答：湍流和层流的不同点：1层流是在低临界雷诺数下发生的，而湍流是在高雷诺数下发生的；2层流时的流体是规则地层层向下游流动，层与层之间的质点互不混合；而湍流时流体的质点是杂乱无章地沿各个方向以大小不同的流速流动，发生强烈地混合；3层流中仅存在粘性力和质量力，而湍流中除上述力外，还存在着由于流体质点脉动所产生的雷诺应力；4层流中速度分布呈现抛物线形式，而湍流时由于流体质点在主流方向之外存在的高频脉动会使流体的速度分布远较层流均匀；5湍流时在壁面附近处存在着层流内层和缓冲层。2. 试证明湍流运动中，脉动量uy、ux、

2、uz和p的时均值均为零。证：ux11x1ud(u011xux)d1011x1u du dx01110 uxux 0同理可证：u u p 0。yz证毕。3. 在一风洞中， 用热线风速仪测得某气体在垂直方向上相距10cm 两点处的瞬时速度如下记录数据的时间间隔相等ux/ m/s1.021.041.010.990.981.011.041.011.021.041.041.020.97ux/ m/s假定湍流各向同性，试计算上述两点处的时均速度和湍流强度。解：uxux i/10 1.012m/s1110i1uxux i/10 1.014m /s2210i1则u/m/s810-3-210-3x-0.022-

3、0.032-210-30.028810-30.018-0.044u/m/s410-3610-30.02626610-3x(u)2x16410-310-4410-310-410-3410-310-46410-310-410-31(u)210-31610-310-410-410-43610-310-410-43610-310-3x221u/ux 0.0205x1122u /ux 0.02424x224. 试将雷诺方程5-11a 、 5-11b 、 5-11c简化成二维湍流流动z方向的瞬时速度和时均速度均为零情况下的雷诺方程。在此情况下，方程中雷诺应力的剪应力有哪几个？解：x 方向的雷诺方程5-11

4、a为：uuu(uxxuyxuzx)xyzX x2(xxu )xy(yxuu)xyz(zxuu)1xzuz,uz均为零，故uz uzuz 0,且式1变为 0二维流动zy(uxuxxuyuxy) X x2(xxu )xu(yxux)2y同理，y 方向的雷诺方程5-11b变为(uxuyxuyuyy) Y x(xyuu)xyy2(yyu )3y由于是二维流动，故式5-11c消失。由式2和3可知，雷诺应力中的剪应力是唯一的，即uyux。5. 流体在圆管中作湍流流动时，在一定Re 范围内，速度分布方程可用布拉修斯1/7 次方定律表示，即uumaxy ()1/ 7ri试证明截面上主体平均流速ub与管中心流速

5、umax的关系为ubumax证：ub1AudA A1ri2yri0yumax2(ri y)d(ri y)ri1/ 72umaxri2ri1/ 70(ri y)( )dyri2ri2u(y1/7ri6/ 7 y3/ 7ri1/7)dy2max0ri2umax78/ 76/ 7715/ 71/7ri yri yri0ri28152umax727277r r 2()umaxii2ri815815 0.817umax证毕。6. 不可压缩流体在半径为 ri的圆管作稳态湍流运动，试证明与管壁相距 y 处的混合长可表为l s/du /dy 1 y/ri式中，s为管壁处的剪应力。解：由式3-7可知srris(

6、ri yriy) s(1)ri式中，应包含有分子粘性应力和雷诺应力两部分。 但在离壁不远处，分子粘性应力可略去不计，因此rl2(dudy)2y2du2s(1) l ()ridy整理得l s/du /dy 1 y/ri证毕。7. 温度为 20的水流过内径为 50mm 的圆管。测得每米管长流体的压降为1500N/m2，试证明此情况下流体的流动为湍流，并求1层流底层外缘处水的流速、该处的y 向距离及涡流粘度；2过渡区与湍流主体交界处流体的流速、该处的y 向距离及涡流粘度。解：由物性表查得 20水的物性：/m3，100.510Pa s3s p2Lri150020.05/2 18.75 N/m23us1

7、8.75 0.137 m/s998.2ruiub u (2.5 ln1.75)0.0250.137998.2100.5105 0.1372.5ln1.75 3.02 m/sReddub0.253.02998.2100.51051.51051104，故为湍流。1层流内层外缘处u y 5u u y 5u 50.137 0.685 m/sy uyy b5u5u5100.5105998.20.137 3.67105m 0层流内层只有粘性力u 5.0lny 3.052过渡区与湍流主体交界处5.0ln303.05u 13.956u 13.9650.137 1.912 m/sy m30u6b 2.2104m

8、s(1) 18.75(1y221040.025ri)2dudydu1()dy4将u 5.0lny 3.05写成uu 5.0lnyuyu3.05或u 5.0u ln3.05udu5.0udyy5.0u1y()y5.0u18.5822104998.25.00.137 6.0106m2/s8. 试应用习题 7 中的己知数据，求r ri/2处流体的流速、涡流粘度和混合长的值。解：y yuriu20.0250.137998.22100.51061.710 30为湍流主体区4u 2.5ln y5.5 2.5ln1.71045.5 29.85u uu 29.850.137 4.09 m/ss(1) s(1r

9、iyri/21) sri21218.75 9.375 N/m2du2.5u同上题方法推导，故dyydu19.375y9.3750.025/242() 3.4310m /sdy998.22.5u998.22.50.1375 l2dudy0.025/2ydu433.4310 3.5410m) 2.50.137dy25ul (9. 常压和 303K 的空气，以3/s 的体积流率流过内径为 100mm 的圆管，对于充分发展的流动，试估算层流底层、缓冲层以及湍流主体的厚度。解：由物性表查得 303K 空气的物性1.165kg/m，1.8610 Pa subRe 35VsA0.1/40.1212.74 m

10、/s 7.9796104dub0.112.741.1651.86105为湍流流动。由于510 Re 210故f 0.046Reu ub1/535 0.046(79796)1/5 4.81103f /2 12.744.81103/2 0.625m/s层流内层厚度：b5u5u51.861051.1650.6251.28104m缓冲层厚度：30525m=-=5b6.39104muuu湍流主体厚度：d0.1c=m-b-6b 0.05061.28104 0.0492m2210. 在平板壁面上的湍流边界层中，流体的速度分布方程可应用布拉修斯1/7 次方定律表示uxy ( )1 7u0试证明该式在壁面附近即

11、y0不能成立。证：s uduxdyy0d y1/711 76/7u ( )uy00dyy07y0 不存在，该式在壁面附近即y0不能成立。11. 试由圆管湍流的范宁摩擦因数的表达式f 0.079Re1/ 4导出圆管湍流速度分布的61/7 定律，即uxumaxy ()1/ 7ri式中，umax为管中心最大流速 umax u0/0.817 ， y 为由管壁算起的径向距离， ri为管半径。解：s fub22 0.079Re1/ 4ub22 0.0395(dub27/41/ 4)1/ 4ub 0.0332ri1/ 4ub2由于su，代入上式可得(ubu)7/410.0332)1/ 7(uri)1/ 4即

12、ubu 6.998(uri将ub 0.817umax代入，得umaxu 8.57(uri)1/ 7假设此式对任一由管壁算起的径向距离y 和相应的速度 ux均适用，则uxu 8.57(uy)1/ 7以上二式相除得uxumaxy ()1/ 7ri12. 某 液 体 在 一 内 径 为 的 光 滑 圆 管 内 作 稳 态 湍 流 流 动 ， 该 液 体 的 密 度 为1200kg/m3Pas，测得每米管长的压降为528N/m2。试求此液体在管内流动的平均流速为多少？解：s p dL 4 5280.054 6.6 N/m12设流动为湍流Re 4000 ，则范宁摩擦因数为s fub22 0.046Re0

13、.2ub22 0.046(dub)0.2ub22 0.046(0.0512000.01)0.2120021.81.8ub 4.845ub2式1与2联立，得7ub1.86.64.8451.362ub1.187m/s校核雷诺数Re dub0.051.18712000.01 7122此流动确为湍流，计算正确。13. 20的水在内径为 2m 的直管内作湍流流动。测得其速度分布为ux10 0.8ln y，在离管内壁 1/3 m 处的剪应力为 103Pa，试求该处的涡流运动粘度及混合长。已知 20水的密度为 998.2 kg/m30510-3Pas。解： 1涡流运动粘度yx()tdux1dy0.8y0.8

14、0.333 2.4 s-12duxdyddy(100.8ln y) 式2代入式1并整理得tyxduxdyy0.333103998.22.41.005103998.2 4.30102m2/s362已知/1.00510/998.2 1.00710m /s。可见，离管内壁 1/3 处的粘性扩散系数与涡流扩散系数相比，可以忽略不计。2混合长忽略粘性应力，则yxyxl (rt2duxdy)2tyxl 2(du /dy)x1/ 2 (103998.22.42)1/ 2 0.1338m其值约为管半径的 13.4。14. 常压下和 10的空气以 10m s的流速流过内径为 50mm 的光滑圆管，试分别采用通用

15、速度分布方程和布拉修斯1/7 次方定律求算管中心处的流速， 并对所获得的结果进行分析比较。解：由物性表查得，常压下10的空气的物性1.247 kg/m，1.7710 Pa s358Re dub0.051.247101.77105 3.5225104流动为湍流。1采用通用速度分布方程：f 0.046Re1/ 5 5.67103u ubf 2 10uri5.671032 0.532 m/sy+中心0.5320.05/21.2471.77105 937.0u 2.5ln y5.5 22.61u中心uu 22.610.53212.03m/s2布拉修斯1 7次方定律法：yyu umax()1/ 7 u中

16、心( )1/ 70ub1AAudA 1ri2riyu中心2(ri y)d(ri y)1/ 7=0.817u中心ub0.817100.81712.24 m/su中心=两种计算方法得到的结果几乎相同，说明布拉修斯1 7次方定律在管中心范围是成立的，尽管它在壁管附近即y0不能成立。15.20C 的水稳态流过内径为 10mm 的光滑圆管，流动已充分发展。试求下述两种质量流率下半径中点处水的流速，剪应力及每米管长的压降p:1流率为 50kg/h；2流率为 500kg/h。解：由物性表查得，20C 的水的物性 998.2 kg/m，100.510 Pa s35ub150998.2/40.01 36002

17、0.177 m/sub210ub11.77 m/sRe1dub10.010.177998.2100.51051760.5 2000为层流9Re210Re117605 10000为湍流1流率为 50kg/h半径中点y ri，r y2r /2ru1 2ub11( )2 20.1771(i)2 0.266 m/sriri1 dudrrri/24ub112ub12100.51050.1772ri 0.071N/m2ri2ri0.010 21s(1) ss 21p1L 4s/d 81d 2流率为 500kg/hyri1280.0710.01 56.8 Pa/mf2 0.079Re1/ 4 0.079(1

18、7605)1/ 4 6.86103uubf 2 1.77 6.86103/2 0.1036 m/sy uyuri/20.10360.005/2998.2100.5105 257.3 30u 2.5lny5.5 19.38u uu19.380.1036 2.00 m/ssu998.20.1036210.71N/m22s(1) s 5.36N/m2p2L 4sd 410.71 4284 Pa/m0.01yri12216. 20的水在内径为 75mm 的光滑管内作湍流流动。已知壁面处的剪应力为2。试求层流内层厚度、平均流速和质量流率、管中心流速、范宁摩擦因数以及每米管长的压降。62解：由物性表查得，

19、20水的物性: 998.2 kg/m,1.00610 m /s3us3.68 0.0607 m/s998.2101层流内层厚度：5u51.0061060.0607 0.0829mm2平均流速和质量流率由式5-49ub u (2.5lnuri1.75) 0.0607(2.5ln1.28 m/s0.06070.03751.75)61.0061022w=ubri 998.21.283.140.0375 5.64 kg/s3管中心流速由式5-51umax u (2.5lnuri5.5)0.06070.03751.006106 0.0607(2.5ln1.51m/s5.5)4范宁摩擦因数以及每米管长的压

20、降由定义f su /22b3.682998.21.282 0.0045由式3-6p3.68 4s 4196.3 Pa/mLd0.07517.温度为 20的水，以 1m/s 的平均流速流过内径为 50mm 的粗糙管，圆管粗糙度为e=0.0005。试求y=20mm 处水的流速和剪应力的值。d解：由物性表查得，20水的物性 998.2kg/m，100.51035PasReddub0.051998.2100.5105 4.97104由Red和e d查图 5-11得：f 0.0056u ubf 2 10.0056 0.0529 m/s211e du0.00050.050.0529998.21.3 5为水

21、力光滑状态d100.5105y 由式5-43u u (2.5lny 5.5) 0.05292.5ln(1.0510 )5.51.21m/s222su 998.20.0529 2.79N/meuuy0.020.0529998.231.0510 30y 位于湍流主体区100.51053s(1y0.02) 2.79(1) 0.558N/m2ri0.02518. 利用流体阻力实验可估测某种流体的粘度， 其方法是根据实验测得稳态湍流下的平均速度ub及管长为 L 时的压降(p)而求得。试导出以管内径 d、流体密度、平均流速ub和单位管长压降p/ L表示的流体粘度的计算式。解： 设流体在管内湍流且流动充分发

22、展，则f 0.046Re0.2而p 4 fLub2d2 40.046(dub)0.2Lub2d21.80.8 0.0920.2d1.2ubL移项并整理得d1.2(p/ L)0.81.80.092ub19. 温度为 15的水以 3m/s 的均匀流速流过平板壁面。试计算距平板前缘及1m 两处的边界层厚度，并求水在该两处通过单位宽度的边界层截面的质量流率。设Rexc510。解：由物性表查得，15水的物性1000 kg/m，1103355Pasx 0.1m时，Re1x1u0.131000 3105 5105为层流边界层311011/21 4.64x1Rex 4.640.1(3105)0.58.5104

23、mx 1m时，Re210Re1 3106 5105为湍流边界层121/52 0.376x2Rex 0.3761(3106)0.2 0.019m2单位板宽1m的质量流率：113 y1 yw1uxdy1u0 ( )( )3dy00223 y1 y3y3 y21 y45u01 ( )( ) d( ) u0 ( ) ( ) 1u010224808115100038.51041.594 kg/s820w27u0()dy u021/7y8/ 7281/7y2077u02100030.019 49.88 kg/s8820. 常压和 20的空气，以 20m/s 的流速流过一水平放置的平板上、 下两外表。平板的

24、宽度为 2m、长度为 2m，试求平板所承受的总曳力。设Rexc510。解：由物性表查得，常压下20的物性1.206 kg/m，1.7910355PasReLLu02201.2066 2.710 Rexc51.7910流动为湍流。1/5CD 0.0736ReL 3.81103Fd CD2u01.2062022A 3.8110(222) 7.35N22321. 温度为 10的水，以5m/s 的流速流过宽度为 1m 的平板壁面，试求距平板前缘2m处的边界层厚度及水流过2m 距离对平板所施加的总曳力。设Rexc510。解：由物性表查得，10水的物性1000 kg/m，1.30810335PasReLL

25、u0251000 7.64710631.30810流动为湍流。1/5 0.376LReL 0.3762(7.647106)0.2 0.0316 m1/5CD 0.0736ReL 0.0736(7.647106)1/5 3.0910313Fd CD2u0100052A 3.091012 77.0N22322. 试从光滑圆管中湍流核心的对数速度分布式(5-43)和剪应力与y的关系式ys(1)出发，推导涡流粘度的表达式，并讨论涡流粘度或参数与雷诺数Re和riu ri位置y的关系。解：在湍流核心，可忽略粘性力的影响，则duyrs(1) xridy移项得sydu(1)(x)11ridy湍流核心的速度分布

26、为u 2.5ln y 5.5，ux 2.5u lnyu5.5uduxdy 2.5uy2将式2代入式1 ，并将u s/代入，得u(1)或写成u(122yyri2.5u 0.4u(1)y3riyuriyy 0.4()(1)ri2.5uririy)y由上式可见，涡流粘度或参数u ri仅与位置y有关，与雷诺数Re无关。23. 试利用习题 22 解出的速度分布表达式， 求普兰得混合长l与距管壁距离y之间的关系式，并对此关系式进行讨论。解：涡流粘度与混合长的关系为 l2由题 22 解得duxdy1duxdy 2.5uy214u(1)2yyri2.5u 0.4u(1)y3riy将式2和3代入式1 ，解得yy

27、 0.4(1)1/ 2ririril由上式可见，混合长l仅与位置y有关，与雷诺数Re无关。24. 设圆管内湍流的速度分布可以用一个对于光滑管和粗糙管都适用的公式表示uu 2.5lnuy5.82.5ln(10.3ue)试证明管内范宁摩擦因数的表达式为Ref11.768ln2.347ef0.5+0.106Refduyuriy证： 由于ri因此速度分布式可写成uu 2.5lnyri B式中B 5.8 2.5lnuri2.5ln(1 0.3ue)通过管截面的流量和平均速度为Vsu2rdr u0riri0y5r ln( )dr Buri2riubVsri2Vs u50ririyrln( )d( ) Bu

28、ririrruburi250yrln( )d( ) Bririrr注意到r ri y，令 y/ri，则当r ri时， 0；当r 0时，1。因此ubu5(1)lnd B0110015lndlnd B1511225(ln)0(ln/2) B0215(1) B41 B3.75将 B 的表达式代入上式，得由于ubu2.5lnuri2.5ln(10.3ue)2.05uubf2fRe2Ref242e2 eRe Ref2d2dfuriuubdub2ueuubd eubd2f2.5ln因此2Ref2.052.5ln(4 2)0.3 e1+Refd2整理得Ref11.768ln2.347ef0.5+0.106R

29、efd证毕。25. 不可压缩流体沿平板壁面作稳态流动，并在平板壁面上形成湍流边界层，边界层内为二维流动。假设x方向上的速度分布满足1 7次方定律，试利用连续性方程推导y方向上的速度分量表达式。解：不可压缩流体的连续性方程为即uxxuyy 0uyy uxx11/7u y 由速度分布的 1/7 次方定律式5-65x得u0ux11d2 u0y1/ 7()8/ 7x7dx16将式2代入式1可得uyyu07y1/ 71d8/7dx3上式对 y 积分可得uyuyydyu0y8/7d88/7dx4由湍流边界层的计算式得 0.376(xu0u0)1/ 5x 0.376(u0)1/ 5x4/5ddx将式5代入式

30、4可得uy 0.376()1/ 545x1/ 5 0.3008(u0 x)1/ 55u0y8/788/7(0.3008)(u0 xy4/5)1/ 5 0.0376u0(x)1/ 5()8/726. 假定平板湍流边界层内的速度分布可用两层模型描述， 即在层流底层中，速度为线性分布；在湍流核心，速度按1/7 规律分布，试求层流底层厚度的表达式。解： 层流底层很薄，故有sduxdyuxy1平板湍流壁面剪应力又可由式5-56表示，即us2 0.0230u0以上两式联立得到1/ 42u02u01/ 4()y3ux 0.023令层流底层厚度为b，其外缘与湍流核心接壤处的速度为ul，则上式可写成u02u01

31、/ 4()b4ul 0.023或写为b1ul3/ 4()()50.023u0u0另一方面，湍流核心的速度可用1/7 次方定律描述，即uxu0y ()1/ 717在两层交界处，有ulu0或写成 (b1/ 7)bu (l)76u0式5与式6联立得ulu01.875(1/ 8)1.875Reb1/8u0将x 0.376(xu0ul)1/ 5代入上式，可得u0 2.12(u0 x1/10)1/10 2.12Rex7将式7代入式6中，得b7/10192.5Rexxu0再将x 0.376()1/ 5代入上式，可得bx (b)( ) (192.5Rex7/10)(0.376Rex1/ 5) 72.4Rex9

32、/10 x527 . 在Re 210范围内，管内充分发展的湍流的范宁摩擦因数可用布拉休斯公式表示f 0.046Re1/ 5试求层流底层厚度的表达式。解：b或5u5ubf / 2b555dudubf /2Ref /2将布拉休斯公式代入上式，得b 5Re 0.023Re1/ 5d50.1517Re9/10 33.0Re9/1028. 已知流体在圆管内作湍流流动时的速度分布可用式5-40表示，即18u1ln yC3K现将上式写成如下一般形式uyu f ()1u式中us，试用量纲分析法导出式1 。解：圆管湍流速度分布的一般形式为u f (s, y)或f (u ,s, y) 0选取u、和 y 为 3 个

33、基本物理量，则其余 532 个物理量可表达成1sy1u111abcabc2y2u222将各相关物理变量的量纲代入式1 ，可得1= M LT (ML T )(L) (LT ) (ML )上式两端 M、L 和的指数应相等，即0 1c10 1 a1b13c1000-1-2a1-1b1-3c10 2b1解得a1 0，b1 2，c1 1su2 ()故有1u2uu同理可得2yuyuu故有1 f (2)u即() f ()uyuu2u或写成uu f (yu)uyu)写成倒数形式为 f (u29. 按 1：30 比例制成一根与空气管道几何相似的模型管，用粘度为空气的50 倍、密度为 800 倍的水做模型实验。 1假设空气管道中流速为 6m/s，问模型管中水的流速应多19大才能与原型相似？2假设在模型中测得压降为 226.8kPa，试求原型中相应的压降为多少?解： 1根据相似性原理，对于几何相似管包括相对粗糙度e/d相等 ，当雷诺数相等时，流动到达动力相似。以下标 p 表示原型，下标m 表示模型，则Rep Rem即puplppmumlmm故模型管水流速应为plpm13050um up 611.25 m/smlmp800112由 Eu 数相等，(pu) (2ppu2)m故原型压降为(p)p (p)mpupmum()2 226.81031800(611.25)2 80.64 Pa20