函数的零点问题.pdf

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1、函数零点问题的求解函数零点问题的求解【教学目标教学目标】知识与技能：知识与技能：1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间.2.结合几类根本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法.3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围.过程与方法：过程与方法：1.函数零点反映了函数和方程的联系， 函数零点与方程的根能相互转化， 能把方程问题合理转化为函数问题进行解决.2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了学生的数学思想方法的应用.情感、态度与价值观情感、态度

2、与价值观: :1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.【教学重点】【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】【教学难点】根据函数零点所在的区间求参数的取值范围【教学方法】【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合.【教学过程】【教学过程】一、引例一、引例1 函数fx e x2的零点所在的一个区间是 xA.2,1 B.1,0C.0,1D.1,2解法一:代数解法解：(1)因为f0e 02 10，f1e 12e10，01所以函数fx e x2的零点所在的一个区间是0,1应选 C.x二、 根底知识回忆根底知识回忆

3、1函数零点概念对于函数y fx，把使fx 0的实数x叫做函数y fx的零点2. 零点存在性定理：如果函数y fx在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有供学习参考fa fb 0，那么，函数y fx在区间a,b内有零点.即存在ca,b，使得fc 0，这个 c 也就是方程fx 0的根.问 题 1: 函 数fx111, 有f2 0, f2 0, 那 么 在2,2上 函 数x221有零点吗?x2问题 2:函数f (x) x 6x8在区间1,3,0,1,1,5有零点吗?fx引例除了用零点根本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗?解法二:几何解法x(1).fx e x2可化为e x2x画出

4、函数y e和y x2的图象，可观察得出 C 正确.4321xyy = exy =x + 221024x函数零点、方程的根与函数图像的关系函数y Fx fxgx有零点方程Fx fxgx0有实数根函数y1 fx, y2 gx图像有交点. .三、能力提升三、能力提升1. 1.利用函数图像求函数零点问题利用函数图像求函数零点问题例 1： 1函数fx lgxcosx的零点有A4 个B3 个C2 个D1 个4y2y=lgxoy=cosx51015x20252变式 1：假设函数为fx lgx cosx，那么有个零点.4供学习参考变式 2：假设函数为fxlg x cosx，那么有个零点.解:由fx lgxco

5、sx 0,可化为lgx cosx,画出y lgx和y cosx的图像,可得出 B 正确.fx lgx cosx有 4 个零点,fxlg x cosx有 6 个零点. (2)函数y 1与y 2sinx的图像在2,4有个交点,x1交点的横坐标之和为3y21x x) )o212解:函数y y =1x 1y = sin2 x24x68101 2sinx的图像在2,4有 8 个交点,因为图像都关于1,0点对与y3x142称,故交点的横坐标之和为4.3:假设关于x的方程a x xaa 0有两个不同的实数根,求a的取值范围.解 1:设y a x , y xa,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程

6、2a2x xa有两个不同的实数根.y a2x与y x a的图像，当a 1时，在第一象限平行， 第二象限有一个交点， 当a 1时只有一个交点在第二象限， 当a 1时有两个交点，故a 1.解 2:设y x , y 11x,分别画两函数的图像 ,两图像有两个不同的交点即方程2aa11a2x xa有两个不同的实数根.只有当y 2x 的斜率小于 1 时有两个交点，即aa11，a 1.a25y4321y432121421O224x68O22x4供学习参考2. 2.利用零点性质求参数的取值范围利用零点性质求参数的取值范围探究：探究：f (x) x 6x 9xa在xR上有三个零点，求a的取值范围.解：由f (

7、x) 3x 12x9 3(x 4x3) 3(x3)(x1)得令f (x) 0，得x 3或x 1，f x0,得1 x 332.521.510.5213222y f (x)在(,1)，(3,)上单调递增，在(1,3)上单调递减 f (x)极大值=f (1) 4 a 0，a 4f (x)极小值=f (3) a 00.511.522.54.543.532.521.51o12345x674 a 0.变式变式1 1： 方程x 6x 9xa 0在2,4上有实数32y解，求a的取值范围.解：由方程x 6x 9xa 0在2,4上有实数32解，即x36x29x a由fx x 6x 9x的图像可得：0 a 4320

8、.51A A0.51o12345x678变式变式2 2：x3ax29x 0在2,4上有实数解，求a的取值范围.13x39x9a6,. .解1：由a ， x,x2,422xx变式变式3 3：假设不等式x3ax29x 0在2,4上恒成立，求a的取值范围.解：解：转化为a (x),x1,3恒成立问题，即a (x)min,x1,3得a ,6.四、课堂小结四、课堂小结 解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、 等价转换等方法， 注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相

9、关的问题.供学习参考9x9x课后练习课后练习: :1. . 函数y fx的周期为 2，当x1,1时fx x，那么函数y fx的图象与2函数y lgx的图象的交点共有A10 个B9 个C8 个D1 个2x1x 0,假设方程fx xa有且只有两个不相等的实数2 函数f (x) f (x1)(x 0)根，那么实数 a 的取值范围是( )(A)-，0 (B)(-,1)(C)0,1 (D)0,+)3.假设函数f (x) x 3xa有 3 个不同的零点 ,那么实数a的取值范围是3C.,1D.1,A.2,2B.2,24假设 x1满足 2x+2x=5,x2满足 2x+2log2(x-1)=5,那么 x1+x2

10、=( )57B3CD42225.a是实数，函数fx 2ax 2x 3 a，如果函数y fx在区间1,1上有零点，A求a的取值范围.6. .x 3是函数f (x) aln(1 x) x 10 x的一个极值点求a；求函数f (x)的单调区间；假设直线y b与函数y f (x)的图像有 3 个交点，求b的取值范围7. .设a为实数，函数f (x) x x x a求f (x)的极值；当a在什么范围内取值时，曲线y f (x)与x轴仅有一个交点8. .函数fx x 3ax1,gx fxax5，其中f32322x是的导函数.对满足1 a 1的一切a的值，都有gx0，求实数x的取值范围； 设a m， 当实数m在什么范围内变化时， 函数y fx的图象与直线y 3只有一个公共点供学习参考供学习参考