统计学第七章、第八章.pdf

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1、统计学复习笔记统计学复习笔记第七章第七章 参数估计参数估计一、一、 思考题思考题1 1解释估计量和估计值解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值估计值。2 2简述评价估计量好坏的标准简述评价估计量好坏的标准1无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。2有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。3一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。3 3怎样理解置信区间怎样理解置信

2、区间在区间估计中， 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。 有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差即置信区间 ，并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄显得“精确” ，有误导读者之嫌。 在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度由后面给出的公式 ，反之亦然。4 4解释解释 95%95%的置信区间的含义是什么的置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有

3、95%的区间包含参数。不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个 95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。5 5简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。1. 估计总体均值时样本量n为2222(z)22n 2E2其中：E z 2n2. 样本量n与置信水平 1-、总体方差、估计误差E之间的关系为11与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；与与总体方差成正比， 样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。二、

4、二、 练习题练习题1 1从一个标准差为从一个标准差为 5 5 的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为为 4040 的样本，样本均值为的样本，样本均值为 2525。x等于多少？等于多少？1)1) 样本均值的抽样标准差样本均值的抽样标准差x2)2) 在在 95%95%的置信水平下，估计误差是多少？的置信水平下，估计误差是多少？2 2某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期 3 3 周周的时间里选取的时间里选取 4949 名顾客组成了一个简单随机样本。名顾客组成了一个简单随机样本。1)1) 假定总体标

5、准差为假定总体标准差为 1515 元，求样本均值的抽样标准误差。元，求样本均值的抽样标准误差。2)2) 在在 95%95%的置信水平下，求估计误差。的置信水平下，求估计误差。3) 如果样本均值为如果样本均值为 120120 元，求总体均值元，求总体均值 的的 95%95%的置信区间的置信区间。22x=104560=104560，3 3从一个总体中随机抽取从一个总体中随机抽取 n =100n =100 的随机样本，得到的随机样本，得到假定总体标准差假定总体标准差 = 85414 = 85414，试构建总体均值，试构建总体均值 的的 95%95%的置信区间。的置信区间。4 4从总体中抽取一个从总体

6、中抽取一个 n =100n =100 的简单随机样本，得到的简单随机样本，得到x=81=81，s=12s=12。要求：要求：1 1）构建构建 的的 90%90%的置信区间。的置信区间。2 2）构建构建 的的 95%95%的置信区间。的置信区间。3 3）构建构建 的的 99%99%的置信区间。的置信区间。5 5利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。1 1）x= 25= 25， = 3.5 = 3.5，n =60n =60，置信水平为，置信水平为 95%95%2 2）x=119=119，s s =23.89 =23.89，n =75n =75，置信水平为，

7、置信水平为 98%98%3 3）x=3.149=3.149，s s =0.974 =0.974，n =32n =32，置信水平为，置信水平为 90%90%336 6利用下面的信息，构建总体均值利用下面的信息，构建总体均值 的置信区间：的置信区间：x=8900=8900，置信，置信1 1） 总体服从正态分布，且已知总体服从正态分布，且已知 = 500 = 500 ，n = 15n = 15 ，水平为水平为 95%95%。2 2） 总体不服从正态分布，且已知总体不服从正态分布，且已知 = 500 = 500 ，n = 35n = 35 ，x=8900=8900，置，置信水平为信水平为 95%95%

8、。3 3） 总体不服从正态分布，总体不服从正态分布， 未知，未知，n = 35n = 35，x=8900=8900，s s =500 =500，置，置信水平为信水平为 90%90%。4 4） 总体不服从正态分布，总体不服从正态分布， 未知，未知，n = 35n = 35，x=8900=8900，s s =500 =500，置，置信水平为信水平为 99%99%。447 7某大学为了解学生每天上网的时间，在全校某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 75007500 名学生中采名学生中采取重复抽样方法随机抽取取重复抽样方法随机抽取 3636 人，调查他们每天上网的时间，得到下人，调查他们每天上网的

9、时间，得到下面的数据单位：小时面的数据单位：小时 。求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为 90%90%8 8从一个正态总体中随机抽取样本量为从一个正态总体中随机抽取样本量为 8 8 的样本，各样本值分别的样本，各样本值分别为：为：1010，8 8，1212，1515，6 6，1313，5 5，1111。求总体均值。求总体均值 的的 95%95%置信区间。置信区间。9 9某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离， 抽取了由抽取了由 1616个人组成的一个随机样本，个人组成的一个随机样本，

10、他们到单位的距离分别是：他们到单位的距离分别是：1010，3 3，1414，8 8，6 6，9 9，1212，1111，7 7，5 5，1010，1515，9 9，1616，1313，2 2。假设总体服从正态分。假设总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的布，求职工上班从家里到单位平均距离的 95%95%的置信区间。的置信区间。551010 从一批零件是随机抽取从一批零件是随机抽取 3636 个，测得其平均长度是个，测得其平均长度是 149.5149.5，标准，标准差是差是 1.931.93。1)1) 求确定该种零件平均长度的求确定该种零件平均长度的 95%95%的置信区间。的置信区

11、间。2)2) 在上面估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请解释。在上面估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请解释。1111某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装， 每袋标准重量为每袋标准重量为100100 克，现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取克，现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取 5050 包进行包进行检查，测得每包重量如下：检查，测得每包重量如下：已知食品包重服从正态分布，要求：已知食品包重服从正态分布，要求：1 1）确定该种食品平均重量的确定该种食品平均重量的 95%95%的置信区间。的置信区间。2 2）如果规定食品重量低于

12、如果规定食品重量低于 100100 克属于不合格，确定该批食克属于不合格，确定该批食品合格率的品合格率的 95%95%的置信区间。的置信区间。661212假设总体服从正态分布，利用下面的数据构建总体均值的假设总体服从正态分布，利用下面的数据构建总体均值的99%99%的置信区间。的置信区间。 略略1313一家研究机设想估计在网络公司工作的职工每周加班的平均一家研究机设想估计在网络公司工作的职工每周加班的平均时间，为此随机抽取了时间，为此随机抽取了 1818 个职工，得到他们每周加班的时间数据如个职工，得到他们每周加班的时间数据如下单位：小时下单位：小时 ：63218171220117902182

13、516152916假定职工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司职工平均假定职工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司职工平均1414 利用下面的样本数据构建总体比例丌的置信区间：利用下面的样本数据构建总体比例丌的置信区间：1 1）n =44n =44，p = 0.51p = 0.51 ，置信水平为，置信水平为 99%99%2 2）n =300n =300，p = 0.82p = 0.82 ，置信水平为，置信水平为 95%95%773 3）n =1150n =1150，p = 0.48p = 0.48，置信水平为，置信水平为 90%90%1515在一项家电市场调查中，在一项家电市场调查中，

14、 随机抽取了随机抽取了 200200 个居民户，个居民户， 调查他们调查他们是否拥有某一品牌的电视机，其中拥有该品牌电视机的家庭占是否拥有某一品牌的电视机，其中拥有该品牌电视机的家庭占 23%23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为求总体比例的置信区间，置信水平分别为 90%90%和和 95%95%。1616一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存款额的标准差为额。他假设所有顾客月存款额的标准差为 10001000 元，要求的估计误差元，要求的估计误差在在 200200 元以内，置信水平为元以内，置信水平

15、为 99%99%。应选取多大的样本？。应选取多大的样本？1717 要估计总体比例丌，计算以下条件下所需的样本量。要估计总体比例丌，计算以下条件下所需的样本量。1 1）E=0.02E=0.02，丌，丌=0.40=0.40，置信水平，置信水平 96%96%2 2）E=0.04E=0.04，丌未知，置信水平，丌未知，置信水平 95%95%883 3）E=0.05E=0.05，丌，丌=0.55=0.55，置信水平，置信水平 90%90%1818某居民小区共有居民某居民小区共有居民 500500 户，户， 小区管理者准备采用一项新的供小区管理者准备采用一项新的供水设施，水设施， 想了解居民是否赞成。想了

16、解居民是否赞成。 采取重复抽样方法随机抽取了采取重复抽样方法随机抽取了 5050 户，户，其中有其中有 3232 户赞同，户赞同，1818 户反对。户反对。1 1）求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间 =0.05=0.052 2）如果小区管理者预计赞成的比例能到达如果小区管理者预计赞成的比例能到达 80%80%， 估计误差估计误差不超过不超过 10%10%，应抽取多少户进行调查，应抽取多少户进行调查 =0.05=0.051919 根据下面的样本结果，计算总体标准差根据下面的样本结果，计算总体标准差 的的 90%90%的置信区间：的置信区间：1 1 =

17、21=21，S=2S=2，N=50N=502 2 =1.3=1.3，S=2S=2，N=15N=153 3 =167=167，S=31S=31，N=22N=229920.顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比方，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取 10 名顾客，他们在办理业务时所等待的时间(单位：分钟)如下：方式 1方式 210要求：(1)构建第一种排队

18、方式等待时间标准差的95的置信区间。(2)构建第二种排队方式等待时间标准差的95的置信区间。第八章第八章 假设检验假设检验一、一、 思考题思考题1 1假设检验和参数估计有什么相同点和不同点？假设检验和参数估计有什么相同点和不同点？解：参数估计与假设检验是统计推断的两个组成部分。相同点：它们都是利用样本对总体进行某种推断。不同点：推断的角度不同。 参数估计参数估计讨论的是用样本统计量估计总体参数的方法，总体参数在估计前是未知的。而在假设检验假设检验中，则是先对的值提出一个假设， 然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。2 2什么是假设检验中的显著性水平？统计显著是什么意思？什么是假设检验中的显著

19、性水平？统计显著是什么意思？1010解：显著性水平用 表示，在假设检验中，它的含义是当原假设正确时却被拒绝的概率或风险，即假设检验中犯弃真错误的概率。 它是由人们根据检验的要求确定的。我理解的统计学意义，统计显著是统计上专用的判定标准， 指在一定的概率原则下，可以承认一种趋势或者合理性到达的程度， 到达为统计上水平显著，达不到为统计上水平不显著3 3什么是假设检验中的两类错误？什么是假设检验中的两类错误？解：弃真错误 错误：当原假设为真时拒绝原假设，所犯的错误成为第 I 类错误， 又称为弃真错误。 犯第 I 类错误的概率常记作。取伪错误错误 ：当原假设为假时没有拒绝原假设，所犯的错误称为第 I

20、I 类错误，又称取伪错误。犯第II 类错误概率常记作。发生第 I 类错误的概率也常被用于检验结论的可靠性度量。 假设检验中犯第 I 类错误的概率被称为显著性水平，记作。4 4两类错误之间存在什么样的数量关系？两类错误之间存在什么样的数量关系？在样本容量 n 一定的情况下，假设检验不能同时做到犯和两类错误的概率都很小。 假设减小错误， 就会增大犯错误的时机；假设减小错误，也会增大犯错误的时机。要使和同时变小只有增大样本容量。但样本容量增加要受人力、经费、时间等很多因素的限制，无限制增加样本容量就会使抽样调查失去意义。 因此假设检验需要慎重考虑对两类错误进行控制的问题。11115 5解释假设检验中

21、的解释假设检验中的 P P 值。值。解：如果原假设为真，所得到的样本结果会像实际观测结果那么极端或更极端的概率，称为 P 值。也称为观察到的显著性水平。P 值是反映实际观测到的数据与原假设 H0之间不一致程度的一个概率值。 P 值越小， 说明实际观测到的数据与 H0之间不一致程度就越大。6 6显著性水平与显著性水平与 P P 值有何区别？值有何区别？解： 显著性水平是一个判断的标准当原假设为真，却被拒绝的概率)，而P 是实际统计量对应分位点的概率值当原假设为真时，所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率 。可以通过 计算置信区间， 然后与统计量进行比较判断， 也可以通过统计量计算对应的 p

22、值，然后与 值比较判断。7 7假设检验依据的基本原理是什么？假设检验依据的基本原理是什么？解： 假设检验利用的是小概率原理，小概率原理是指发生概率很小的随机事件在一次试验中是几乎不可能发生的。 根据这一原理，可以先假设总体参数的某项取值为真，也就是假设其发生的可能性很大，然后抽取一个样本进行观察， 如果样本信息显示出现了与事先假设相反的结果且与原假设差异很大， 则说明原来假定的小概率事件在一次实验中发生了，这是一个违背小概率原理的不合理现象， 因此有理由疑心和拒绝原假设；否则不能拒绝原假设。12128 8你认为在单侧检验中原假设和备择假设的方向应该如何确你认为在单侧检验中原假设和备择假设的方向

23、应该如何确定？定？解： 假设问题有两种情况，一种是所考察的数值越大越好左单侧检验或下限检验 ，临界值和拒绝域均在左侧；另一种是数值越小越好右单侧检验或上限检验 ，临界值和拒绝域均在右侧。二、二、 练习题练习题1 1 ，现在测定了，现在测定了 9 9 炉铁水，其平均含碳量为炉铁水，其平均含碳量为 4.4844.484。如果估计方。如果估计方差没有变化，差没有变化， 可否认为现在生产的铁水平均含碳量为可否认为现在生产的铁水平均含碳量为 4.554.55 =0.05=0.05 ？2 2 一种元件，一种元件，要求其使用寿命不得低于要求其使用寿命不得低于 700700 小时。小时。现从一批这种元现从一批

24、这种元件中随机抽取件中随机抽取 3636 件，测得其平均寿命为件，测得其平均寿命为 680680 小时。已知该元件寿命小时。已知该元件寿命服从正态分布，服从正态分布，=60=60 小时，试在显著性水平小时，试在显著性水平 0.050.05 下确定这批元件下确定这批元件是否合格。是否合格。13133 3 某地区小麦的一般生产水平为亩产某地区小麦的一般生产水平为亩产 250250 公斤，其标准差是公斤，其标准差是 3030 公公斤。现用一种化肥进行试验，从斤。现用一种化肥进行试验，从 2525 个小区抽样，平均产量为个小区抽样，平均产量为 270270 公公斤。这种化肥是否使小麦明显增产斤。这种化

25、肥是否使小麦明显增产 =0.05=0.05？4 4糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是 100100 千克。每天开工千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。后需要检验一次打包机工作是否正常。 某日开工后测得某日开工后测得 9 9 包重量包重量 单单位：千克如下：位：千克如下：已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常。已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常。 =0.05=0.0514145 5 某种大量生产的袋装食品，某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于按规定不得少于 250250 克。克。今从一批该今从一批该食品中任意抽取食品

26、中任意抽取 5050 袋，发现有袋，发现有 6 6 袋低于袋低于 250250 克。假设规定不符合标克。假设规定不符合标准的比例超过准的比例超过 5%5%就不得出厂，问该批食品能否出厂就不得出厂，问该批食品能否出厂 =0.05=0.05？6 6 某厂家在广告中声称，某厂家在广告中声称， 该厂生产的汽车轮胎在正常行驶条件下超该厂生产的汽车轮胎在正常行驶条件下超过目前的平均水平过目前的平均水平 2500025000 公里。对一个由公里。对一个由 1515 个轮胎组成的随机样本个轮胎组成的随机样本做了试验，得到样本均值和标准差分别为做了试验，得到样本均值和标准差分别为 2700027000 公里和公里和 50005000 公里。公里。假定轮胎寿命服从正态分布，假定轮胎寿命服从正态分布，问该厂家的广告是否真实问该厂家的广告是否真实 =0.05=0.05？7 某种电子元件的寿命 x单位：小时服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：1515问是否有理由认为元件的平均寿命显著地大于 225 小时 =0.05=0.05？1616