数学归纳法在高中数学解题中的运用.doc
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1、如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流数学归纳法在高中数学解题中的运用【精品文档】第 8 页数学归纳法在高中数学解题中的运用作者:伍文娟 摘要:数学归纳法是高中数学教学的难点之一,它作为一种常用的证明方法,集归纳、猜想和证明于一体,内容既抽象又具体,蕴含着非常深刻的数学思想,数学归纳法并不是通过对某些生活问题(比如多米诺骨牌或者火车车厢)的研究而发现的规律,再将它运用于数学问题的求解之后形成的一种数学思想方法,而是数学家们通过对一些数学问题求解方法探究,逐步提炼出来的一种特殊的数学思想方法。因此,数学归纳法产生于数学本身,而不是生活中的规律在数学中的应用,数学归纳法在解题中有广泛的应用,它是
2、一种递推的基础,第一步是证明命题n=1;第二步是假设n=k时成立,再证明n=k+1时命题页成立。这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性突破了有限,达到无限。完成了这两步,就可以断定“对任何自然数结论都成立,由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳。 关键词:高中数学 数学归纳法 引言:数学家皮亚诺提出了算术公理系统,用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。归纳公理:由自然数组成的集合为,,若中任意自然数的后继也属于,则包含了全部自然数。本文从第一数学归纳法和第二数学归纳法的原理出发,逐步阐述数学归纳法蕴含的递推数学思想,结合高中数学解题中常出现的与数学归纳法有关的
3、题型,根据分析-假设-论证-结论的思路,总结了数学归纳法在高中数学解题方面的应用。 正文:一、理论基础第一数学归纳法:设P(n)是一个关于正整数的命题,如果P(n)满足: (1)对n=1成立; (2)假设P(k)(k是正整数)成立能推出P(k+1)成立; 那么命题P(n)对一切正整数成立. 证明:设集合M=n|P(n)不成立,假设M不是空集, 则M中必有最小数 m,且m1. P(m-1)成立,据(2), P(m)成立,矛盾!故命题P(n)对一切正整数成立. 第二数学归纳法: 假设是关于自然数的命题,如果满足:(1) 成立;(2)假设对于所有满足的自然数成立,则也成立;那么,命题对一切自然数都成
4、立。证明:设,又设(差集)假设不空,由自然数的最小数原理, 有最小数由条件(1)知,故因此,又由条件(2)知,必有这与矛盾,所以A为空集从而,则命题对一切自然数n都成立。 运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自然数n有关的恒等式、代数不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等,现举例数学归纳法在高中数学中经常出现的题型。二、用数学归纳法证明不等式例1已知数列bn的通项公式为bn2n,求证:对任意的nN*,不等式都成立证明由bn2n,得,所以.下面用数学归纳法证明不等式成立(1) 当n1时,左边,右边,因为,所以不等式成立(2) 即成立(3) 则当nk1时,左边(4) (5) .所以当nk1时,不
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