132函数的极值与导数１.ppt

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1、1.3.2 函数的极值与导数 ?,?th,.,at , 8.3.1规律规律导数的符号有什么变化导数的符号有什么变化地地相应相应特点特点此点附近的图象有什么此点附近的图象有什么是多少呢是多少呢在此点的导数在此点的导数函数函数那么那么距水面的高度最大距水面的高度最大高台跳水运动员高台跳水运动员时时我们发现我们发现观察图观察图thOa83.1图图.,值值的的过过程程形形象象解解释释利利用用导导数数找找极极通通过过动动画画实实验验 0th单调递增单调递增 0th单调递减单调递减 0ah93.1图图 ; 0ah,.93.1,that出可以看如图图象的附近函数放大 ,0;tah th t当时 函数单调递增

2、 ,0.tah th t当时 函数单调递减 ,(,0)(,0).,. 0tatah ttah ttaah th th a这就是说 在附近 函数值先增时后减时这样 当 在 附近从小到大经过 时先正后负 且连续变化 于是有 ?,xfy是否也有同样的性质呢是否也有同样的性质呢对于一般的函数对于一般的函数 ,ta在附近 ?xfy,?xfy?j , i , h,g, f ,e,d,c,b,axfy,113.1103.1有什么规律有什么规律的导数的符号的导数的符号在这些点附近在这些点附近值是多少值是多少在这些点的导数在这些点的导数的函数值有什么关系的函数值有什么关系附近附近等点的函数值与这些点等点的函数值

3、与这些点在在函数函数图图和和如图如图探究探究cd efoghijxy xfy aboxy xfy 103.1图图113.1图图aboxy xfy 103.1图图 .0 xf, 0 xfax;0af ,axafaxxfy,b, a右侧近的左侧附而且在点点的函数值都小附近其他它在点比的函数值点在函数以发现我们可两点为例以 ,0;0,. 0yf xxbf bxbfbxbfxfx类似地 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大而且在点附近的左侧右侧aboxy xfy 103.1图图 ;xfyaf,xfya的的叫做函数叫做函数的极小值点的极小值点叫做函数叫做函数我们把点我们把点极小值极小值 ;xf

4、ybf ,xfyb的的函数函数叫做叫做的极大值点的极大值点叫做函数叫做函数点点极大值极大值.valueextreme.极小值统称极小值统称极大值和极大值和称为称为极小值点、极大值点统极小值点、极大值点统极极值值点点极值极值.,的是函数的局部性质的是函数的局部性质刻画刻画点附近的大小情况点附近的大小情况极值反映了函数在某一极值反映了函数在某一 31144.3f xxx例 求函数的极值 32144,3422 .f xxxfxxxx解因为所以 .2x, 2x, 0 xf或得令:下面分两种情况讨论 ;2x, 2x, 0 xf1时或即当 .2x2, 0 xf2时即当 :xf ,xf ,x的变化情况如下表

5、变化时当 , 222,222,0028433xfxf x 单调递增单调递减单调递增 ;3282f,xf ,2x,并且极大值为值有极大时当因此 2,42.3xf xf 当时有极小值 并且极小值为 .123.14x4x31xf3所示的图象如图函数?极大值一定大于极小值吗?0点吗点吗的点一定是函数的极值的点一定是函数的极值导数值为导数值为思考思考22oxy 4x4x31xf3123.1图图 .,xfy0 xfy,.xxf0 x,xxf,0 xf,0 x,0 x, 00f.x3xf,xxf,.03323而非充分条件而非充分条件件件在这点取极值的必要条在这点取极值的必要条是函数是函数在一点的导数值为在一

6、点的导数值为函数函数一般地一般地极值点极值点不是函数不是函数所以所以是单调递增的是单调递增的即函数即函数恒有恒有还是还是于无论于无论但由但由虽然虽然我们有我们有函数函数对于对于例如例如值点值点的点不一定是函数的极的点不一定是函数的极导数值为导数值为求可导函数的极大求可导函数的极大( (小小) )值的步骤值的步骤: :确定函数的定义域；确定函数的定义域； 求导数求导数 ; ;( )fx 检查检查 , ,方程方程 0 0的根的左的根的左右两侧的符号，确定极值点右两侧的符号，确定极值点.(.(最好通过列最好通过列表法表法) )( )fx ( )fx 求方程求方程( )fx =0=0的根的根, ,这些

7、根也称为这些根也称为可能极值点；可能极值点； 强调强调: :要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点是极大值点还是极小值点就就必须判断必须判断 f (x0)=0 0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.(.(最好列最好列表表) ) 000,:0.0:10,0,;yf xfxfxxfxfxf x一般地 求函数的极值的方法是解方程当时如果在 附近的左侧右侧那么是极大值 .xf, 0 xf, 0 xfx200是极小值是极小值那么那么右侧右侧附近的左侧附近的左侧如果在如果在解解54333( )3552.f xxxx练习：求函数的极值4322(1)( )3693(1)(3)fxxxxxxx，令令0)()

8、2( xf1231,0,3.xxx 得)3(x)1,( ), 3( ( 1,0)1 3)(xf )(xf0 0 0 00极大值极大值极小值极小值0(0,3)0 054333( )3552f xxxxMN图形如下图形如下)3(f极小值极小值(4)( 1),f 极大值例例2.2.（2001文）已知函数文）已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-3ax-3ax2 2+2bx+2bx在点在点x=1处有极小值处有极小值-1，试确定，试确定a、b的值，并求出的值，并求出f(x)f(x)的单调区间。的单调区间。 分析：分析：f(x)f(x)在在x=1x=1处有极小值处有极小值-1-1，意味着，意味着f(1)

9、=-1f(1)=-1且且f(1)=0f(1)=0，故取点可求，故取点可求a a、b b的值，然后根据求的值，然后根据求函数单调区间的方法，求出单调区间函数单调区间的方法，求出单调区间 。略解：单增区间为（单增区间为（-，-1/3）和（）和（1，+）单间区间为（单间区间为（-1/3，1）1132(1)1,(1)0fabf 练习练习: : 已知函数已知函数 在在 处取得极值。处取得极值。(1)讨论讨论 和和 是函数是函数 的极大值还是极小值；的极大值还是极小值； (2)过点过点 作曲线作曲线 的切线，求此切线方程。的切线，求此切线方程。xbxaxxf3)(231x) 1 (f( 1)f )(xf)

10、16, 0(A)(xfy 解：解：323)() 1 (2bxaxxf0) 1() 1 (ff依题意，依题意， . 0323, 0323baba0, 1ba) 1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf则，令0)( xf1, 1xx时，当), 1 () 1,(x0)( xf时，当) 1, 1(x0)( xff(x)在在 上是增函数，上是增函数，) 1,(), 1 (，) 1, 1(f(x)在在 上是减函数。上是减函数。所以，所以， 是极大值；是极大值； 是极小值。是极小值。2) 1(f2) 1 (f（2）曲线方程为）曲线方程为 ，点，点 不在曲线上不在曲线上 .xxy33)16, 0(A

11、设切点为设切点为 ，则点，则点M的坐标满足的坐标满足),(00yxM03003xxy因因) 1(3)(200 xxf)(1(30200 xxxyy故切线的方程为故切线的方程为注意到点注意到点A（0，16）在切线上，有）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030 xxxx830 x20 x即所以，切点为所以，切点为 ，)2, 2(M0169 yx切线方程为切线方程为1、极值的概念与极值的判定方法、极值的概念与极值的判定方法2、可导函数的极值的求法、可导函数的极值的求法.注意点：注意点：1、f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件2、数形结合以及函数与方程思想的应用、数形结合以及函数与方程思想的应用3、要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必是极大值点还是极小值点就必须判断须判断 f (x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.