二次型和标准型.ppt

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1、关于二次型与标准型第一张，PPT共三十页，创作于2022年6月221axbxycycossin,sincos,xxyyxy221mxny引言：在解析几何中，为了便于研究二次曲线引言：在解析几何中，为了便于研究二次曲线把方程化为标准形把方程化为标准形的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 第二张，PPT共三十页，创作于2022年6月上式的左边是一个二次齐次多项式。上式的左边是一个二次齐次多项式。从代数学的观点看，化标准形的过程从代数学的观点看，化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项次齐次多

2、项式，使它只含有平方项这样一个问题，在许多理论问题或这样一个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到。现在我们把实际问题中常会遇到。现在我们把这类问题一般化，讨论这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题个变量的二次齐次多项式的化简问题第三张，PPT共三十页，创作于2022年6月12,nx xx2221211 122 222 212 1213 131,1( ,)222nnn nnf x xxa xa xa xa x xa x xax x定义定义1 含有含有n个变量个变量 称为二次型。称为二次型。 的二次齐次函数的二次齐次函数例如二元及三元二次型（举例）例如二元及三元二次型（举例）第

3、四张，PPT共三十页，创作于2022年6月对于二次型，我们讨论的主要问题是：对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换寻求可逆的线性变换 11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxcycycyxc ycycy 使二次型只含平方项，也就是代入能使之成为使二次型只含平方项，也就是代入能使之成为2221122nnfk yk yk y这种只含平方项的二次型，称为这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形二次型的标准形 (或法式或法式)。第五张，PPT共三十页，创作于2022年6月222211pprfyyyy如果标准形的系数只在如果标准形的系数只在1，-

4、1,0三个三个数中取值，也就是代入数中取值，也就是代入 能使之成为能使之成为则称上式为二次型的规范形则称上式为二次型的规范形。我们利用矩阵来解决这一问题我们利用矩阵来解决这一问题第六张，PPT共三十页，创作于2022年6月一。二次型与可逆线性变换的矩阵表示一。二次型与可逆线性变换的矩阵表示例例1.将下列二次型表示成矩阵乘积的形式：将下列二次型表示成矩阵乘积的形式：2221231231 21 323( ,)2324f x x xxxxx xx xx x解：先写成对称形式解：先写成对称形式第七张，PPT共三十页，创作于2022年6月123211 21 322 122323 1323( ,)2122

5、1232f x x xxx xx xx xxx xx xx xx112321233123(2 )1(2)21(23 )2x xxxx xxxxxxx第八张，PPT共三十页，创作于2022年6月利用内积写成：利用内积写成：12312312312321( ,)221232xxxx x xxxxxxx1123231121( ,) 1221232xx x xxx第九张，PPT共三十页，创作于2022年6月令：令：11211221232A123123( ,)( ,)TTXx x xXx x x则：则：123( ,)Tf x x xX AX第十张，PPT共三十页，创作于2022年6月矩阵矩阵1121122

6、1232A是对称矩阵，它是由二次型的系数来决定的，是对称矩阵，它是由二次型的系数来决定的，我们称该二次型的矩阵，而二次型称该矩阵我们称该二次型的矩阵，而二次型称该矩阵的二次型，他们之间是一一对应的。的二次型，他们之间是一一对应的。矩阵矩阵A的秩称对应二次型的秩的秩称对应二次型的秩，写出了二次型的矩，写出了二次型的矩，就容易将二次型表示成矩阵乘积的形式。，就容易将二次型表示成矩阵乘积的形式。第十一张，PPT共三十页，创作于2022年6月将矩阵与二次型的系数比较，不难发现：将矩阵与二次型的系数比较，不难发现：1）对角元对应相应平方项的系数，）对角元对应相应平方项的系数，2）非对角元对应相应交叉项系

7、数的一半）非对角元对应相应交叉项系数的一半（另一半为其对称元素）（另一半为其对称元素）我们将矩阵与未知数的系数列成下表：我们将矩阵与未知数的系数列成下表：12311221321121223xxxxxx其中表中数字表对应变量乘积之系数其中表中数字表对应变量乘积之系数第十二张，PPT共三十页，创作于2022年6月例例2.写出下列二次型对应的矩阵，写出下列二次型对应的矩阵，并将二次型表示成矩阵乘积的形式：并将二次型表示成矩阵乘积的形式：2221231232221231231 22312341 223341) ( ,)2342) ( ,)3243) ( ,)222f x x xxxxf x x xxx

8、xx xx xf x x x xx xx xx x解解:其矩阵分别为：其矩阵分别为：1234A2110132021A 第十三张，PPT共三十页，创作于2022年6月30100101001010010A对应二次型分别写为：对应二次型分别写为：;(1,2,3)TifX AX i下面将可逆线性变换下面将可逆线性变换11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc y第十四张，PPT共三十页，创作于2022年6月利用将线性方程组表示成矩阵的方法利用将线性方程组表示成矩阵的方法（变量（变量X与线性方程组中的常数项对应）与线性方程组中的常

9、数项对应）可将可逆线性变换用矩阵表示如下：可将可逆线性变换用矩阵表示如下：XCY其中其中C为线性变换对应的矩阵，为线性变换对应的矩阵，X,Y为为变量对应的向量表示变量对应的向量表示用矩阵乘积表示用矩阵乘积表示第十五张，PPT共三十页，创作于2022年6月二。将二次型化成标准型：二。将二次型化成标准型：xC y()()TTTTfx AxCyACyyCAC yTBC AC。定义定义5.7 设设n阶矩阵阶矩阵A，若有可逆矩阵，若有可逆矩阵C使使1.将可逆线性变换：将可逆线性变换：代入二次型：代入二次型：TfX AX得：得：则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B合同合同第十六张，PPT共三十页，创作于202

10、2年6月TBC AC()TTTTTTBC ACC AC C AC BTB C ACTCR(B)=R(A)显然，若显然，若A为对称阵，则为对称阵，则也为对称阵，且也为对称阵，且R(A)=R(B)故故B为对称阵。又因为对称阵。又因也可逆，由矩阵秩的性质即知也可逆，由矩阵秩的性质即知。xCyTCAC由此可知，经可逆线性变换由此可知，经可逆线性变换后，二次型后，二次型f的矩阵由的矩阵由A变成与变成与A合同的矩阵合同的矩阵。且二次型的秩不变且二次型的秩不变。事实上因事实上因C可逆，故可逆，故第十七张，PPT共三十页，创作于2022年6月矩阵等价，相似，合同是矩阵的三大关系矩阵等价，相似，合同是矩阵的三大

11、关系，总结一下，各自的背景，判定条件，之，总结一下，各自的背景，判定条件，之间的关系，应用。间的关系，应用。矩阵合同关系是等价关系，故满足：矩阵合同关系是等价关系，故满足：自反，对称，传递自反，对称，传递2.用用lagrang配方法把二次型化标准型配方法把二次型化标准型xCy，第十八张，PPT共三十页，创作于2022年6月上一节我们讲了用正交变换化二次型为标上一节我们讲了用正交变换化二次型为标准形，这个问题称主轴问题。由于正交变准形，这个问题称主轴问题。由于正交变换有保持图形不变的性质，因此在研究几换有保持图形不变的性质，因此在研究几何图形中被广泛应用但在很多场合下我们何图形中被广泛应用但在很

12、多场合下我们只需要用一般可逆只需要用一般可逆线性变换把二次型化标准形。下面我们线性变换把二次型化标准形。下面我们介绍用介绍用Logrange配方法把二次型化成标准配方法把二次型化成标准形。所用线性变换为可逆线性变换。形。所用线性变换为可逆线性变换。第十九张，PPT共三十页，创作于2022年6月1x1x1x2x2x一、一、Logrange配方法的步骤配方法的步骤起头，首先集中所有含起头，首先集中所有含的项进行配方，剩下部分再不含的项进行配方，剩下部分再不含起头，则再集中所有含起头，则再集中所有含，情形情形1，如果二次型中含有平方项。不妨设以，如果二次型中含有平方项。不妨设以不妨设以不妨设以1x的

13、项的项的项进行配方。以此类推，直至全部的项进行配方。以此类推，直至全部配成平方为止配成平方为止第二十张，PPT共三十页，创作于2022年6月情形情形2，如果二次型中不含有平方项。不妨设含，如果二次型中不含有平方项。不妨设含则变换后即含有平方项，再按情形则变换后即含有平方项，再按情形1进行配方进行配方即可。将以上每次新老变量的线性变换连乘即可。将以上每次新老变量的线性变换连乘，即得新变量组到终变量组间的可逆线性变，即得新变量组到终变量组间的可逆线性变量。量。112212,xyyxyy的项，令的项，令12,x x(2)iixy i注：通过以下例题可看到用注：通过以下例题可看到用Logrange配方

14、法把二次型化成标准形。的步骤与配方法把二次型化成标准形。的步骤与过程，其一般性证明是类似的，留待读者过程，其一般性证明是类似的，留待读者第二十一张，PPT共三十页，创作于2022年6月22211221332346fxx xxx xx21x1x例例5.6.1 用配方法化下列二次型为标准形，用配方法化下列二次型为标准形，设设解解 ，故可先将含，故可先将含的各项集中并进行配平方的各项集中并进行配平方f中含有变量平方项，例如中含有变量平方项，例如第二十二张，PPT共三十页，创作于2022年6月2221121323(24)36fxx xx xxx222221232 32323(2 )4436xxxx x

15、xxxx22212322 33(2 )242x xxxxxx 2212323(2 )2()xxxxx 令可逆线性变换令可逆线性变换第二十三张，PPT共三十页，创作于2022年6月1123223332yxxxyxxyx1123223333xyyyxyyxy2212312(,)f x xxyy11221,2yz yz2212fzz即即使得使得显然如令显然如令上式又可化成规范型上式又可化成规范型第二十四张，PPT共三十页，创作于2022年6月1213233fx xx xx x11221233xyyxyyxy110110001xy例例5.6.2 用配方法把下面二次型化为标准形用配方法把下面二次型化为标

16、准形解：因为解：因为f中不含有变量平方项，所以先做一中不含有变量平方项，所以先做一个简单的可逆线性变换使新二次型出现平方项。个简单的可逆线性变换使新二次型出现平方项。为此设为此设即即第二十五张，PPT共三十页，创作于2022年6月22121 32 31 32 333fyyyyy yyyy y2211322324yy yyy y222132233()4fyyyy yy22213233()(2)3yyyyy代入原二次型得代入原二次型得用例用例5.6.1配方步骤得配方步骤得第二十六张，PPT共三十页，创作于2022年6月113223332zyyzyyzy2221233fzzz11232123333x

17、zzzxzzzxz113111001xz令可逆线性变换令可逆线性变换代入上式，得代入上式，得由上面，式，得可逆线性变换由上面，式，得可逆线性变换即即 第二十七张，PPT共三十页，创作于2022年6月fX AX一般非正交变换的可逆线性变换不再一般非正交变换的可逆线性变换不再保持图形形状不变，但仍保持许多好保持图形形状不变，但仍保持许多好的特性。首先保持秩不变，因此当二的特性。首先保持秩不变，因此当二次型用可逆线性变换化标准形时，其次型用可逆线性变换化标准形时，其非零平方项的个数或独立变量个数）非零平方项的个数或独立变量个数）是不变的。不仅如此，还有如下结论是不变的。不仅如此，还有如下结论定理定理

18、5.9（惯性定理）设秩为（惯性定理）设秩为r的的的实的实二次型二次型，经可逆线性变换化标准形时，正平，经可逆线性变换化标准形时，正平方项的个数方项的个数第二十八张，PPT共三十页，创作于2022年6月请总结一下，请总结一下，用用Logrange配方法把二次型配方法把二次型化成标准形的步骤，并比较用正交变换化成标准形的步骤，并比较用正交变换化标准型各有什么特征，及不同。化标准型各有什么特征，及不同。我们学过矩阵的初等变换，能否通过我们学过矩阵的初等变换，能否通过矩阵的初等变换将对称矩阵化成矩阵的初等变换将对称矩阵化成标准型呢？（请参考有关线性代数书籍）标准型呢？（请参考有关线性代数书籍）p（称正惯性指数）不变，因而负（称正惯性指数）不变，因而负平方项的个数平方项的个数q（称负惯性指数）不（称负惯性指数）不变，变，p-q称符号差，当然也是不变的。称符号差，当然也是不变的。证略。证略。第二十九张，PPT共三十页，创作于2022年6月感谢大家观看第三十张，PPT共三十页，创作于2022年6月