数学大师启示录_帕斯卡和费马.doc

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1、 这是惊人的，起源于赌博的概率理论，竟会成为人类知识的最重要的对象。 拉普拉斯 我找到了许许多多极其优美的定理。 费马出类拔萃 在法国中南部僻静的克莱蒙费朗城，有一座雅致的白色楼房，四周大树环抱，前面绿草如茵。1623年6月19日，一个婴儿呱呱地哭叫着在这里诞生。他就是法国杰出的数学家、物理学家、哲学家和文学家布莱斯帕斯卡。 布莱斯的父亲埃利纳帕斯卡是地方救护会会长，学识渊博，乐善好施，在当地很有名望。母亲安东尼达白戈妮是位心地善良、容貌美丽的妇女。可惜红颜薄命，在一次突发的急病中，她撇下年仅4岁的布莱斯和他的姐妹吉尔帕蒂和杰克琳，猝然去世。 1630年，帕斯卡一家由克莱蒙费朗迁到巴黎。这时候

2、布莱斯刚7岁。孩子早熟，普通学校里的课程他学起来毫不费力。可是，他体弱多病。父亲为了避免孩子用脑过度，亲自指导他学习，只教他古典语言，不让他接触数学。谁知“弄巧成拙”，埃利纳对数学讳莫如深的态度，反而激起孩子强烈的好奇心。他常常询问父亲有关数学的问题，埃利纳总是避而不答。布莱斯12岁了。有一回他又缠着父亲，提出他的老问题：“爸爸，几何是什么?您给讲讲吧!”经不住孩子不断的请求，埃利纳终于给他做了一个简明而生动的介绍。这不啻在干柴上点了一把火。长期被压抑的热情一下子迸发出来。几何学的大门虽然刚露出一道细缝，里面透出来的诱人光芒已经使布莱斯头晕目眩，如醉如痴。他按捺不住心头的激动，决心用自己的智慧

3、和毅力去敲开这扇庄严的大门。 布莱斯帕斯卡钻研几何的事迹，在数学史上传为美谈。一开始，没有任何书本暗示，他证明出一个重要的几何定理：三角形三内角之和等于两直角。这一了不起的成就使他大受鼓舞。父亲更是高兴得热泪盈眶。这件事似乎还不够神奇。据姐姐吉尔帕蒂说，布莱斯在看到欧几里得几何原本以前，就独立发现了这本书的前32个定理，甚至连顺序也完全相同。“三角形三内角之和等于两直角”，恰好是几何原本的第32个定理。一般认为，布莱斯无疑是独立地发现和证明了几何原本的一部分定理，但是吉尔帕蒂的说法可能言过其实，因为这几乎是不可思议的事。 两年以后，14岁的布莱斯就跟随父亲到明尼兹修道院，参加梅森神甫主持的每周

4、讨论会。会员都是著名的学者：费马、德札尔格、罗贝瓦尔、笛卡儿从荷兰和他们保持经常的通信。这个小团体后来发展为自由学院，到1699年演变为法国科学院。神秘六边形 正当小帕斯卡在几何上披荆斩棘，迅速向新高峰攀登的时候，老帕斯卡在事业上意外地遇到麻烦。由于极端的诚实和正直，在一项征税问题上，他同红衣主教黎塞留发生了争执。读者一定记得，慷慨许诺过笛卡儿可以自由发表自己著作的就是这位主教。不过，这一次他似乎没有那么宽容。埃利纳只得带着全家到乡下躲起来。事情后来是怎样了结的，说法不一。据说是美丽的杰克琳拯救了她父亲和家庭。有一次主教去看演出，一位年轻女演员的精彩表演使他大为倾倒。唤到面前来一问，原来她是埃

5、利纳的小女儿。主教二话未说，痛快地把旧账一笔勾销，还把埃利纳安排到法国北部城市鲁昂的税务局工作。 课税员的工作相当辛苦。埃利纳常常抱着账本一直计算到深夜。小帕斯卡在旁边默默地观察着父亲的工作，他又一次表现出超乎寻常的才能。他发现一切加减运算都可以用机械来完成。经过一段时间的摸索和改进，他终于创造出世界上第一台可以实际使用的计算机。这是一台手摇操作的齿轮系统。每个齿轮有10个齿。顺时针方向旋转是加，逆时针方向旋转是减。齿轮每转过10个齿，带动旁边的高阶位的齿轮转一个齿，数字就进了一位。这样，一个年刚18岁的孩子成了数字计算机的发明者。 在这以前，小帕斯卡废寝忘食的研究还取得一项重要进展。他发现了

6、几何学中一个非常优美的定理帕斯卡定理。好在它的一个特殊情形只用直尺就可以说明，我们在这里把这个定理介绍一下。 设有l和l两条不平行的直线。在它们上面各任意取三点A、B、C和A、B、C。分别把A和B、A和B、B和C、B和C、C和A、C和A连接起来，就得到三对直线；AB和AB，BC和BC，CA和CA。如果每对直线都有一个交点，设它们分别为D、E、F。帕斯卡证明了：D、E、F三点必定在同一条直线上。进而他把这三对直线换成圆内接六边形的三对对边，帕斯卡又证明：如果这些对边的延长线分别相交，那么，它们的交点也在同一条直线上。他把这种六边形称为“神秘六边形”。 帕斯卡并不就此满足。他利用德札尔格所发明的投

7、射法把这个定理进一步推广。设想一只灯泡被一张开了一个小孔的纸遮住，于是通过小孔射出一束圆锥状的光线。如果取一张纸伸到这束光线中去，那么根据纸片角度的变化，在纸上可以看到光束的边界呈现不同的图形：圆、椭圆、抛物线和双曲线。这些都是圆锥曲线。帕斯卡发现，上述定理中圆内接六边形的这种性质，如果把圆换成其他的圆锥曲线，例如椭圆，同样是正确的。这在直观上并不难接受。从下图可以看出，如果在光束和纸片之间插进一块玻璃，在玻璃上画一个“神秘六边形”，当光束穿过玻璃投射到纸面上的时候，出现的就是“神秘六边形”的影子。这影子也是一个“神秘六边形”，因为它的三对对边的交点也在一条直线上。 帕斯卡发现这个有趣的定理那

8、年才16岁。根据德札尔格建议，聪明的帕斯卡环绕这个定理写了两篇论文，把有关圆锥曲线的不下400条定理其中包括阿波罗尼奥斯和其他前人的成果用投射法作了系统总结，把它们归纳成少数几条基本定理。论文所涉及的是和过去希腊几何完全不同的全新领域射影几何。这里研究的图形，它的线段长短和角度大小，在射影对应下可以不同，但是在射影对应中图形的某些性质仍旧保持不变。例如，把圆换成其他的圆锥曲线，它的内接六边形三对对边的交点共线的性质是始终保持的。可惜这两篇珍贵的文稿从来没有发表，并且旋即失传；其中的一篇只有薄薄8页，题为圆锥截线论，于1779年重新找到。德国数学家莱布尼兹曾经看到过它的手抄本，还对帕斯卡的外甥谈

9、起过里面的内容。笛卡儿在1640年读过这两篇论文，可是他不相信，这样出色的论文竟会出自一个16岁孩子之手!双重折磨 年轻的帕斯卡为这一连串令人惊羡的成就付出沉重的代价。通宵达旦的工作使他的健康遭到极大损害。从17岁起，他的生活几乎每天都在难忍的病痛中度过。严重消化不良引起钻心的胃痛，把他折磨得汗如雨下。长期的失眠，使漫漫长夜成为可怕的恶魔。更糟糕的事情还在后面：宗教狂热开始感染帕斯卡的家庭。这并不奇怪。当人类智慧的阳光还不能透过层层迷雾把世界真面目揭开的时候，宗教就有它存在的空间。当生活的道路崎岖坎坷，而人们还无法掌握自己命运的时候，迷信就会乘虚而入。在当时名目繁多的教派中有一个叫詹森派。它由

10、荷兰神学家科尔内留斯詹森所创。詹森派既不属于天主教，也不是新教。它偏激狂热，蔑视意志自由，鼓吹神力不可反抗。信徒们为表示忠诚，要通过各种方式虐待和折磨自己。十分不幸，好端端的帕斯卡竟迷上了这乖怪离奇的教派。原因虽然是多方面的，但是他体弱多病无疑起了重要作用。限于当时的医学水平，医生们开出的种种处方解除不了帕斯卡的病痛，他只好求助于神。宗教成了他摆脱疾病无情折磨的救命稻草。从23岁起。帕斯卡从数学研究的高峰一步步陷入詹森派的泥潭而不能自拔。这位数学史上罕见的天才，在他短促的生命历程中，从此遭受着病魔和宗教狂的双重折磨。 但是天才的火花并没有熄灭。他还要为物理学作出贡献。他对重力和密闭液体压强的传

11、递等进行一系列重要试验，发现著名的关于液压传递的帕斯卡定律。意大利物理学家托里拆利做了一个著名实验，测定一个标准大气压的水银柱高度为760毫米。帕斯卡进一步把它引申。他建议姐夫彼埃尔带着气压计到家乡附近多姆山上去测量大气压强。他认为，由于高度升高，气压减小，水银柱的高度应该随着下降。后来帕斯卡和妹妹杰克琳在返回巴黎的时候也做了同样的实验。 这时候父亲已经退休。不久帕斯卡和杰克琳来巴黎和他住在一起。有一次浪迹四方的笛卡儿来帕斯卡家访问。笛卡儿当时是誉满全球的大学者；帕斯卡比他年轻近30岁，但是在科学界也已经头角崭露，蜚声遐迩。他们两人从数学、物理、文学，一直讨论到哲学。临别的时候笛卡儿还真挚地给

12、这位年轻朋友提出不少忠告。他劝帕斯卡学他的样子，每天躺到上午11点钟起床；对于时时给帕斯卡带来烦恼的胃，笛卡儿建议他只喝肉汤，不要吃别的食物。可惜这些健身之道听起来近乎怪诞，帕斯卡没有重视。 在巴黎住的时间不长，全家又回到克莱蒙费朗。家乡清幽的气氛比豪华的巴黎更加吸引人。在家乡，帕斯卡开始创作思绪录。这是法国文学史上一部自我暴露和自我剖析的不可多得的杰作。从中我们可以清楚地看到帕斯卡矛盾的性格：他热爱大自然，热爱生活，可是他却不自然地压制着这些正当的欲望。为了做到这一点，他只能到怪诞的詹森教派的教义中去寻求支持。怪不得心理学家说，乖谬的教义和反常的生理现象是一对难舍难分的孪生兄弟。 在克莱蒙费

13、朗住了两年，全家又来到巴黎。第二年父亲不幸病逝。杰克琳在帕斯卡支持下进了波特罗耶尔的修道院。不久，她作为女修道院的圣职志愿人，不断来动员她哥哥也去波特罗耶尔，搅得帕斯卡心绪不宁，思想斗争异常激烈。1654年11月23日，他独自乘了一辆四驾马车，在巴黎附近的乡间道路上狂奔。在通过纽莱河上一座桥的时候，领头的一匹马突然越过栏杆，跃入河中。幸亏挽绳一下子被绷断，马车仍旧停留在马路上。这一事件引起帕斯卡的强烈震动。他认为能逃脱这场横祸，无疑是神的意志警告他赶紧在世俗生活上悬崖勒马。他决定皈依詹森教派，并且在贴胸处挂起用羊皮纸做的护身符，以使自己克服淫邪的诱惑，以及时刻记住上帝把他从地狱之门拯救出来的“

14、伟大恩典”。从此他永远摆脱世俗，虔诚地来到波特罗耶尔，过起清心寡欲的修道者生活。值得庆幸的是，在这以前，他对数学所作的最重要的贡献已经完成。他和费马一起创立了概率论的数学理论。这一成就使他在数学史上享有不朽的地位。皮埃尔费马 和帕斯卡一起创立概率论的费马是帕斯卡家的老朋友，两人有极亲密的友谊，常年保持着书信往来。 费马的一生很平静，没有什么戏剧性的插曲。父亲杜美尼克是位皮革商人，还是法国西南部小城蒙托邦附近小镇皮厄蒙的行政长官。母亲克拉拉德朗出身于议会律师的家庭。皮埃尔费马于1601年8月17日诞生于皮厄蒙。他从小在家里接受教育。后来为了担任公职的需要，来到法国南部城市图卢兹继续他的学业。他一

15、生安分守己，不爱出头露面。由于缺少一位像帕斯卡的姐姐吉尔帕蒂那样的人来给后代讲述他童年的奇迹，因此除了作为学生，没有别的记载流传下来。当然，从他获得的成就来判断，他在少年时代一定是聪明绝顶并且具有惊人的直觉能力。他在数学特别是数论中出神人化的工作，不能从他的学校教育里去找原因。因为在费马当学生的时候，他最伟大的工作所属的那些领域的大门还是完全紧闭着的。 1631年5月14日，费马任图卢兹地区咨询委员。同年6月1日，他和母亲的小表妹路易丝德朗小姐结婚。婚后生有一男二女。儿子后来成为科学遗嘱的执行人。两个女儿先后进了修道院。1648年，他晋升为图卢兹地方议会的王室律师。1665年1月12日在图卢兹

16、附近的小镇卡德雷斯逝世，享年64岁。 这位诚实正直、一团和气的学者，在数学史上有一则美丽动人的故事，就是他在从事律师工作之余所进行的数学研究。 作为纯粹数学家，牛顿在发明微积分的时候达到了顶峰。这项伟大创造也独立地为莱布尼兹所完成。但是，这样说并不夸张：早在牛顿出世前整整13年，在莱布尼兹呱呱坠地前17年，费马已经形成和应用了微积分的主要概念和方法。他在1637年的手稿求最大值和最小值的方法给出求函数最大最小值和求曲线的切线的方法，也就是微分学的方法。由于他和帕斯卡都求得过前几个自然数m次幂的和，他也就解决了幂函数积分问题。他还把幂指数推广到分数和负数的情况，这就能计算双曲线围成的面积。这说明

17、他掌握了积分的方法。可惜费马在微积分和坐标几何方面的著述都是在他去世以后才由他儿子整理发表的，这不能不削弱他在当时本可以发挥的巨大影响。 费马和笛卡儿各自独立地发明了坐标几何。尽管他们交换意见，他们研究坐标几何的目的和方法却显著不同。笛卡儿批评希腊的传统，主张同它决裂。费马着眼于继承希腊人的思想。认为自己的工作只是用代数形式来表达希腊几何学家阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的研究。真正认识到代数威力的是笛卡儿，可是他开始只着重于几何作图问题；费马则强调轨迹的方程，现在看来这无疑更为恰当。在对曲线进行分类的时候，费马纠正笛卡儿的一个错误。他指出：对曲线分类应该根据方程的次数而不是其他，如一次方程表示直线

18、，二次方程代表圆锥曲线。笛卡儿和费马在学术上的分歧导致双方长期的激烈争论。在争论中，笛卡儿常常意气用事，语言尖刻，甚至讽刺费马是“我们的极大和极小大臣”。可是我们这位大律师始终心平气和，保持着应有的礼貌。后来他俩的关系有所缓和。费马在1660年写了一篇文章，在指出笛卡儿的几何学中的一处错误的同时，诚恳地说，他是这样佩服笛卡儿的天才，即使他有错误，他的工作甚至比别人没有错误的工作更有价值。可惜已经去世的笛卡儿不像费马这样宽宏大量。 费马最伟大的工作是数论，或者用高斯朴实无华的名称：算术。 在今天小学的教科书中，“算术”的内容在希腊时代被分成不同的两部分：算法和算术。前者一般是有关贸易和日常生活中

19、应用的计算；后者就是费马和高斯意义上的算术，它研究数的性质。费马认为算术被人们忽视了。他抱怨说，几乎没有什么人提出或者懂得算术问题。他相信，算术有它自己的特殊园地：整数论。他的辛勤劳动为算术奠定基础，并且决定了算术在高斯以前100多年的发展方向。 人们关于貌似简单的正整数研究虽然已有很长的历史，但是对它们的认识还很不够。一些长期未解决的问题往往乍看不难，实际上却极难解决。为了证明一个有关正整数的命题，数学家往往不得不先发掘代数和分析中许多微妙而深奥的定理，甚至建立全新的数学概念和普遍有效的数学方法。结果新兴的庞大的分支和如林的数学定理掩盖了它们发端的原始问题。这些导源于“朴素的”算术问题的新数

20、学常常同物理世界有密切的联系，并且可以应用在数学的其他领域，特别是计算数学。说到数论对数学乃至科学技术，从而对整个人类社会巨大的积极作用，我们不能不提到数论研究的先驱费马。 要了解费马，最好从所谓“费马数”说起。请看下面的数列： 3，5，17，257，65537，它们又可以表示为：3=21+1，5=22+1，17=24+1，257=28+1，65537=216+1， 这些数除了1和它本身以外，没有别的整数可以整除它，所以是素数。于是费马就猜测：所有形如的数，后人称为费马数，都是素数。不过，费马坦率地承认，自己不能证明这个命题。事实上，他后来也对这个命题的正确性发生了怀疑。在费马去世67年以后，

21、欧拉证明了n=5时=232+1=4294967297=6416700417不是素数。 几乎整整过了200年，1796年3月30日，一位18岁的德国青年卡尔弗雷德里希高斯解决了一个同初等几何有关的问题：用圆规直尺作出一个正十七边形。这是2000多年来许多数学家竭力追求的目标。他同时还证明了：当多边形的边数或者是费马素数，或者是不同的费马素数的乘积，用圆规直尺作边数为奇数的正多边形才是可能的。这就是说，可以用尺规作出正三角形、正五边形、正十七边形、正二百五十七边形、，或正35=15边形、正317=51边形，但是不能作出正七边形、正九边形等。这个成就使高斯异常振奋，以致放弃了他同样喜爱的语言学，选择

22、数学作为自己献身的事业。 所谓“费马小定理”，是费马在数论中另一种类型的发现，它是1640年10月18日费马给好朋友倍西的信中传出去的。这个定理说，如果n是任意整数，P是素数，那么np一n就可以被P整除。举例来说，取P=3，n=5，535等于120，可以被3整除。 数论上有的定理被认为是“重要的”，而有的定理好不容易才证明出来，却被认为是“无关紧要”的。这是为什么?要说明其中的道理并不容易。首先一个标准，当然不是绝对的，是它可以应用于数学的其他分支；其次是它对数论或别的数学研究有启发作用；第三，它本身在某些方面具有普遍性。费马小定理适合所有这些要求；它对许多数学分支，包括群论在内，是一个不可缺

23、少的结论。它启发了许多重要的数学研究，甚至是某些研究的直接起因。由于它是对任意的整数和素数来说的，所以有很大的普遍性。显然，这样普遍的定理，要发现它是极不容易，也是非常罕见的。 缺少研究整数经验的人，对等式27=25+2可能没有什么感受，但是稍有经验的人就会想到，27=3 3，25=52。因此，方程 y3=x2+2有一个整数解：x=5，y=3。假如读者想检验一下自己是不是有出众的智力，不妨试试能不能证明：x=5，y=3，是这个方程惟一的整数解。专家们认为，要解决这个看起来似乎是儿戏般的问题，在智力上的要求比领悟相对论还要高! 方程y3=x2+2是一个不定方程，因为未知数有两个，而方程只有一个。

24、如果不限制方程的解必须为整数，解这类方程没有任何困难。任意给出x一个值，y就是x2+2的立方根，所以方程的解有无限多个。丢番图首先提出求这种不定方程的整数解或有理数解。于是问题就不同于以前而变得非常困难了。费马说他证明了上述方程只有惟一的整数解，可是没有公布他的证明。他去世后不久，人们找到了他的证明。科学史研究证实，在1994年以前除了惟一的一个例外，凡是被费马肯定过的命题，都被正确地证明了。那仅有的例外就是赫赫有名的“费马大定理”。 标志着希腊代数最高峰的丢番图的算术，在1621年有了它的拉丁文译本。费马在工作之余读的就是这个版本。他有个习惯，在看书的时候把思考的结论简要地旁注在书的空白处。

25、这些空白当然不适宜于写出证明的全过程。后来，他的儿子在1670年出版了著名的页端笔记。在算术第二册上第8个问题，也就是由毕达哥拉斯定理引出的求方程 x2+y2=z2的有理数解的旁边，人们看到费马用拉丁文写了如下的一段注解： “相反，不可能把一个立方数分为两个立方数的和，一个数的四次幂不能分为两个四次幂的和；一般说来，高于二次的任何次幂，不能分为两个同次幂的和。我想出了这个论断的一个真正奇妙的证明，只是这里的空白太狭小，不容我把它写下来。” 这就是费马大约在1637年左右发现的、引起历史上大大小小的数学家注目的费马大定理。用数学记号表示就是：正整数n大于2时，方程 xn+yn=zn没有正整数解，

26、当然也就没有有理数解。 人们没有见到费马那个绝妙的证明，只是见到他对n=4时证明的大意。后来欧拉作出了n=3和n=4的证明；以后只要对素数n来证明了。1823年勒让德证明了n=5的情形；1849年库默尔引入全新的理想数概念，证明当n=37、n=59、n=67时费马大定理成立。根据他的理论，n100时费马大定理成立。到20世纪80年代，利用电子计算机证明n125 000时结论成立。当然n取上述所有整数的整数倍也都成立。但是这无限多的情形，还不是大于2的一切整数。300多年来不计其数的优秀数学家，付出了艰巨的劳动，还是没有找到问题的答案。20世纪有“神童”之称、创立“控制论”的卓越数学家维纳，在试

27、图证明费马大定理的时候感叹：“每次我所假设的论证都像愚人金一样，很快就令人失望了”。鼎鼎大名的数学家勒贝格曾经发表过对费马大定理的证明。起初许多人以为这个大难题果真被这位分析大师解决了。但是后来有人指出他的证明中有错误。这真有点令人扫兴。勒贝格盯着自己有错的证明喃喃地说道：“我想我可以消除这个错误。”可惜他最终并没有成功。无数大数学家花了大量心血也都没有找到正确的证明。这使不少数学家怀疑费马发现的绝妙证明是不是搞错了。包括高斯在内，不少数学家都认为一定是费马搞错了。 但是，也有许多人认为，我们不能像寓言中的狐狸那样，因为自己吃不着葡萄，就说葡萄是酸的。作为一位“业余的”数学家，费马只满足于自己

28、享受研究的乐趣，并不介意把自己的思想完整地写出来公开发表。他大多数研究成果是通过和友人通信而闻名于世的。他只写过为数不多的几篇论著，有的还是在他去世以后由后人整理发表的。因此，根据他一贯的为人和非凡的才能，我们没有理由怀疑他曾经得到过一个绝妙的证明。 这桩历史悬案的真相究竟如何，读者可以作出自己的判断。但是，令人高兴的是：英国数学家安德鲁维尔斯经过九年顽强拼搏，终于在1994年证明了费马大定理。他证明费马大定理的论文模曲线和费马大定理于1994年10月14日送交普林斯顿的数学年刊。一周前，他和他的学生泰勒的合作论文海克代数的环论性质已经寄去审查，这是证明上述定理不可缺少的工具。1995年5月数

29、学年刊一同发表了这两篇论文，从而宣布困扰数学界350多年的费马大定理已被一举攻克。维尔斯的证明运用了20世纪代数几何与代数数论一系列研究成果，显示了现代数学整体的巨大力量。涓涓细流 谁会想到一泻千里的大江发端于高山上的涓涓细流?帕斯卡和费马也没有料到，赌徒之间毫不引人注目的争论，居然会发展出一种非常有用的数学理论。这种理论已经几乎深入到人类生活的各个方面；它在近代物理学上的应用，迫使人们重新考虑对物理世界的认识。 概率论最早是由贵族们在赌博中发生的问题引起的。有一天，性喜赌博的德梅雷爵士向帕斯卡请教几个在赌博中经常遇到的问题。比如说，同时掷两颗骰子出现两个都是6点的机会是不是超过124？ 数学

30、家以前没有处理过这类问题。这类现象从个别来看是无规则的。同时掷两颗骰子，谁能预料它们出现的点数呢?这种不确定性给研究带来困难。不过这些不规则现象在数学上称为“随机现象”通过大量实验和观察，就其整体来看，却有一种严格的非偶然的规律性。一颗骰子掷下去，出现的点数固然无法事先确定。但是如果投掷次数大量增加，那么出现某一个点数比如说3点的机会就非常接近于16。同样，一个充满气体的密闭容器，虽然容器内每一个气体分子的速度和方向是杂乱的，因而就个别分子来说，它对器壁所产生的压力是不确定的，它忽儿撞在这里，忽儿撞在那里；忽儿撞得重，忽儿撞得轻；但是这些气体分子的总体对器壁的压力却有其规律性：它们总的压力基本

31、上是一个确定的值。概率论就是从数量上来研究这种规律性。 帕斯卡巧妙地解决了梅雷爵士的问题，并且在1654年7月29日致费马的信中谈到它们的解答。从此，他和费马就这一类问题开始一系列通信，为概率论的数学理论奠定了基础。 概率论的应用决不仅仅是限于在赌博上。正如荷兰科学家惠更斯(16291695)在关于骰子游戏或赌博的计算一书中指出： “在任何场合， 我认为， 如果读者仔细考察一下研究对象就会发现，你所处理的不仅是赌博。这里实际上包含着很有趣很深刻的理论基础。” 的确是这样。概率论深入到各个领域，连日常生活中最简单的问题，比如称一个物体的重量，也离不开它。虽然物体的重量是确定的客观存在，可是它真实

32、的数值你却称不出来。我们到商店去买500克糖，实际得到的并不是真正的500克，而只是它的近似值。即使用最精密的天平也无法称出丝毫不差的500克。当我们用某一种仪器对它进行多次测量的时候，任意两次的测量结果往往是不相同的。但是根据概率统计的理论，由各次测量结果可以推算，真实的重量落在某一个数值范围内的可能性有多大。在量子物理学中，同样离不开概率理论，我们说不出某个电子在原子中的确切位置， 但是可以计算这个电子出现在某一区域里的机会有多少。随着科学技术的发展，概率论在保险、统计、误差理论、生物学、天文学、近代物理学以至整个工农业生产中得到日益广泛的应用，成为数学几个最主要的分支之一。智者千虑必有一

33、失 “智者千虑必有一失”，就连最聪明的人也有糊涂的时候。帕斯卡创立概率的数学理论，可是却把它应用于完全错误的方面。 一个人在采取某个行动以前，通常要权衡一下利弊，想想它是不是值得。从数学上说，就是要估计一下“期望”成果和代价的差额乘以成功的可能性。帕斯卡在他的名著思绪录里，利用这个数学理论来为自己选择的生活道路辩解。他说，通过当修道士来争取得到永生的可能性固然极小，但是可能赢得的成果永恒的幸福的价值却有无限大。无限大乘上一个很小的数(即成功的可能性)仍是无限大。于是帕斯卡得出结论：这才是一个人真正值得遵循的道路!可悲的是，这位伟大的数学家不知道，企图通过刻苦修行来求得永生，不是机会大小的问题，

34、而是根本不可能。对不可能事件计算“期望”，它的结果当然只能是零。 这不能不说是个极大的讽刺。帕斯卡孜孜以求的，以为是具有“无限大期望”的事业，竟是一场完全虚幻的梦境；而使他在历史上享有无上荣光的数学，他却感到“是那么无用”，甚至“不愿为它多走两步”!至少帕斯卡在去世以前的那些日子采取了这种不幸的态度。1660年8月10日，这时距离他去世已经不到两年，他在致费马的信中这样写道： “顺便谈到数学，我觉得它是对思维的最高锻炼；但同时我又觉得它是那么无用，以致使我感到一个单纯的数学家同一个普通工匠的差别极小。我承认它是世界上最可爱的职业，然而仅仅是一种职业；我也常说，想学数学是件好事，但为此费力则不然

35、。所以我不愿为数学多走两步。我想你也会有同感。” 当数学囿于贵族的沙龙之中，离开社会，离开生产实践，只是那些不必为生活奔波操心的有闲阶层酒后饭余的话题，就可能产生“有趣但是无用”的错误想法。这是帕斯卡的悲剧所在，也是数学史上的一大憾事。要是帕斯卡的健康足够好，而他的思想又不误入歧途，那么，这位才华出众的学者一定能为数学作出更伟大的贡献。走向终点 怀着无限的期望，帕斯卡来到波特罗耶尔修心养性。可是，上帝并没有对他表现出怜悯之心。失眠和牙疼死缠着他不放。当时，谁牙疼就只好去找理发师兼职的牙科医生。那里没有麻药和其他器械，只有一把吓人的钳子。疼痛使帕斯卡辗转反侧，不能入眠。上帝眼睁睁看着自己的信徒遭

36、受可怕的折磨而爱莫能助。帕斯卡只好向数学求救：他躺在床上，咬紧牙关，强制自己全神贯注地思索各种数学问题。没想到疼痛竞不知不觉地消失了。他不知道这是注意力转移的结果。他认为这是神的显灵，告诉他在这种情况下研究数学不是罪过。于是他放心地研究下去。很快，作为向法国和英国数学家的挑战，一篇论摆线的重要论文，以阿莫斯迪戈伐里的笔名发表了。接着他又研究了一种点的轨迹，称为帕斯卡蚶线，来纪念他已故的父亲。 为了回答异教徒对詹森派主要人物阿诺尔德的攻击，帕斯卡撰写了著名的外省信札，共含书信18篇。他的文学才能和宗教热诚再一次得到充分表现。外省信札被推崇为法国散文的经典名著和神学辩论中的非凡杰作。 1658年，帕斯卡病情恶化。他无时无刻不在难忍的痛苦中煎熬。现实生活的苦楚更激发他追求“在天国中永生”的热诚。1662年6月，他把房子送给一家患天花的穷人，自已住到姐姐吉尔帕蒂家中。过了两个月，年仅39岁的帕斯卡在一阵惊厥以后再也没有复苏过来。逝世以后的检查发现，他的胃和其他重要器官都有致命的疾病，大脑也有严重损伤，但是尽管这样，他在数学上作出了伟大的贡献，在文学上蜚声遐迩。帕斯卡和他的同时代人笛卡儿、费马一样，成为法兰西民族的骄傲，受到进步人类深深的怀念和尊敬。