112余弦定理课件.ppt

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1、千岛湖 3.4km3.4km6km6km120120）情景问题岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C? ?千岛湖 千岛湖 情景问题3.4km3.4km6km6km120120）岛屿岛屿B岛屿岛屿A岛屿岛屿C? ?3.4km6km120120A AB BC C 在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km，B=120B=120o o，求，求 ACAC用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出 ACAC？）余弦定理实际问题数学化 800ABc58分析转化分析转化:c=?一般化一般化:222bacABCcba 已知三角形两边分别为已知三角形两边分别为a a和和

2、b b, ,这两边的夹角为这两边的夹角为C C，角，角C C满足满足什么什么条件条件时较易求出第三边时较易求出第三边c c？勾股定理勾股定理你能用你能用向量向量证明勾股定理吗？证明勾股定理吗？,222CBACAB即证即证CBACAB特殊化特殊化2222CBCBACACAB22cos|2CBCCBACAC22CBAC 222bac即：CBAbcaCBACAB22)(CBACAB222CBCBACAC22)180cos(2CBCCBACAC22cos2bCabaCabbaccos2222A2bccba222cos 类似可证：类似可证：B2accab222cos A2bccba222cos B2ac

3、cab222cos C2abbac222cos 想一想：想一想： 余弦定理能够解决什么问题？余弦定理能够解决什么问题？ a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC方程思想：方程思想：四个量，知三求一四个量，知三求一1、 已知两边和它们的夹角求另已知两边和它们的夹角求另一边（直接用）一边（直接用）2、已知三边求角（变形）、已知三边求角（变形）变形变形b2+c2 - a22bc cosA=c2+a2 - b22ca cosB=a2+b2 - c22ab cosC=CBAabc3.4km3.4km6km6km120120）A AB BC C

4、在在ABCABC中，已知中，已知AB=6kmAB=6km，BC=3.4kmBC=3.4km， B=120B=120o o，求，求 ACAC解决实际问题解决实际问题解：由余弦定理得解：由余弦定理得答：岛屿答：岛屿A A与岛屿与岛屿C C的距离为的距离为8.24 km.8.24 km.BBCABBCABACcos2222o120cos4 . 3624 . 362224. 8AC96.67练习：在练习：在ABC：(1)已知已知c=8,b=3,A=60，求，求a;(2)已知已知a=20,b=29,c=21,求求B；,cos21222Abccba）由解：（4960cos38238222a得. 7a,2c

5、os)2(222cabacB由90B. 021202292120cos222B得的形状判定三角形中，已知例ABCcbaABC, 3, 5, 7.bc2acbAcos222 222cba 90A0 222cba 90A 222cba 180A90 答案：ABC是一个钝角三角形。 解斜三角形的常见类型及解法解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的在三角形的6 6个元素中要已知三个（除三角个元素中要已知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法如表所示外）才能求解，常见类型及其解法如表所示. . 已知条件已知条件应用定理应用定理 一般解法一般解法一边和两角一边和两角( (如如a a, ,B B, ,C

6、 C) )由由A+B+CA+B+C=180=180, ,求角求角A A；由正弦；由正弦定理求出定理求出b b与与c.c.正弦正弦定理定理两边和夹角两边和夹角( (如如a a, ,b b, ,C C) )三边三边 ( (a a, ,b b, ,c c) ) 两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角（如（如a a, ,b b, ,A A) ) 余弦余弦定理定理正弦正弦定理定理由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c c; ;由由正弦定理求出小边所对的正弦定理求出小边所对的角；再由角；再由A A+ +B B+ +C C=180=180求求出另一角出另一角. .余弦余弦定理定理 由余弦定理求出角由余弦定

7、理求出角A A、B B；再；再利用利用A A+ +B B+ +C C=180=180, ,求出角求出角C C. .正弦正弦定理定理余弦余弦定理定理 由正弦定理求出角由正弦定理求出角B B；由；由A A+ +B B+ +C C=180=180，求出角，求出角C C；再；再利用正弦定理或余弦定理求利用正弦定理或余弦定理求c c. .的值。求中，在CabBcaAbccbaABCcoscoscos, 6, 4, 3. 1abcbaabacbcaacbcacbbc222222222222解：原式2222cba261。求且满足BacacbABCcos,2,. 22acb 2解：acbcaB2cos2222

8、22aaa2222424aaaa434322aa的度数。求此三角形的最大内角的三边满足若,3. 3222abcbaABC,3222abcba解：由已知得：abcbaC2cos222150C此三角形最大的内角为,2323abab.cos, 4:2:3sin:sin:sin. 4CCBAABC求中，若在, 4:2:3:cba解：根据正弦定理，知, 0,4,2,3kkckbka设.412321649cos222kkkkkC则。求中，若在ABCbcbaABC,sin32sin,3. 522,32sin32sinbcBC可得解：由bcacbA2cos222由余弦定理得bccba2)(222bccbc23222234126bbb .2334630A-。求角）（）中，已知（在CBACBACBAABC.sinsin3sinsinsinsinsinsin. 6解：由正弦定理得：,3)(abcbacba）化简得：（,223)222)(222(RRabRcRbRaRcRbRa,3)(22abcbaabcbaC2cos222再由余弦定理得：.222abcba.212abab60C