231直线与平面垂直的判定辛长红.ppt

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1、2.3.1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？几个吗？旗杆与底面垂直旗杆与底面垂直大桥的桥柱与水面垂直大桥的桥柱与水面垂直生活中的线面垂直现象BACBC一条直线与一个平面垂直的意义是什么？一条直线与一个平面垂直的意义是什么？BAlP 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的任意一条直线都垂直，内的任意一条直线都垂直，我们说我们说直线直线 l 与平面与平面 互相垂直互相垂直，记作记作 l平面平面 的垂线的垂线直线直线 l 的垂面的垂面垂足垂足思考：思考：l ， ，aal Pl注：画直线与水平平面垂直

2、时，要把直线画成和表 示平面的平行四边形横边垂直。2.直线和平面垂直的画法lP 除定义外，如何判断一条直线与平面垂直除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？呢？1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？ 问题怎样判断线面垂直呢？ 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 过过 的顶点的顶点A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕AD，将翻，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（折后的纸片

3、竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接于桌面接触）触） （1）折痕）折痕AD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕）如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面与桌面所在平面 垂直垂直ABCABCDABCD探究：结论：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直 线与桌面所在平面垂直BCADADCB一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直直，则该直线与此平面垂直balAal bl ababA l作用：作用：判定直线与平面垂直判定直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直直线与直线垂直直线与直线垂直思想：思想： 例例1 如图，

4、已知如图，已知 ，求证，求证aba,/.bbamn根据直线与平面垂直的定义根据直线与平面垂直的定义知知.,nama又因为又因为ab/所以所以.,nbmb又又nmnm,是两条相交直线，是两条相交直线，所以所以.b证明：在平面证明：在平面 内作内作两条相交直线两条相交直线m，n因为直线因为直线 ，a即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面条也垂直于同一个平面A 如图，直四棱柱如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直（侧棱与底面垂直的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 满足什么满足什么条件时，条件

5、时， ？ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD 底面四边形底面四边形 对角对角线相互垂直线相互垂直ABCD 如果两条平行线中的一条垂直于一个平如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面面，那么另一条也垂直于这个平面.4、我们已经知道：、我们已经知道：那么：那么： 如果两条直线同垂直于一个平面，那么如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线是否平行？这两条直线是否平行？ab 二、新课讲授：二、新课讲授：1、问题：、问题：/aba b ，是否成立？是否成立？Ob2、直线和平面垂直的性质定理：、直线和平面垂直的性质定理：符号语言：符号语言：图形语言：图形语言： 如果

6、两条直线同垂直于一个平面，那么如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行这两条直线平行.ab /abab， 练习练习2.2.三角形三角形ABCABC所在平面外一点所在平面外一点S S，且，且SA=SC.DSA=SC.D点为点为ACAC中点，若中点，若BA=BCBA=BC，求证：，求证：AC AC 平面平面SBDSBDBCSAD若若E、F分别是分别是AB、BC 的的中点，试判断中点，试判断EF与平面与平面SDB的位置关系的位置关系 ASBCE EF FD变式：变式： 在在的条件下，有人说的条件下，有人说“SBAC，SBEF， SB平面平面ABC”，对吗？对吗？ 练习练习3.3.如图，点如图

7、，点P P是平行四边形是平行四边形ABCDABCD所在平面外一点，所在平面外一点，O O是对角线是对角线ACAC与与BDBD的交点，且的交点，且PA=PCPA=PC，PB=PD. PB=PD. 求证：求证：OP OP 平面平面ACAC (2012年北京海淀区期末)如图，在棱长都相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别为AA1，B1C的中点 (1)求证：DE平面ABC； (2)求证：B1C平面BDE. 按条件作出下列图形: (1)任意作一个平面与一条直线l，使l；pl(3)已知直线已知直线l和和点点P，过，过P作直作直线线l的垂面。的垂面。 (2)已知平面已知平面和和点点P，过，过P作平面

8、作平面的垂线的垂线plpl(1) 过空间一点过空间一点P，有且只有一条直线有且只有一条直线l与已知平面与已知平面垂直。垂直。(2) 过空间一点过空间一点P， 有且只有一个平面有且只有一个平面与已知直线与已知直线l垂直。垂直。 plAl(1)(1)自一点自一点P P向平面向平面引垂引垂线，垂足线，垂足 叫做叫做点点P P在平在平面面内的正射影内的正射影( (射影射影) )(2)(2)点点P P与垂足与垂足 间的线段间的线段叫叫点点P P到平面到平面的垂线段的垂线段(3)(3)如果图形如果图形F F上的所有点上的所有点在一平面内的射影构成图在一平面内的射影构成图形形 ，则，则 叫做叫做图形图形F

9、F在在这个平面内的射影这个平面内的射影PPFF 一条直线和一个平面相交，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直但不和这个平面垂直，这条直线叫线叫这个平面的斜线这个平面的斜线，斜线和，斜线和平面的交点叫平面的交点叫斜足斜足，斜线上一，斜线上一点和斜足间的线段叫点和斜足间的线段叫这点到这这点到这个平面的斜线段个平面的斜线段 平面外一点到这个平面外一点到这个平面的垂线段有且只有平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条面的斜线段有无数条 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫过垂足和斜足的直线叫斜线

10、在这个平面内的射斜线在这个平面内的射影影垂足和斜足间的线段叫垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线这点到平面的斜线段在这个平面上的射影段在这个平面上的射影AB 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的成的锐锐角角，叫做，叫做斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角 ( (或斜线或斜线和平面的夹角和平面的夹角). ). 简称简称线面角线面角为垂足上任一点，为为斜足，为一斜线，BABlAOl,1 1、直线和平面垂直直线和平面垂直 直线和平面所成的角是直线和平面所成的角是直角直角 直线和平面平行或在平面内直线和平面平行或在平面内 直线和平面所直线和平面所成的角是成的

11、角是0 02 2、直线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范的取值范围是：围是：_ _ 斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角的取值范围的取值范围是：是：_2020例例2、在正方体、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直中，求直线线A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角O例例3：在正方体：在正方体AC1中，中，求证：求证： D1B平面平面ACB1C1BD1ACA1DB1 (1)(1)若两直线若两直线a a与与b b异面，则过异面，则过a a且与且与b b垂直的平垂直的平面（面（ ）A A有且只有一个有且只有一个 B B可能存在也可能不存在可能存在也可能不存在 C C有无数多个有无

12、数多个 D D定不存在定不存在 (2)(2)正方形正方形ABCDABCD，P P是正方形平面外的一点，且是正方形平面外的一点，且PAPA平面平面ABCDABCD，则在，则在PABPAB、 PBCPBC、PCDPCD、PADPAD、 PACPAC及及PBDPBD中，中， 为直角三角形有为直角三角形有_个个B 5 3 3：已知：已知：如图如图 1，空间四边形，空间四边形 ABCD 中，中，ABAC，DBDC，取，取 BC 中点中点 E，连接，连接 AE、DE，求证：，求证：BC平面平面 AED.图 1证明：证明：ABAC，DBDC，E 为为BC 中点，中点，AEBC，DEBC.又又AE 与与DE

13、交于交于E，BC平面平面AED.练习练习:已知已知 ,垂足分别为垂足分别为 ，且且 求证求证:(1) 平面平面 (2)PDPC,DC、ABABPCDABCD PDCABBCPDAFE,(1):(2):(3):4:ABCDAPAABCDAAEPBEEEFPCFBCPABAEPBCAFPC已知矩形过 作面再过 作于过 作于求证面求证面求证例例例2:例例3：在正方体：在正方体AC1中，中，求证：求证： D1B平面平面ACB1C1BD1ACA1DB1 90123.PABCPAABCABCAEPBEAFPCFBCPABAEPBCPCAEF如图， 为所在平面外一点，平面，于 ，于 ，求证：平面；平面；平面

14、例4: . 1.90.2.3.PAABCPABCABCABBCPAABABCBCPABAEPBCPPABAEPABBCAEPBAEBCPBBAEPBCAEPCCAEAFPCAEAFAF因为平面，所以因为，所以又，因为平面且平面，所以又因为，且，因为平面，所以又因为，且，证明：所以平面所以平面所以平面 6012.PABCDPAABCDABADACCDABCPAABBCEPCCDAEPDABE如图， 在四棱锥中，底面， 是的中点证明：；平面拓展练习1： 1.260.1.AEPACCDAEPABCDPAABCDCDABCDPACDACCDPAACACDPACPAABBCABCACPAEPCAEPCA

15、ECDPCCDCAEPCDPDPCDAEPDPAABCDAB在四棱锥中，因为底面，平面，故因为，所以平面由，可得因为 是的中点，所以由知，且，所以平面而平面，所以因为底证明：而平面以，所面底.ABCDPAABABADPAADAABPADPDPADABPABAEAPDABED面，所以又，所以平面而平面，所以又因为，所以平面11111111111( .()2010)ABCDABC DEFGHKLABBBBCC DD DDAEFGHKL如图,正方体中，、 、 、 、 、 分别为、的中点,则六边形在正方体各面上的射影可能是佛山市质量检测B答案：下面结论成立的是() 11.如图 2(1)，在正方形 SG1G2G3 中，E、F 分别是边 G1G2、G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体(如图 2(2)，使 G1、G2、G3 三点重合于点 G，(1)(2)图2ASG平面 EFGCGF平面 SEFBSD平面 EFGDGD平面 SEF解析：在题图(1)中，SG1G1E，SG3G3F，在题图(2)中，SGGE，SGGF，SG平面 EFG.A