【福建】高考数学复习方略:第6章《不等式、推理与证明》第1节《不等关系与不等式》.ppt
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1、第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式,1.两实数比较大小的法则,a-b0,a-b=0,ab,【即时应用】 (1)若a,b,cR,ab,判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写“”或“”) ( ) a2b2 ( ) (2)下列不等式中正确的是_. m-3m-5 5-m3-m 5m3m 5+m5-m,【解析】(1)特殊值法,取a=1,b=-1,c=0可知不正确. (2)m-3-m+5=20,故正确; 5-m-3+m=20,故正确; 5m-3m=2m,无法判断其符号,故错; 5+m-5+m=2m,无法判断其符号,故错. 答案:(1) (2),2.不等式的基本性质,ba,ac,a+cb
2、+c,acbc,acbc,a+cb+d,anbn,acbd,【即时应用】 (1)已知a、b、c、dR,且cd,则“a+cb+d”是“ab”的 _条件. (2)若a0,-1b0,则a,ab,ab2的大小关系为_. (3)已知a,b,cR,有以下命题: 若ab,则ac2bc2; 若ac2bc2,则ab; 若ab,则a2cb2c. 以上命题中正确的是_(请把正确命题的序号都填上).,【解析】(1)若a+cb+d,cd 不妨令a=1,b=2,c=5,d=3,则上式成立, 但ab,故充分条件不具备,反之,若ab,cd, 则a-b0,c-d0,两式相加得 a-b+c-d0,即a+cb+d, 故必要条件具备
3、,故应为必要不充分条件.,(2)由已知得0b21,a0,故ab0,ab20且aab2,故aab2ab, (3)当c=0时,不正确;若ac2bc2,则c20, ab,故正确;由2c0知正确. 答案:(1)必要不充分 (2)aab2ab (3),3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质 ab,ab0 a0b ab0,0cd 0axb或axb0,(2)有关分数的性质 若ab0,m0,则 真分数的性质 假分数的性质,【即时应用】 (1) 与 的大小为_. (2)若0ab,c0,则 的大小关系为_. 【解析】(1) 又 故,(2)0ab, 又c0, 故 答案:(1) (2),热点考向 1 比较大小 【方
4、法点睛】 比较大小的常用方法 (1)作差法 其一般步骤是:作差;变形;定号;结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.,(2)作商法 其一般步骤是:作商;变形;判断商与1的大小;结论. (3)特值法 若是选择题还可以用特值法比较大小,若是解答题,也可以用特值法探究思路. 【提醒】用作商法时要注意商式中分母的正负,若不注意极易得出相反的结论,从而误解.,【例1】(1)(2012厦门模拟)如果a,b,c满足cba且ac0,那么下列选项中不一定成立的是( ) (A)abac (B)c(b-a)0 (C)cb2a
5、b2 (D)ac(a-c)0 (2)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( ) (A)MN (B)MN (C)M=N (D)不确定 (3)已知ab0,比较aabb与abba的大小.,【解题指南】(1)可用不等式的基本性质求解.(2)可用作差法求解.(3)利用作商法求解判断. 【规范解答】(1)选C.由abc且ac0, a0,c0. A中,bc,a0,abac成立; B中,ba,b-a0,c0,(b-a)c0; C中,ac,b不确定,b2也可能为零, C选项不一定成立. D中,ac,a-c0,又ac0,ac(a-c)0.,(2)选B.作差比较: M-
6、N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1) 又a1,a2(0,1), 故(a1-1)(a2-1)0,故MN.,(3)作商比较: 又ab0,故 1,a-b0, 又abba0, aabbabba, aabb与abba的大小关系为:aabbabba.,【互动探究】若将本例(2)中,“a1,a2(0,1)”改为“a1,a2(1,+)”,结论又将如何? 【解析】M-N=a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1), a1,a2(1,+),(a1-1)(a2-1)0, 故M-N0,故MN.,【反思感悟】1.作差比较法的
7、目的是判断差的符号,而作商比较法的目的是判断商与1的大小.两种方法的关键是变形,常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等. 2.当两个代数式的正负不确定且为多项式形式时,常用作差比较法比较大小.当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商比较法.,【变式备选】比较下列各组中两个代数式的大小. (1)3m2-m+1与2m2+m-3; (2)(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)(xy0); (3)已知a0,b0,比较 的大小. 【解析】(1)(3m2-m+1)-(2m2+m-3) =m2-2m+4=(m-1)2+30, 3m2-m+12m2+m-3.,(2)(x2+y2)(x-y)
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