【福建】高考数学复习方略：第8章《平面解析几何》第3节《圆的方程》.ppt

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1、第三节 圆的方程,1.圆的定义、方程 (1)在平面内到_的距离等于_的点的轨迹叫做圆； (2)确定一个圆的基本要素是：_和_.,定点,定长,圆心,半径,(3)圆的方程,(x-a)2+(y-b)2=r2,x2+y2+Dx+Ey+F=0 （其中D2+E2-4F0）,(a,b),r,【即时应用】 (1)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 _； (2)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+ y-3=0的距离为_； (3)当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为 圆心, 为半径的圆的方程为_.,【解析】(1)x2+y2+ax+2ay

2、+2a2+a-1=0表示圆，所以 a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,解得 (2)x2-2x+y2-3=0的圆心坐标为(1,0)，它到直线x+ y-3=0的 距离为 (3)直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0, 由 C(-1,2). 所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 即:x2+y2+2x-4y=0. 答案:(1) (2)1 (3)x2+y2+2x-4y=0,2.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0),请把左边式子与 右边结论连线 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点与圆外 (x0-a)2+(y0-b

3、)2r2 点与圆内 (x0-a)2+(y0-b)2r2 点与圆上,【即时应用】 (1)思考：若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上，则 满足什么条件？ 若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内，则 满足什么条件？ 若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则 满足什么条件？,提示:,(2)已知点A(0,0)在圆：x2+y2+2ax+a2+a-2=0外，则a的取值范 围是_； 【解析】因为方程x2+y2+2ax+a2+a-2=0表示圆， 所以(2a)2-4(a2+a-2)0，解得:a2, 又因为点A(0,0)在圆外，所以a2+a-20，解得：a-

4、2或a1, 综上可得1a2或a-2. 答案:1a2或a-2,(3)已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线 x-y=0的对称点B也在圆上，则a=_,b=_. 【解析】点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为B(2,1)， 又因为A、B两点都在圆上， 所以 ,解得 答案:-2 1,热点考向 1 求圆的方程 【方法点睛】 1.求圆的方程的方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；,(2)待定系数法： 若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a、b、r的值； 若已知条

5、件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.,2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任意一弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.,【例1】(1)(2012福州模拟)以点(2，-1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0相切的圆的方程为( ) (A)(x-2)2+(y-1)2=3 (B)(x+2)2+(y-1)2=3 (C)(x-2)2+(y+1)2=9 (D)(x+2)2+(y-1)2=9,(2)(2012莆田模拟)过点A(6,5)，B(0,1)，并且圆心在直线 3x+10

6、y+9=0上的圆的方程为_； (3)求经过点A(-2,-4)，且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8,6) 的圆的方程.,【解题指南】(1)已知圆心坐标,利用点到直线的距离公式求出半径. (2)因为圆心在弦的垂直平分线上，所以解方程组，求出圆心，再求出半径，即得圆的方程. (3)可先设圆心坐标为C(a,b)，由圆心与切点连线与切线垂直及圆心到圆上点的距离相等得出关于a、b的两个方程，解方程组即可得到圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程；也可直接求出圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程.,【规范解答】(1)选C.由已知，可设圆的方程为 (x-2)2+(y+1)2=r2, 则 故所求圆的方程为(

7、x-2)2+(y+1)2=9.,(2)因为圆经过A、B两点，所以，圆心在AB的垂直平分线上， 而AB的垂直平分线方程为：3x+2y-15=0, 解方程组 所以圆心坐标为：C(7,-3),又|BC|= 所以，所求圆的方程为：(x-7)2+(y+3)2=65. 答案:(x-7)2+(y+3)2=65,(3)方法一：设圆心坐标为C(a,b),依题意得： 解得： 半径 因此，所求圆的方程为：,方法二：依题意得,圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分 线方程为：x+y-4=0；又因为圆心也在过B且与直线l垂直的直线 上，而此直线方程为：3x-y-18=0，解方程组 以下同方法一.,【互动探究】本例(

8、3)中“经过点A(-2，-4)”改为“圆心在直 线x+y-4=0上”，结果如何？ 【解析】方法一：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,依题设 有,解得 因此，所求圆的方程为:,方法二：依题设可知，圆心也在过切点B(8，6)且与l垂直的 直线上，其斜率为3，所以方程为y-6=3(x-8) 即3x-y-18=0，又圆心在x+y-4=0上，由 ，得圆心( ), 半径 因此，所求圆的方程为：,【反思感悟】1.从题组求解可以看出，确定一个圆的方程，需要三个独立的条件；“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题，

9、应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.,【变式备选】(2012宁德模拟)已知圆C同时满足下列三个条 件：与y轴相切，在直线y=x上截得弦长为 圆心在直 线x-3y=0上，求圆C的方程. 【解析】设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于点A、B， 圆心C在直线x-3y=0上，圆心C(3a,a)， 又圆与y轴相切，R=3|a|, 过点C作直线AB的垂线，垂足为D，, 在RtCBD中，R2-|CD|2=|BD|2, 即9a2-2a2=7, a=1,3a=3, 圆心C的坐标分别为(3，1)和(-3，-1)，故所求圆的方程为 (x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.,

10、热点考向 2 与圆有关的最值问题 【方法点睛】 与圆有关的最值问题，常见的有以下类型 (1)形如 型的最值问题，可转化为过点(a,b)和点(x,y) 的直线的斜率的最值问题； (2)形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值 问题； (3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的 距离平方的最值问题.,【例2】(2012龙岩模拟)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值； (2)求y-x的最大值和最小值； (3)求x2+y2的最大值和最小值. 【解题指南】充分利用所求代数式的几何意义，运用几何法求 解. 为点(x,y)

11、与原点连线的斜率；而y-x表示动直线y=x+b的 纵截距；x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方.,【规范解答】(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆 心， 为半径的圆， 的几何意义为点(x,y)与原点连线的斜 率，所以设 ，即y=kx,当直线与圆相切时，斜率k取最大值 或最小值，此时 ,解得 所以 的最大值为 最小值为,(2)y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距，当直线与圆相切时， 直线y=x+b在y轴上的截距取最大值或最小值，此时 解得 .所以y-x的最大值为 最小值为 (3)x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方，由平面几何知识可 知，原点与圆心的

12、连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值 或最小值.又圆心到原点的距离为2， 故,【反思感悟】1.本题三问都是求代数式的最值，它们都是利用代数式的几何意义与取最值时所满足的条件得出等式，通过解方程即可得出结论. 2.解答圆的最值问题，应注意数形结合，充分运用直线的斜率、在坐标轴上的截距、几何性质，来寻找解题思路.,【变式训练】已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动，则 的最大值为_；最小值为_. 【解析】 的几何意义表示圆上的动点与(2,1)连线的斜率， 所以设 =k，即kx-y+1-2k=0，当直线与圆相切时，斜率k取 最大值或最小值，此时 ,解得 .所以 的最大值为 、最小值为

13、答案:,【变式备选】若点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点，求 (x-2)2+(y+4)2的最大值、最小值. 【解析】(x-2)2+(y+4)2表示圆上的点到定点(2,-4)的距离的平 方，因为圆心(-1,0)到点(2,-4)的距离为 所以，圆上的点到点(2,-4)的距离的最大值为6、最小值为4； 因此，(x-2)2+(y+4)2的最大值为36、最小值为16.,【备选类型】与圆有关的轨迹问题 【方法点睛】 1.求轨迹方程的基本步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系，设曲线上任意点的坐标为M(x,y)； (2)写出适合已知条件的点M的集合P=M|P(M)； (3)用坐标表示P(M)，

14、列出方程f(x,y)=0； (4)化简方程f(x,y)=0为最简形式.,2.求与圆有关的轨迹方程的方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法； (2)定义法：根据圆(或直线)的定义列方程求解的方法； (3)几何法：利用圆的几何性质，得出方程的方法； (4)代入法：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法.,【提醒】注意轨迹与轨迹方程的区别.,【例】长为2a的线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动， 求线段AB中点的轨迹方程. 【解题指南】可设AB的中点坐标为(x,y)，再求出A、B的坐标，由距离公式及线段AB的长即可得出方程；还可由AB的中点与坐标原点的

15、距离为定长，得出轨迹为圆，从而得出方程.,【规范解答】方法一：设AB的中点坐标为(x,y)，因为线段AB的 两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，所以A、B两点的坐标分别 为A(2x,0)、B(0,2y)，因为线段AB长为2a，所以 ,化简得：x2+y2=a2. 方法二：设AB的中点坐标为(x,y),依题设知，AB的中点到原点 的距离为a,所以其轨迹为以原点为圆心，以a为半径的圆，其 方程为x2+y2=a2.,【反思感悟】1.求点的轨迹时，关键要是发现点满足的几何条件，寻找等式，得出方程；另外，注意圆的定义的应用，如果轨迹是圆，则可由圆心及半径直接写出圆的方程. 2.解答轨迹问题时，要注意验证应

16、该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.,【变式训练】已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9，过点A(2,3)作圆C的 任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程. 【解析】方法一：直接法 设P(x,y)，由题意知圆心C(，). P点是过点A的弦的中点， 又 =(2-x,3-y), =(1-x,1-y), (2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0, P点的轨迹方程为,方法二：定义法 由已知知，PAPC,由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上， 又圆心C(1，1)，而AC中点为( ), ，所以半径为 所求动点P的轨迹方程为,1.(2013漳州模拟)若圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l:ax

17、+4y-6=0对称，则直线的斜率是( ) (A)6 (B) (C) (D) 【解析】选D.依题意知直线l:ax+4y-6=0经过圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心(3，-3)，所以3a-12-6=0，解得a=6. 所以直线l的方程为6x+4y-6=0. 即3x+2y-3=0，亦即 所以直线l的斜率为,2.(2012泉州模拟)圆x2+y2-4x+6y-12=0过点(-1，0)的最大弦 长为m,最小弦长为n,则m-n=( ) 【解析】选A.圆方程可化为(x-2)2+(y+3)2=25, 圆心为(2，-3)，半径为5, (2，-3)与(-1,0)的距离为 最小弦长为 最大弦长m=2R=10,3

18、.(2012莆田模拟)若圆C与y轴和直线3x+4y-2=0都相切，且圆 心在第二象限，圆半径为2，则圆C的标准方程为( ) (A)(x+ )2+(y-2)2=4 (B)(x+2)2+(y- )2=2 (C)(x+2)2+(y- )2=4 (D)(x+2)2+(y- )2=4,【解析】选D.设圆心为(a,b), 依题意可得 解得a=-2, 故圆C的标准方程为(x+2)2+(y- )2=4.,4.(2012龙岩模拟)已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线 2ax-by+2=0(a,bR)对称，则ab的取值范围是( ) (A)(-, (B) ,+) (C)( ,0) (D)(0, ) 【解析】选A.因为圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2 =0(a,bR)对称，又因为x2+y2+2x-4y+1=0的圆心坐标为 (-1,2)，所以2a(-1)-2b+2=0，即a+b=1.当ab0时， 0ab ；当ab0时，显然成立.所以ab .,5.(2012湖北高考)如图，点D在O的弦 AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂 线交O于点C，则CD的最大值为_. 【解析】取AB的中点为E，连接OE，则 要求CD的最大值，则点D与E重合.可知结果为2. 答案:2,