【福建】高考数学复习方略：第1章《集合与常用逻辑用语》第2节《命题及其关系、充分条件和必要条件》.ppt

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1、第二节 命题及其关系、充分条件 和必要条件,1.命题 可以判断_的语句叫作命题, _的命题叫作真命 题，_的命题叫作假命题.,成立或不成立,不成立,成立,【即时应用】 判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”) (1)“sin45=1”是假命题 ( ) (2)“x2+2x-1”是命题 ( ) (3)“3是12的约数吗”是假命题 ( ) (4)“x2+2x-30”是真命题 ( ),【解析】“sin45=1”能判断真假，是命题且为假命题，故(1)正确. “x2+2x-1”与“x2+2x-30”不能判断真假，不是命题，故(2)、(4)错. “3是12的约数吗”不是陈述句，不是命题，故(3)错

2、. 答案：(1) (2) (3) (4),2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系,若q，则p,若p，则q,若q，则p,(2)原命题的真假性同它的逆命题、否命题及逆否命题的真假 性之间的关系 原命题为真，它的逆命题可以为_，也可以为_. 原命题为真，它的逆否命题一定为_. 原命题为真，它的否命题可以为_，也可以为_. (3)四种命题的真假性之间的关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的_. 两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性_.,真,假,真,真,假,真假性,没有关系,【即时应用】 (1)判断下列命题是真命题还是假命题(填“真”或“假”). “若x2y20，则x，y不全为零”的否命

3、题 ( ) “正多边形都相似”的逆命题 ( ) “若m0，则x2xm=0有实根”的逆否命题 ( ) “若 是有理数，则x是无理数”的逆否命题 ( ) (2)命题“若x21，则1x1”的逆否命题是_. (3)命题“对实数a，若a0，则a20”的否命题是_.,【解析】(1)的否命题是“若x2y2=0，则x，y全为零”,是真命题;的逆命题是“相似形是正多边形”，是错误的,故是假命题；的原命题是真命题，故它们的逆否命题也是真命题. (2)“-1x1”的否定是“x1或x-1”，“x21”的否定是“x21”，故已知命题的逆否命题是“若x1或x-1， 则x21”.,(3)“a0”的否定是“a0”，“a20”

4、的否定是“a20”，故已知命题的否命题是“对实数a，若a0，则a20”. 答案：(1)真 假 真 真 (2)若x1或x-1，则x21 (3)对实数a，若a0，则a20,3.充分条件和必要条件 (1)“若p则q”为真命题指当p_时，q一定_，即p_ 可以推出q_，记作pq，并把p叫作命题q的_，q叫 作p的_. (2)如果对两个命题p和q，既有pq，又有qp,就记作_, 这时，p既是q的_，又是q的_，就叫作p是q的_ _，简称_.p是q的充分必要条件指p成立_ _q成立，此时，命题p和命题q称为两个互相_的命题.,成立,也成立,成立,成立,充分条件,必要条件,充分条件,必要条件,充,分必要条件

5、,充要条件,当且,仅当,等价,【即时应用】 (1)设a0，则“xa,-a”是“|x|=a”的_条件. (2)“m ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的_条件. (3)若集合A=1,m2,B=2,4，则“m=2”是“AB=4”的_ 条件.,【解析】(1)当a0时，xa,-a |x|=a, 但|x|=axa,-a, 故“xa,-a”是“|x|=a”的必要而不充分条件. (2)=1-4m，当m 时，0，方程x2+x+m=0有实数解；若方 程x2+x+m=0有实数解， 则=1-4m0， m ,“m ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的 充分而不必要条件.,(3)m=2AB=4，但A

6、B=4 m=2, 故“m=2”是“AB=4”的充分而不必要条件. 答案：(1)必要而不充分 (2)充分而不必要 (3) 充分而不必要,热点考向 1 四种命题及其关系 【方法点睛】 1.四种命题关系的判断 在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题被定为原命题，也就相应有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.,2.命题的等价性 掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假. 【提醒】在四种命题中，真命题的个数一定为偶数个.,【例1】(

7、1)(2012湖南高考)命题“若= ,则tan=1” 的逆否命题是() (A)若 ,则tan1 (B)若= ,则tan1 (C)若tan1,则 (D)若tan1,则=,(2)(2012福州模拟)下列命题:“若a21,则ax2- 2ax+a+30的解集为R”的逆否命题;“若 (x0)为有 理数,则x为无理数”的逆否命题,其中正确的命题是_ (只填序号).,【规范解答】(1)选C.原命题的逆否命题是“若tan1,则 ”,故选C. (2)的否命题为“若a2b2,则ab”,是假命题;的逆命 题为“若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等”,显然 是假命题;对于,当a1时,=(-2a)2-4a(a+3)

8、=-12a0, 为真命题,故其逆否命题为真命题;对于,x0,为真 命题,故其逆否命题为真命题. 答案:,【互动探究】本例(1)条件不变,请判断逆命题的真假. 【解析】由命题“若= ,则tan=1”知逆命题为“若 tan=1,则= ”,由三角函数知识易知逆命题为假命题.,【变式备选】写出“若x=2或x=3,则x2-5x+6=0”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定,并判断其真假. 【解析】逆命题:若x2-5x+6=0,则x=2或x=3,是真命题; 否命题:若x2且x3,则x2-5x+60,是真命题; 逆否命题:若x2-5x+60,则x2且x3,是真命题; 命题的否定:若x=2或x=3,则x2-

9、5x+60,是假命题.,热点考向 2 充分条件与必要条件的判定 【方法点睛】 充分、必要条件的判断方法 (1)命题判断法 先判断pq与qp是否成立，然后再确定p是q的什么条件. (2)集合判断法 从集合的观点看，建立命题p,q相应的集合：p:A=x|p(x)成立,q:B=x|q(x)成立，那么,若AB，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分而不必 要条件； 若BA，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要而不充 分条件； 若AB且BA，即A=B，则p是q的充要条件； 若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条 件，即p是q的既不充分又不必要条件.,【例2】(1)(20

10、11福建高考)若aR，则“a=2”是“(a-1) (a-2)=0”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件,(2)(2012陕西高考)设a,bR,i是虚数单位,则“ab=0” 是“复数 为纯虚数”的() (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件,【规范解答】(1)选A.由(a-1)(a-2)=0得a=1或a=2，所以 a=2(a-1)(a-2)=0， 但(a-1)(a-2)=0 a=2，故a=2是(a-1)(a-2)=0的充分而不必要 条件. (2)选B.若a0,b=0,即ab=0,则

11、 是实数,故不是充分条件; 若复数 为纯虚数,则 =a-bi,所以a=0且b0,所以ab =0,是必要条件.,【变式备选】指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答). (1) 在ABC中，p:A=B,q:sinA=sinB; (2)对于实数x、y，p:x+y8,q:x2或y6; (3)非空集合A、B中，p:xAB，q:xB; (4)已知x、yR，p:(x-1)2+(y-2)2=0, q:(x-1)(y-2)=0.,【解析】(1)在ABC中，A=BsinA=sinB，反之，若 sinA=sinB，因为A与B不可

12、能互补(因为三角形三个内角和为 180)，所以只有A=B.故p是q的充要条件. (2)易知, p:x+y=8, q:x=2且y=6，显然 q p,但 p q， 即 q是 p的充分而不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价 性知，p是q的充分而不必要条件.,(3)显然xAB不一定有xB，但xB一定有xAB， 所以p是q的必要而不充分条件. (4)p:x=1且y=2，q:x=1或y=2，所以pq， 但q p，故p是q的充分而不必要条件.,热点考向 3 充分条件、必要条件的应用 【方法点睛】 充分条件、必要条件的应用 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之

13、间的关系列出关于参数的不等式求解.,【例3】已知集合M=x|x-3或x5，P=x|(x-a)(x-8)0. (1)求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的充要条件； (2)求实数a的一个值，使它成为MP=x|5x8的一个充分而不必要条件； (3)求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的一个必要而不充分条件. 【解题指南】求a的取值范围使它成为MP的不同条件，可借助集合的观点，根据要求，求出成立时a的取值范围.,【规范解答】(1)由 MP=x|5x8，得-3a5，因此MP=x|5x8的充要条件是a|-3a5； (2)求实数a的一个值，使它成为MP=x|5x8的一个充分而不必要条件，就

14、是在集合a|-3a5中取一个值，如取a=0，此时必有MP=x|5x8；反之，MP=x|5x8未必有a=0，故a=0是所求的一个充分而不必要条件；,(3)求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的一个 必要而不充分条件就是另求一个集合Q满足所述条件，故a| -3a5是集合Q的一个真子集.如果a|a5时，未必有 MP=x|5x8，但是MP=x|5x8时，必有a5， 故a|a5是所求的一个必要而不充分条件.,【反思感悟】解答本例(2)，(3)时，需借助(1)的结论，即求某一个结论的充分而不必要条件或必要而不充分条件时，一般是先求出这个结论的充要条件.,【变式训练】已知p：x28x200，q：x2

15、2x1a20，且p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围,【解析】由x2-8x-200，得x-2或x10, p：x-2或x10. 由x2-2x+1-a20，得x1-a或x1+a， q：x1-a或x1+a. p是q的充分而不必要条件， 解得0a3. a的取值范围为0a3.,1.(2012天津高考)设R,则“=0”是“f(x)=cos(x+) (xR)为偶函数”的() (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】选A.当=0时,f(x)=cos(x+)=cosx是偶函数,而f(x)=cos(x+)(xR)是偶函数不能得出=0,故A正确

16、.,2.(2013福州模拟)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则 ab .在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命 题的个数是() (A)3(B)2(C)1(D)0 【解析】选C.因为原命题为真命题,故其逆否命题也为真命题. 原命题的逆命题为:已知a,b为实数,若ab ,则a+b=1,很明 显其为假命题,故原命题的否命题也为假命题.,3.(2012安徽高考)设平面与平面相交于直线m,直线a在平面内,直线b在平面内,且bm,则“”是“ab”的() (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】选A.,=m,a,b,bmb ba;如

17、果am,则ab与bm条件相同,都不能推出.,4.(2012江西高考)下列命题中,假命题为() (A)存在四边相等的四边形不是正方形 (B)z1,z2C,z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数 (C)若x,yR,且x+y2,则x,y至少有一个大于1 (D)对于任意nN+, 都是偶数,【解析】选B.A中,四边相等的空间四边形显然不是正方形, 故A为真命题;B中,z1,z2C,“z1,z2为共轭复数”“z1+z2 为实数”,但“z1+z2为实数” “z1,z2互为共轭复数”.故B 为假命题;C中,假设x,y均小于等于1,则x+y2,这与x+y2相 矛盾,因此C为真命题;D中, =2n,显然2n是偶 数,D为真命题.,