【福建】高考数学复习方略:第2章《函数、导数及其应用》第11节《导数概念、导数的运算》.ppt
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1、第十一节 导数概念、导数的运算,1.物体的瞬时速度及函数f(x)在x=x0处的导数 (1)瞬时速度 若物体的运动方程为s=f(t),则物体在任意时刻t的瞬时速度 v(t),就是平均速度v(t,d)=_在d趋于0时的极限.,(2)函数f(x)在x=x0处的导数 定义:设函数f(x)在包含x0的某个区间上有定义,如果比值 在d趋于0时(d0)趋于_,则称 此_为函数f(x)在x=x0处的导数或_,记作_. 符号表示为_f(x0)(d0).,确定的极限值,极限值,微商,f(x0),【即时应用】 (1)思考:f(x0)与(f(x0)相等吗? 提示:在对导数的概念进行理解时,特别要注意f(x0)与(f(
2、x0)是不一样的,f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0)是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0)=0.,(2)有一机器人的运动方程为s=t2+ (t是时间,s是位移),则 该机器人在时刻t=1时的瞬时速度为_. 【解析】s=t2+ ,v=s(t)=2t- . 该机器人在时刻t=1时的瞬时速度为: s(1)=21- =1. 答案:1,2.函数f(x)的导函数 (1)若x取定义域内的任意一点,则d趋于0时,比值 _的极限值叫作f(x)的导函数,记作_. (2)符号表示为_f(x)(d0).,f(x),【即时应用】 (
3、1)思考:f(x)与f(x0)有何区别与联系? 提示:f(x)是x的一个函数,f(x0)是常数,是f(x)在点x0处的一个函数值. (2)f(x)是f(x)= x3+2x+1的导函数,则f(-1)的值是_. 【解析】f(x)= x3+2x+1, f(x)=x2+2, f(-1)=(-1)2+2=3. 答案:3,3.导数的实际意义 (1)物理意义 若物体的运动方程为s=f(t),则f(t)为物体在任意时刻t的_ _. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x) 上点_处的_.相应地,切线方程为 _.,瞬,时速度v(t),(x0,f(x0),切线的斜率,y
4、-f(x0)=f(x0)(x-x0),【即时应用】 (1)思考:曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线与过点P0(x0,y0)的切线,两说法有区别吗? 提示:有.前者P0一定为切点,而后者P0不一定为切点. (2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是_. 【解析】y=2x,曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2. 答案:2,(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e)处的切线方程是_. 【解析】f(e)= , 所求的切线方程为 y-f(e)=f(e)(x-e), 即y-lne= (x-e),化简得x-ey=0. 答案:x-ey=0,(4)曲线y=sinx+cosx在x=处
5、的切线方程是_. 【解析】根据y=sinx+cosx求导可得y=cosx-sinx,所以当x=时,y=-1,又因为切线过点(,-1),所以可得曲线在x=处的切线方程为y+1=-(x-),即y=-x+-1. 答案:y=-x+-1,4.一些基本的初等函数的导数公式表 (公式对函数定义域内的自变量x有效),0,ex,ax(lna)(a0,a1),(a0,a1,x0),cosx,-sinx,【即时应用】 (1)y=x-5,则y=_. (2)y=4x,则y=_. (3)y=log3x,则y=_. (4)y=sin ,则y=_. 答案:(1)-5x-6 (2)4xln4 (3) (4)0,5.导数运算法则
6、 (1)(f(x)=f(x); (2)(f(x)g(x)=_; (3)(f(x)g(x)=_; (4) =_(f(x)0); (5) = _(f(x)0). (6)若y=f(u),u=g(x),则yx=fuux.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),【即时应用】 (1)y=x3+sinx,则y=_. (2)y=(2x2+3)(3x-2),则y=_. (3)f(x)= ,则f(x)=_. (4)f(x)=e-x+ln(2x+1),则f(x)=_.,【解析】(1)y=(x3)+(sinx)=3x2+cosx. (2)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4
7、x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9. 或:y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9. (3)f(x)= (4)f(x)= 答案:(1)3x2+cosx (2)18x2-8x+9 (3) (4),热点考向 1 根据导数的定义求函数的导数 【方法点睛】 根据导数的定义求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤 (1)求差:即f(x0+d)-f(x0). (2)求比:即 (3)令d趋于0得导数.,【例1】用导数定义求函数f(x)= 在x=1处的导数. 【解题指南】本题是利用定义求函数的导数,所以可先求出f(x0+d)-f(x0),再求 当d趋于0时,趋于何值, 即为所求结果
8、.,【规范解答】f(1+d)-f(1)= = 当d趋于0时,此式趋于- , f(1)=- .,【反思感悟】根据导数定义求简单函数的导数不作重点要求,考试时不宜使用定义求导,而是应用导数公式和运算法则求解.,【变式训练】一质点运动的方程为s=8-3t2. (1)求质点在1,1+d这段时间内的平均速度; (2)求质点在t=1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法).,【解析】(1)s=8-3t2, s(1+d)-s(1)=8-3(1+d)2-(8-312)=-6d-3d2, =-6-3d (*) (2)定义法:质点在t=1时的瞬时速度 由(1)知,当d趋于0时,(*)式趋于-6,即质点在t=1时的
9、瞬时 速度为-6. 导数公式法:质点在t时刻的瞬时速度 v=s(t)=(8-3t2)=-6t. 当t=1时,v=-61=-6.,热点考向 2 导数的运算 【方法点睛】 函数求导的原则 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.,【提醒】化简函数时,乘积的形式常化成和、差的形式,根式化为分数指数幂的形式,较复杂的公式化为简单公式的和或差.熟记导数公式和求导法则是运算关键.,【例2】(1)若f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)0的解集为( ) (A)
10、(0,+) (B)(-1,0)(2,+) (C)(2,+) (D)(-1,0),(2)求下列函数的导数: y=(2x2-1)(3x+1); y= y= y=3xex-2x+e. 【解题指南】(1)首先求出f(x)的导数,再解不等式; (2)借助于导数公式及运算法则求导.,【规范解答】(1)选C.f(x)=2x-2- 0, 即 0,x0,(x-2)(x+1)0,x2. (2)方法一:由题可以先展开解析式然后再求导: y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, y=(6x3+2x2-3x-1) =(6x3)+(2x2)-(3x)=18x2+4x-3.,方法二:由题可以利用乘积的求导
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