【福建】高考数学复习方略：第2章《函数、导数及其应用》第3节《函数的奇偶性与周期性》.ppt

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1、第三节 函数的奇偶性与周期性,1.函数奇偶性的定义 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x. (1)f(x)为偶函数_; (2)f(x)为奇函数_.,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),【即时应用】 (1)判断下列六个函数是否是奇函数.(请在括号中填“是”或“否”) y=x2-|x| ( ) y=sin3x ( ) y=x+ ( ) y=3x-3-x ( ) y=|x|cosx ( ) y=x2,x(-1,1 ( ),(2)已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数，那么a+b的值是_. (3)已知f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2,则f(x)=_.,【

2、解析】(1)由奇函数、偶函数定义知，函数,为偶函数， ,为奇函数,是非奇非偶函数. (2)由已知得a-1=-2a,解得a= , f(x)= x2+bx,又f(-x)=f(x), 即 x2-bx= x2+bxbx=0, 又x- , ,b=0,故a+b= +0= .,(3)由题意知f(0)=0,当x0, f(-x)=(-x)2=x2, 又f(-x)=-f(x),f(x)=-x2, 综上，f(x)= . 答案：(1)否 是 是 是 否 否 (2) (3),2.奇偶函数的图象性质 偶函数的图象关于_对称；奇函数的图象关于_对称.,y轴,原点,【即时应用】 (1)函数f(x)=x- 的图象关于_对称.

3、(2)已知y=f(x)是偶函数，且其图象与x轴有5个交点，则方程 f(x)=0的所有实根之和是_. 【解析】(1)因为f(x)=x- 为奇函数，所以其图象关于原点对 称. (2)由于偶函数的图象关于y轴对称，故其与x轴的5个交点亦关 于y轴对称，或在y轴上，故其和为0. 答案：(1)原点 (2)0,3.周期性 (1)周期函数 对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域 内的任何值时，都有_，那么就称函数y=f(x)为周期 函数，T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么 这个_就叫做它的最小正周期,f(x+T)=f(x),最小

4、的正数,最小的正数,【即时应用】 (1)已知函数f(x),对xR，都有f(x+4)=f(x),且x(0,2)时， f(x)=2 012x2,则f(2 013)=_. (2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的最 小正周期为_.,【解析】(1)f(x+4)=f(x), f(x)的最小正周期为4， f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 01212=2 012. (2)f(x+1)=-f(x), f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)=f(x). 最小正周期为2. 答案：(1)2 012 (2)2,热点考向 1 判定函数的奇偶性

5、 【方法点睛】 判定函数的奇偶性的常用方法及思路 (1)定义法：,(2)图象法：,(3)性质法：用奇偶函数的性质来判断函数的奇偶性 【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.,【例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x3-x; (2)f(x)= (3)f(x)= 【解题指南】由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原 点对称，再计算f(-x)，并判断其与f(x)的关系，从而得出函数 的奇偶性.,【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), f(x)为奇函数. (2)使f(x)= 有意

6、义， 则有 0且1+x0, 解得函数的定义域为(-1,1,不关于原点对称，因此函数f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数.,(3)显然函数f(x)的定义域为： (-，0)(0,+)，关于原点对称， 当x0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)； 当x0时,-x0，则f(-x)=(-x)2-x =x2-x=-f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， 函数f(x)为奇函数.,【互动探究】若将本例(2)的函数改为f(x)= 其奇偶 性又如何呢？ 【解析】易知函数f(x)的定义域为(-1,0)(0,1)，关于原点对 称， f(x)= 又f(-x)=

7、 =-f(x)， 函数f(x)为奇函数,【反思感悟】利用定义法判断函数奇偶性时，先要求定义域，当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算f(-x),否则可能得到错误结论.,【变式备选】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= (2)f(x)= (3)f(x)=,【解析】(1)由 ,得x=-1或x=1. 函数f(x)的定义域为-1,1. 又对于定义域内的任意x,f(-x)=0=f(x), 函数f(x)既是奇函数，又是偶函数.,(2)显然函数的定义域为R， 又f(-x)= = = =-f(x)， 函数f(x)为奇函数.,(3)由 ，得-2x2且x0 函数f(x)的定义域关于原点对称， f(x)=

8、 又f(-x)= =-f(x)， 函数f(x)为奇函数.,热点考向 2 函数奇偶性的应用 【方法点睛】 应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的解析式，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.,(3)求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法：利用f(x)f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解. (4)已知奇偶性判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一

9、区间上的单调性. 奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.,【例2】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)= 2x2-x，则f(1)=( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 (2)若函数f(x)= 为奇函数，则a=( ) (A) (B) (C) (D)1 (3)已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(-,0上是减函 数，若f(a)f(2),则实数a的取值范围是_.,【解题指南】解答本题需利用函数的奇偶性： (1)将求f(1)的值转化为求f(-1)的值的问题求解； (2)由题意可知f(-x)+f(x)=0，从而得到关于x的恒

10、等式，再构 建a的方程求解； (3)得到f(x)在0,+)上的单调性，即将原不等式转化为 f(|a|)f(2),从而求解.,【规范解答】(1)选A.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1)=-2(-1)2+1=-3. (2)选A.函数f(x)为奇函数,f(x)+f(-x)=0恒成立， 即 恒成立. 可化为(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立. 整理得2(1-2a)x=0恒成立，则必有1-2a=0, a= .,(3)由已知得f(x)在0,+)上为增函数，且f(a)=f(|a|), f(a)f(2),f(|a|)f(2),|a|2. 得:a2或a-2. 答

11、案：a2或a-2,【互动探究】在本例(1)中的条件下求f(x)在R上的解析式. 【解析】当x0时，-x0, 又x0时，f(x)=2x2-x, f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x, 又f(-x)=-f(x), 即:-f(x)=2x2+x,f(x)=-2x2-x. 综上,f(x)= .,【反思感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想.,【变式备选】奇函数f(x)的定义 域为-5,5.若当x0,5时， f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)0的解集是_. 【解

12、析】由奇函数图象对称性补出其在-5,0)上的图象，由图 象知解集为(-2,0)(2,5. 答案：(-2,0)(2,5,热点考向 3 函数周期性的应用 【方法点睛】 关于函数周期性的几个常用结论 (1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有： f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个 周期； f(x+a)= ，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周 期；,f(x+a)=- ，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个 周期； (2)如果T是函数y=f(x)的周期，则 kT(kZ,k0)也是函数y=f(x)的周期， 即f(x+kT)=f(x)； 若

13、已知区间m,n(mn)上的图象，则可画出区间 m+kT,n+kT(kZ,k0)上的图象.,【例3】(2012山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3x-1时，f(x)=-(x+2)2;当-1x3时，f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=( ) (A)335 (B)338 (C)1 678 (D)2 012,【规范解答】选B.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x), 当-3x-1时，f(x)=-(x+2)2， 当-1x3时，f(x)=x. f(1)=1,f(2)=2, f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1, f(4)=f(

14、-2)=-(-2+2)2=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0. f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1. 2 012=3356+2. f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=335+f(1)+f(2)=338.,【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x， 恒有f(x+2)=-f(x).当x0,2时，f(x)=2x-x2. (1)求证：f(x)是周期函数; (2)当x2,4时，求f(x)的解析式.,【解析】(1)f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x). f(x)是周期为4的周期函数.,(2)当x-2

15、,0时，-x0,2，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2, f(x)=x2+2x. 又当x2,4时，x-4-2,0, f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).,又f(x)是周期为4的周期函数， f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x2,4时， f(x)=x2-6x+8.,1.(2013漳州模拟)若函数f(x)为奇函数，则下列各式中成立的是( ) (A)f(x)+f(-x)0 (B)f(x)-f(-x)0 (C)f(x)f(-x)0 (D)f(x)f(-x)0 【解析】选

16、C.f(x)为奇函数，故f(-x)=-f(x),f(x) f(-x)=-f2(x)0.,2.(2012福建高考)设函数 则下列结论 错误的是( ) (A)D(x)的值域为0,1 (B)D(x)是偶函数 (C)D(x)不是周期函数 (D)D(x)不是单调函数,【解析】选C.,3.(2013福州模拟)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x2,3时，f(x)=x，则x-2,0时，f(x)的解析式为( ) (A)f(x)=2+|x+1| (B)f(x)=2-x (C)f(x)=3-|x+1| (D)f(x)=2x+4,【解析】选C.设-1x0,则22-x3, f(2-x)=2-x,又f(2-x

17、)=f(x),f(x)=2-x. 设-2x-1,则2x+43,f(x+4)=x+4. 又f(x+4)=f(x),f(x)=x+4, 综上知，f(x)= 故选C.,4.(2012上海高考)已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2，则g(-1)=_. 【解析】由已知条件y=f(x)+x2是奇函数，得f(x)+x2=-f(-x) +(-x)2,即f(1)+1=-f(-1)+1.又f(1)=1，所以f(-1)=-3， 故g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1. 答案：-1,5.(2012厦门模拟)函数 为偶函数，则 实数n的值为_. 【解析】f(x)为偶函数，即 为奇函数, 而 g(-x)+g(x)=0,即2n-1=0，解得 答案：,