【福建】高考数学复习方略:第6章《不等式、推理与证明》第7节《数学归纳法》.ppt
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1、第七节 数学归纳法,数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,可按以下步骤: (1)(归纳奠基) 证明当n取_(n0N+)时命题成立; (2)(归纳递推) 假设n=k(kn0,kN+)时命题成立,证明当 _时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都成立.,第一个值n0,n=k+1,【即时应用】 判断下列各说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”) (1)用数学归纳法验证第一个值n0,则n0必定为1. ( ) (2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的. ( ) (3)应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第 一步是检验n等于3. ( ) (4
2、)用数学归纳法证明“1+2+22+2n+2=2n+3-1”时,验证n=1 时,左边式子应为1+2+22. ( ),【解析】(1)错误.有些数学归纳法证明题,第一步验证初始值不是1,可能为2,3,4等. (2)正确.数学归纳法的两个步骤缺一不可,第一步是归纳奠基,第二步是归纳递推. (3)正确.第一步检验n=3,即三角形的对角线条数为0. (4)错误.验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23. 答案:(1) (2) (3) (4),热点考向 1 用数学归纳法证明等式 【方法点睛】 用数学归纳法证明等式的规则 (1)数学归纳法证明等式要充分利用定义,其中两个步骤缺一不可,缺第一步,则失去了递推
3、基础,缺第二步,则失去了递推依据.,(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律,两边各有多少项,并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设,不利用n=k时的假设去证明,就不是数学归纳法.,【例1】是否存在常数a,b,c,使得等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立?若存在,求出a,b,c的值;若不存在,说明理由. 【解题指南】本题是开放式、存在性的问题,一般是先假设存在,利用特值求得a、b、c的值,而后用数学归纳法证明.,【规范解答】假设存在a、b、c使得所给等式成立. 令n=1,2,3代入等式得 解得 以下用数学
4、归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2) 对一切正整数n都成立. (1)当n=1时,由以上可知等式成立;,(2)假设当n=k时,等式成立,即(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2) 则当n=k+1时, (k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1) (k+1)2-(k+1)2 =(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1) 由(1)、(2)知,等式对一切正整数n都成立.,【反思感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题,一般是先假设结论成立,利用n的前几个取值求参数,而后用数学归
5、纳法证明. 2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时,事实上,“归纳假设”已经成了已知条件,“n=k+1时结论正确”则是求证的目标,可先用分析法的思路,借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形,把待证的目标拼凑出归纳假设的形式,再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.,【变式训练】已知nN+,证明: 【证明】(1)当n=1时,左边= 右边= ,等式成立; (2)假设当n=k(kN+)时等式成立,即有: 那么当n=k+1时, 左边=,=右边, 所以当n=k+1时等式也成立. 综合(1)、(2)知对一切nN+,等式都成立.,热点考向 2 用数学归纳法证明不等式问题 【方法点睛】 应用数学归纳法证
6、明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.,【例2】(2012大纲版全国卷)函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标. (1)证明:2xnxn+13; (2)求数列xn的通项公式.,【规范解答】(1)用数学归纳法证明2xnxn+13. 当n=1时,x1=2,直线PQ1的方程为
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