高考理科数学导学导练：第12章-概率、随机变量及其分布12-6离散型随机变量的均值与方差、正态分布.ppt

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1、12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布 考纲要求1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.3.利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义,1离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为,2均值与方差的性质 (1)E(aXb)_ (2)D(aXb)_(a，b为常数) 3两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)_，D(X)_ (2)若XB(n，p)，则E(X)_，D(X)_,aE(X)b,a2D(X),p,p(1p),np,np(1p),当一定时，曲

2、线的位置由确定，曲线随着_的变化而沿x轴平移，如图甲所示；,当一定时，曲线的形状由确定，_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示,越小,越大,正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(X)_； P(2X2)_； P(3X3)_,0.682 6,0.954 4,0.997 4,【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定() (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小(),(3)正态分布中的参数和完

3、全确定了正态分布，参数是正态分布的均值，是正态分布的标准差() (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布() (5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关() 【答案】 (1)(2)(3)(4)(5),1(教材改编)某射手射击所得环数的分布列如下：,已知的均值E()8.9，则y的值为() A0.4B0.6 C0.7 D0.9 【答案】 A,2设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1，2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为() A1a，4 B1a，4a C1，4 D1，4a,【

4、答案】 A,【答案】 B,4(2016四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_,5(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为_,题型一离散型随机变量的均值、方差 命题点1求离散型随机变量的均值、方差 【例1】 (2015福建)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；

5、否则继续尝试，直至该银行卡被锁定,(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值,命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值 【例2】 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分,【方法规律】 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解 (2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值 (3)由已知条件

6、，作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断,小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； 两次回球结束后，小明得分之和的分布列与均值 (2)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示,将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； 用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X),(2)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在

7、未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”因此 P(A1)(0.0060.0040.002)500.6， P(A2)0.003500.15， P(B)0.60.60.1520.108.,可得随机变量X的分布列为 因为XB(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8， 方差D(X)30.6(10.6)0.72.,题型二均值与方差在决策中的应用 【例4】 (2017德州模拟)十八届三中全会提出以管资本为主加强国有资产监管，改革国有资本授权经营体制.2015年1月20日，中国恒天集团有限公司新能源汽车总部项目签约仪式在天津举行，说明国有企业的市场化改革已经踏上新的破

8、冰之旅恒天集团和绿地集团利用现有闲置资金可选择投资新能源汽车和投资文化地产，以推进混合所有制改革，使国有资源效益最大化,(2)记事件A为“恒天集团选择投资新能源汽车且盈利”，事件B为“绿地集团选择投资文化地产且盈利”，事件C为“一年后两集团中至少有一个集团盈利”，则CABABAB，且A，B相互独立,假设恒天集团选择投资文化地产，且记Y为恒天集团投资文化地产的盈利金额(单位：亿元)，则Y的所有可能取值为5，0，3.5， 所以随机变量Y的分布列为,【方法规律】 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍

9、的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定,从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少正确回答2题的概率考查，甲通过的可能性大因此可以判断甲的通过能力较强,题型三正态分布的应用 【例5】 (2016云南昆明、玉溪统考)云南省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N(170.5，16)现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组157.5，162.5)，第2组162.5，167.5

10、)，第6组182.5，187.5，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图,(1)试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数； (3)从这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，这2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为，求的数学期望,参考数据：若N(，2)，则 P()0.682 6， P(22)0.954 4， P(33)0.997 4.,【解析】 (1)由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为1600.11650.21700.31750.21800

11、.11850.1171.5(cm)，171.5 cm170.5 cm，故该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值 (2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数和为0.25010，即这50名男生中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10.,【方法规律】 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率注意只有在标准正态分布下对称轴才为x0.,跟踪训练3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现已知该班

12、同学中成绩在8085分的有17人试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人 【解析】 成绩服从正态分布N(80，52)， 80，5，75，85. 于是成绩在(75，85内的同学占全班同学的68.26%.,答题模板系列8 离散型随机变量的均值与方差问题 【典例】 (12分)(2017豫东、豫北十所名校联考)为了了解两种电池的待机时间，研究人员分别对甲、乙两种电池做了7次测试，测试结果统计如下表所示：,(1)试计算7次测试中，甲、乙两种电池的待机时间的平均值和方差，并判断哪种电池的性能比较好，简单说明理由； (2)为了深入研究乙种电池的性能，研究人员从乙种电池待机时间测试的7组数据中随机抽取4组分析

13、，记抽取的数据中大于121的个数为X，求X的分布列及数学期望,【答题模板】 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值 第二步：求每一个可能值所对应的概率 第三步：列出离散型随机变量的分布列 第四步：求均值和方差 第五步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范,【温馨提醒】 (1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范如第(3)问中，不明确写出的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范.,方法与技巧 1均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)(a，b为常数) (2

14、)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p) (3)若X服从二项分布，即XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p),2求离散型随机变量的均值与方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解 (2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解 (3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解 3若X服从正态分布，即XN(，2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.,失误与防范 1在没有准确判断分布列模型之前不能随便套用公式 2对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.,