2022年图形的旋转变换在中考数学试题中的应用 .pdf

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1、图 形 的 旋 转 变 换 在 解 题 中 的 应 用 內容摘 要 ：平面图形的变换主要有平移, 轴对轴 ,旋转,相似等几种 , 旋转变换是一种重要的几何变换,一些久思不得其解的试题, 若能正确运用 旋转变换, 就能开拓学生解题思路 , 提高学习兴趣 , 使问题迎刃而解 , 关键词 ：旋转变换 ,解题应用前言随着新课程标准实施 ,其基本理念对近几年中考数学命题改革产生了重大影响，新课程标准下初中数学教材增添了图形变化问题,使数学更贴近生活，更有利于培养学生实践与操作能力, 形成空间观念和运动变化意识。因此几何变换这一重要数学思想 ,在近几年中考、竞赛试题中频频出现,这使得数学试题解题方法和技巧

2、更加灵活多变。 旋转变换是几何变换中基本变换，由于旋转变换只改变图形的位置 ,而不改变其形状大小 , 这使得原来分散的已知条件和结论， 通过旋转变换几何图形重新组合 ,产生新图形 , 进而揭示条件与结论之间内在的联系,找出解题的途径。下面结合例题谈谈旋转变换在平面几何解题中应用。一, 有关旋转变换的知识1, 旋转变换的定义 ：由一个图形改变为另一个图形,在改变过程中 ,原图形上的所有点都绕一个固定的点,按同一个方向 ,转动同一个角度 , 这样的图形改变叫做旋转变换 ,简称旋转 , 这个固定的点叫做旋转中心, 这个转动的角度叫做 旋转角 。例如, 如图 1将 ABC 绕点 O 按逆时方向旋转 8

3、00得A1B1C1, 在这里点O 叫做旋转中心 , 旋转方向旋转是逆时针 , 旋转角是 8002, 旋转变换 的性质：1旋转变换不改变图形的图状和大小,2对应点到 旋转中心的距离都相等, 3对应点与 旋转中心连线所成的角度等于旋转的角3, 补充知识 , 三角形 旋转变换的定理 1：若将三角形以一顶点为中心, 旋转某一角度, 则笫三边的新旧位置亦夹成此角度的交角下面先来证明这个定理如图 2, 设ABC 以点 A 为中心 ,逆时针旋转一个角度后处于A1B1C1的位置,AD 为ABC 的 BC 上的高 ,AD1为新位置A1B1C1的 B1C1 上的高 , 如图 BC 与 B1C1 交于点 P,求证,

4、 BC 与 B1C1 交角为证明： , 由 AB旋转角后, 到达 AB1的的,而今 AD1BC,ADB1C1而 AD也转到 AD1,的的位 置, DA D1,在四边形 DA D1, P 中ADP A D1, P B1800,圆 A,D,P, D1,四点共圆 , BPB DAD 三角形 旋转变换的定理2 ：若相似三角形中的一个三角形的两边分别垂直于另一个三角形的两边 , 则笫三边也互相垂直。如图 3. 在ABC 和DEF 中,DEAB,DFAC , 则 EFBC 证明 ：将 DEF 作平移变换 , 便 D 与 A 重合, 设其位罝为 AE1F1, 如右图 DE AB, 而 DE AE1，AE1A

5、B, 同样AF1AC, 对 ABC 及AE1F1来说, 它们绕着 A点逆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页时针旋转 900, 由定理 1 可知,E1F1BC, E1F1EF, EFBC ,二, 怎样进行 旋转变换我们在解题时 , 常常会遇到题设和结论中的某些元素, 它们之间的关系 , 在原位罝上不易发现 , 使我们很难思考 , 尤其是初学的学生更感到束手无策, 这时, 若采取适当的变换这里只谈一种旋转变换 , 将它们从原来的位罝变到一种新的位罝 , 使元素间的关系显示得非常清楚, 这样变换后 , 就有利于我们利用某一

6、定理完成解题工作 , 特别是题设中有相等的线段, 如等腰三角形 , 等边三角形 ,正方形 , 一条线段被中点分成两个相等部分, 等等, 这时, 我们更可尝试运用 , 现举数例加以说明。1, 以正三角形为基础的图形的旋转变换例 1,p 为正 ABC 内一点 ,PC3,PA4,PB5,求正三角形的边长，分析：本题中线段PA,PB,PC 如能设法使之成为同一三角形的三边 , 就找到了解题途征考虑到 ABC 是正三角形 , 为此把 BCP绕 C点逆时针方向旋转60得ACP 解： 以 C为中心 , 将BCP 逆时针方向旋转 60, 那么 B落在 A点,P 落在 P点,连接 P P由旋转变换的性质可知 ,

7、 BCP ACP , CP C P, PCP BCA 60, PCP 是正三角形 ,PPPC 3,PAPB 5, PA 4, 因为324252, 即 PP2PA2PA2, 所以 AP P是直角三角形AP P 90,作 AR垂直于 PC于 R, 那么, APR 180609030, AR 2,PR23 ,RC323 在直角三角形 ARC 中,AC22ARCR 2512 3这个例子可推广为 , 若,p为正ABC 内一点 , PAl,PBm,PCn,求ABC 的边长, 其结果为23mnl2, 以正方形为基础的图形的旋转变换例 2, 已知：在正方形ABCD 内有 AEF,EAF 45,E,F 分别在

8、BC,CD上任意滑动 ,如图 , 求证： 1AEF 的高为定值 , 2EFBEFD 证明： 把ABE 绕点 A按逆时针方向旋转90, 在正方形外得 ADG, 则 AE AG, BE DG, FAG EAF 45, AEF AGF, 故 AH AD 定长 , 且 EFFGBEFG 3. 以等腰三角形为基础的图形的旋转变换例3,已知： ABC 中，AB AC ，在 AB C 内有一点 P，使 APB APC ，求证： PC PB证明： 将APC 绕点A 旋转至 AP B，如图 , 连结PP ，由旋转变换的性质可知 , APC AP B,则 AP AP，PC PB,APC AP B，因为 APB A

9、PC，所以 AP B APB，由于 APP AP P ，所以 BPC BP P，于是有 BP BP，而PB P C ，所以 PC PB 4, 旋转180中心对称条件中有中点戓中线例4, 在ABC 中, 点D是AB 边上的中点 ,E丶F分别是 AC 丶BC 上的点 ,试证明 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页DEF 的面积不超过 ADE 和BDF 的面积之和分析：考虑如何把 ADE 和BDF 拼成一块图形 , 然后和 DEF 的面积比较 , 证明：以 D 为对称中心 , 把ADE 旋转180变换成 BDE1, 则四

10、边形 BFDE1是凸四边形 , SADE SBDF SBDE1SBDF S四边形 BFDE1 SDE1FSDEF 当E和A重合或 F和B重合时 , 上式取等号小结：从以上数例可知 , 以正三角形 , 正方形 , 等腰三角形 , 线段的中点或中线为基础的图形的旋转变换, 一般步骤是：1确定旋转中心： , 正三角形 , 正方形一般以顶点为旋转中心, 等腰三角形一般绕顶角的顶点旋转, 中线一般绕中点旋转1 确定旋转对象即被变换的图形, 一般把某一个三角形旋转到新的位罝, 例 1, 例 2, 例 3, 例 4 都是如此 , 2 确定旋转的方向和角度, 旋转的方向只有顺时针或逆时针, 旋转的角度正三角形

11、旋转角一般600, 正方形旋转角一般为900, 等腰三角形旋转角一般为顶角的度数三, 旋转变换的应用1. 直接运用性质解题1如右图所示 , 把ABC 绕点 C 顺时针旋转 350后, 得到A1B1C, A1B1交 AC 于点 D, 若A1DC900, 则A的度数是,A350,.B500,. C550, . D600,2如图 , COD 是AOB 绕点 O 旋转 400后所得的图形 ,点 C 恰好在 AB 上, AOD 900,则B的度数是 度3如下图 1所示, 已知在 AOB 与DEF 中,ABEF BE,ECBD, 显然有 ABCFED, 若图形经过平移和 旋转得到图 2 且有 EDB250

12、, A660,则AMD 的度数是 度, 若将图形继续 旋转后得到图 3, 此时 D,.F,B三点在同一条直线上 , 且有 DE2DF, 连结 EB, 已知 EFB 的面积为 5cm2, 则四边形 ABED 的面积为多少？答案 1迭 B, 2B的度数是 6003AMD 的度数是 890四边形 ABED 的面积为 15 cm22 解决实际问题 ,例 5,有甲乙丙三个村庄 , 要在中间建一供水站向三村送水, 现要确定供水站的位置, 使所需管道总长最小 , 解： 首先实际问题数学化 ,在ABC 内求一点 O, 使 OA OB OC最小, 由此可见, 所找的位置点 O 实际上就是 ABC 的费马点证明费

13、马点 , a当 ABC 所有内角 120 时如图 ,O 是锐角 ABC 内一点 , 且AOBBOCCOA120,P 是ABC 内异于 O 的仼意一点 , 求证： PA PB PC OA OB OC分析：这里的两组线段PA PB PC和 OA OB OC 都不在同一条线段上 , 难以比较 , 我们设法通过精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页旋转变换 , 使 OA,OB,OC 接成一条线段 , 注意到AOBBOCCOA120, 若旋转角等于60, 可能成功 ,证明： , 不仿认为 P在ABC 内, 把OAB 绕 B 点逆时

14、针方向旋转到 OAB, 点 P 转到 OAB 内的点 P, 连结 PA,PP,OO则OBO , PBP 都是正三角形 , OO OB, ,OAOA ,PAPA, PPPB. AO BAOB 120, BOC 120, 故有 C,O,O,A共线 , 旦 ACOA OO OC OA OB OC,P APPPC PA PB PC, 无论 P在ABC 内的位罝如何, 由干 P 与 O 不重合, 知 APPC 是折线 , 其长度大于线段 AC 的长度 , ,PA PB PC OA OB OCb如果三角形有一个内角大于或等于120 ，这个内角的顶点就是费马点证略,3, 用旋转变换的方法解作图题我们在研究作

15、图题时， 一般都先进行分析 假定要求作的图形认为可以作出，可先画一个草图来表示 若作图的问题比较简单， 已知的元素和求作的元素间关系明显，直接有定理可用，则可立即进行作图但有不少题目，却不是这样往往图形中的各种元素不是集中在一起，分散相离， 很难用定理把两者联系起来，这就会使我们产生无从落笔的困难，尤其是初学者更是如此 此时，不仿采取各种变换的方法， 如合同变换， 相似变换等等 这里只谈合同变换中一种旋转变换通过图形中某些元素的旋转变换，使之相对集中， 显现出已知与求作中元素之间的关系 ,，揭露出它们的内在联系 ，从而得到作图方法下面通过一-些实例，说明如何运用旋转变换来解作图例 6,求作一个

16、正三角形，使它的三个顶点分别落在已知三条平行线上已知三条平行线 L1,L2, 和 L3如图求作一个正三角形ABC, 使 A,B,C 三点分别落在， L1,L2, 和与 L3上分析：假定已经作得正 ABC，如右图在L1 上我们可以任取一点A，作为正ABC 的一个顶点。再在L2 上取一点 B，连结 AB 作为正三角形的一边显然，其第三个顶点C 不一定刚落在L3 上我们为了从易到难，先放弃这个第三顶点必须在 L3 上的条件这样，就有了很大的“自由度 ，在 L2 上可以任取一点又为了简单,方便，我们可以过 A 作 ABL2，与 L2 相交于 B 也就是说，在 L2 上取一点 B ，使 ABL2，从而以

17、 AB为一边作出一个正 ABC ，如上图这时一般说来， C 点不会恰巧落在 L3 上所以现在的问题是如何把C移到 L3 上去 ， 很容易想到 (假定正 ABC 已经作得如图 )只要将 ABB 绕着A 点，以逆时针方向旋转6 OO，即可到达 ACC 的位置作法：在 L1上任取一点 A, 过 A 作 AB1 L2 与 L2 交于 B1,以 AB1为一边作正AB1C1过 C1作A C1C 900, C1C与 L3相交干 C 点, 连结 AC 作CAB 600与L2 相交干 B, 连结 BC, 即得 ABC,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

18、4 页，共 5 页证： B1A C1BAC 600, B1ABC1AC, 又 AB1AC1, AB1 BAC1C 900, AB1BAC1C, AB AC, 但BAC 600, ABC 为正三角形, 亦即为所求之三角形4, 用旋转变换的方法解中考题例7, （07年临沂市）如图 61，已知 ABC 中，AB BC 1，ABC 90，把一块含30角的直角三角板 DEF 的直角顶点 D放在AC 的中点上 ( 直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为 DF ) ，将直角三角板 DEF 绕D 点按逆时针方向旋转。 (1) 在图61中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N。证明 DM DN ；在这一旋

19、转过程中，直角三角板DEF 与ABC 的重叠部分为四边形 DMBN ， 请说明四边形 DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；(2) 继续旋转至如图 62的位置， 延长AB交DE于M， 延长BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 继续旋转至如图 63 的位置，延长 FD交 BC于 N，延长 ED交 AB于 M ，DM DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。简解： (1) 连结 证明BMD CND 即可, 四边形 DMBN 的面积不发生变化 ,四边形 DMBN 的面积为14, (2) DM DN仍然成立 , DM DN. 总结通过以上例题分析 , 可知旋转变换在平几解题中如能恰当而灵活地应用, 会使部分难题化难为易 , 迎刃而解 , 旋转变换是新教材增添内容,掌握旋转变换的思想和方法 , 不但有助于学生开拓思路, 提高兴趣 , 增强解题能力 , 更重要在今后学习解析几何、复数领域打下良好的基础, 更好地为祖囯建设服务。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页