2022年完整word版,圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习 .pdf

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1、圆锥曲线大综合第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题一常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一： 存在性问题 （存在点， 存在直线ykxm，存在实数， 三角形 （等边、 等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二热点问题1. 定义与轨迹方程问题 2. 交点与中点弦问题 3. 弦长及面积问题 4. 对称问题 5. 范围问题 6. 存在性问题 7. 最值问题 8

2、. 定值，定点，定直线问题第二部分知识储备一与一元二次方程20(0)axbxca相关的知识（三个“二次”问题）1.判别式：24bac2.韦达定理：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不等的实数根12,x x，则12bxxa，12cxxa3.求根公式：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不等的实数根12,x x，则21,242bbacxa二与直线相关的知识1.直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2.与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率：tany，0,)

3、；点到直线的距离公式：0022AxByCdAB（一般式） 或00221kxybdk（斜截式）3.弦长公式：直线ykxb上两点1122(,),(,)A x yB xy间的距离：22212121212211(1)()4(1)ABkxxkxxx xAByyk或4.两直线1111122222:,:lyk xb lyk xb的位置关系：12121llkk121212/ /llkkbb且5.中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x yB xy，若点,Mx y线段AB 的中点，则1112,22xxyyxy三圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。文

4、科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线1.圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。2.圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程双曲线的标准方程抛物线的标准方程3.圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数, ,a b c三者的关系，p的几何意义等4.圆锥曲线的其他知识：通径：椭圆22ba，双曲线22ba，抛物线2p焦点三角形的面积：p在椭圆上时122tan2F PFSbVp在双曲线上时122/ tan2F PFSbV四常结合其他知识进行综合考查1 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相

5、关的知识3 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质5 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五不同类型的大题（1）圆锥曲线与圆例 1.（本小题共14 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基

6、本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得，所求双曲线的方程为. （）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得. 由及得，切线与双曲线C 交于不同的两点A、B，且，且，设 A、B两点的坐标分别为，则，且，2222:1(0,0)xyCabab333xCl22:2Oxy0000(,)(0)P xyx ylC,A BAOB2333acca1,3ac2222bcaC2212yx0000,0P xyx y222xy00,P xy0000 xyyxxy002x xy y2200122yxx xy y22002xy222000344820 xxx xxl2002x20340 x222000164 34

7、820 xxx1122,xyxy20012122200482,3434xxxxx xxxcosOA OBAOBOAOBu uu r uuu ru uu ruuu r121212010220122OA OBx xy yx xx xx xyuu u r u uu r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页. 的大小为. 【解法 2】 （）同解法1.（） 点在圆上，圆在点处的切线方程为， 化简得. 由及得切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设 A、B 两点的坐标分别为，则，的大小为. （且，从而当时，方程和方程的判别式均大

8、于零）. 练习 1：已知点是椭圆的左顶点， 直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点. 且当时，的面积为. （）求椭圆的方程；212012012201422x xxxxx x xx222200002222000082828143423434xxxxxxxx22002200828203434xxxxAOB900000,0P xyx y222xy00,P xy0000 xyyxxy002x xy y2200122yxx xy y22002xy222000344820 xxx xx222000348820 xyy xxl2002x20340 x1122,x yxy2200121222008228,3434

9、xxx xy yxx12120OA OBx xy yuuu r uuu rAOB9022002xy000 x y220002,02xy20340 xA22:109xyCtt:1()lxmymRC,E FxB0mAEF163C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页（）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由. （2）圆锥曲线与图形形状问题例 2.1已知 A，B， C 是椭圆 W：24xy21 上的三个点， O 是坐标原点(1)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形

10、的面积；(2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由解： (1) 椭圆W：24xy2 1 的右顶点B的坐标为 (2,0) 因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A(1 ，m) ，代入椭圆方程得14m21，即m32. 所以菱形OABC的面积是12|OB| |AC| 1222|m| 3. (2) 假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为ykxm(k0，m0)由2244,xyykxm消y并整理得 (1 4k2)x28kmx4m24 0. 设A(x1，y1) ，C(x2，y2)，则1224214x

11、xkmk，121222214yyxxmkmk. 所以AC的中点为M224,1414kmmkk. 因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为14k. 因为k14k 1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形练习 1：已知椭圆C：)0(12222babyax过点 (2，1)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.()求椭圆的标准方程；()设M,)x y（是椭圆 C 上的动点，P,0)p（是X轴上的定点， 求MP的最小值及取最小值时点M的坐标 .AEAF3xMNMNB精选学习资料 - - - - - -

12、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页（3）圆锥曲线与直线问题例 3.1已知椭圆22:24Cxy，（1）求椭圆C的离心率 .（2）设O为原点， 若点A在椭圆C上，点B在直线2y上，且OAOB，求直线AB与圆222xy的位置关系，并证明你的结论.解析：椭圆的标准方程为：22142xy，2a，2b则2c，离心率22cea; 直线AB与圆222xy相切 . 证明如下：法一：设点AB的坐标分别为002xyt，其中00 x. 因为OAOB，所以0OA OBu uu ru uu r，即0020txy，解得002ytx. 当0 xt 时，202ty，代入椭圆C的方程，得

13、2t, 故直线AB的方程为2x. 圆心O到直线AB的距离2d. 此时直线AB与圆222xy相切 . 当0 xt时，直线AB的方程为0022yyxtxt，即0000220yxxt yxty. 圆心 O 到直线AB的距离00220022xtydyxt. 又220024xy，002ytx，故2200000242220000022002422481642yxxxxdyxxxyxx. 此时直线AB与圆222xy相切 . 法二：由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线 OA 的方程为ykx， OAOB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6

14、 页，共 14 页当0k时，20A，易知02B，此时直线AB的方程为2xy或2xy，原点到直线AB的距离为2，此时直线AB与圆222xy相切；当0k时，直线OB的方程为1yxk，联立2224ykxxy得点A的坐标22221212kkk或22221212kkk；联立12yxky得点B的坐标22k，由点A的坐标的对称性知，无妨取点A22221212kkk进行计算，于是直线AB的方程为：22222212122222112212kkkkyxkxkkkkk，即22212112220kkxkkyk，原点到直线AB的距离2222222212112kdkkkk, 此时直线AB与圆222xy相切。综上知，直线A

15、B一定与圆222xy相切 . 法三：当0k时，20A，易知02B，此时22OAOB，22222 2AB，原点到直线AB的距离22222OAOBdAB， 、此时直线AB与圆222xy相切；当0k时，直线OB的方程为1yxk，设1122A xyB xy，则211OAkx，22212 1OBkyk ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页联立2224ykxxy得点A的坐标22221212kkk或22221212kkk；于是2222 1112AkOAkxk，22 1OBk, 222224 12 2 14 11212kkABkk

16、k，所以222222 12 112222 112kkOAOBkdABkk, 直线AB与圆222xy相切；综上知，直线AB一定与圆222xy相切练习 1：已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(0,1)， 且长轴长是焦距的2倍. 过椭圆左焦点 F的直线交椭圆C于 A，B两点， O 为坐标原点 .（）求椭圆C的标准方程；（）若直线 AB 垂直于 x 轴，判断点 O 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；（）若点O 在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围 .（4）圆锥曲线定值与证明问题例 4.1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上的点到两个焦

17、点的距离之和为4（）求椭圆C的方程；（） 设A为椭圆C的左顶点， 过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P证明：2| | 2|AMANOP解： （）设椭圆C的标准方程为22221(0)xyabab，由题意知222,3,224,abccaa解得2a，1b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页所以椭圆C的标准方程为2214xy5 分（）设直线AM的方程为：(2)yk x，则(0,2 )Nk由22(2)44,yk xxy，得2222(1+4)161640kxk xk（* ） 设( 2,

18、0)A，11(,)M xy，则2，1x是方程（ *）的两个根，所以2122814kxk所以222284(,)1414kkMkk22222228284|()()1414kkkAMkk2222216 164 1(1 4)1 4kkkk22|442 1ANkk222224 12 18(1)|1414kkkAMANkk设直线OP的方程为：ykx由2244,ykxxy，得22(14)40kx设00(,)P xy，则202414xk，2202414kyk所以22244|14kOPk，222882|14kOPk所以2| | 2|AMANOP例 4.2:已知椭圆C ：22221Xyab（ab0）的离心率为32

19、，A （a,0 ）,B(0,b)，O （0，0） ， OAB的面积为1. （I ）求椭圆C的方程；(I I)设 P的椭圆 C上一点，直线PA与 Y轴交于点M ，直线 PB与 x 轴交于点N。求证：ANBM?为定值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页练习 1：已知椭圆的离心率为, 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为. ( ) 求椭圆的方程 ; ( ) 已知动直线与椭圆相交于、两点. 若线段中点的横坐标为, 求斜率的值; 若点, 求证 :为定值 . 练习 2：已知抛物线 C : y2 2 px（ p 0）

20、 ，其焦点为 F，O为坐标原点，直线AB （不垂直于x轴）过点 F 且抛物线 C交于A，B两点，直线 OA 与OB的斜率之积为p （1）求抛物线 C 的方程；（2）若 M 为线段 AB 的中点，射线 OM 交抛物线 C 于点D ，求证：|ODOM2:C22221(0)xyabab635 23C(1)yk xCABAB12k7(,0)3MMA MBu uu r uuu r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页练习 3：动点),(yxP到定点)0, 1(F的距离与它到定直线4: xl的距离之比为21. ( ) 求动点P的

21、轨迹C的方程；（）已知定点( 2,0)A，(2,0)B，动点(4, )Qt在直线l上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M,作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：,M N F三点共线 .（5）圆锥曲线最值问题例 5： 已知椭圆:C22221(0)xyabab的离心率为32，椭圆C与y轴交于AB，两点，|2AB. （）求椭圆C的方程；（）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧 . 直线PA，PB与直线4x分别相交于MN，两点 . 若以MN为直径的圆与x 轴交于两点EF，求点P横坐标的取值范围及|EF的最大值 . 解： （）由题意可得，1b，1 分32cea，2 分得22134aa，3

22、分解24a，4 分椭圆C的标准方程为2214xy. 5 分（）设000(,)(02)P xyx，(0,1)A，(0, 1)B，所以001PAykx，直线PA的方程为0011yyxx，6 分同理：直线PB的方程为0011yyxx，直线PA与直线4x的交点为004(1)(4,1)yMx，7 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页直线PB与直线4x的交点为004(1)(4,1)yNx，线段MN的中点004(4,)yx，8 分所以圆的方程为22200044(4)()(1)yxyxx，9 分令0y，则222002016(4)

23、(1)4yxxx，10 分因为220014xy，所以2020114yx，11 分所以208(4)50 xx，因为这个圆与x轴相交 , 该方程有两个不同的实数解，所以0850 x，解得08(,25x. 12 分设交点坐标12(,0),(,0)xx，则1208| 2 5xxx（0825x）所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. 14 分练习1：已知椭圆 C：22221xyabab的一个焦点为F(2，0)，离心率为63。过焦点F 的直线 l 与椭圆 C交于A， B两点，线段AB中点为 D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于 M，N 两点。（1）求椭圆 C 的方程；（2）求四边形 AMBN 面积的最

24、大值。练习 2：已知椭圆C：2231(0)mxmym的长轴长为26，O为坐标原点 .（）求椭圆C的方程和离心率；（）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在 y 轴的右侧，若| |BABP ，求四边形OPAB面积的最小值 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页（6）圆锥曲线存在性问题例 6.已知椭圆C：012222babyax的离心率为22，点1 ,0P和点0,mnmA都在椭圆C上，直线PA交 x 轴于点M（）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m n 表示） ；（）设O为原点，点B与点A关于x轴对

25、称，直线PB交x轴于点N问：y轴上是否存在点 Q ，使得ONQOQM？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由解析 : （I）由题意得,22, 1222cbaacb解得22a，故椭圆C的方程为.1222yx设).0,(MxM因为0m，所以.11n直线PA的方程为xmny11，所以nmxM1，即).0,1(nmM因为点B与点A关于x轴对称，所以nmB,.设)0,(NxN，则nmxN1.“存在点),0(QyQ使得ONQOQM” 等价于 “存在点),0(QyQ使得ONOQOQOM” ，即Qy满足NMQxxy2.因为nmxM1，nmxN1，. 1222nm所以2Qy或2Qy，故在y轴上存在点Q，使得

26、ONQOQM，点Q的坐标为)2,0(或)2,0(.练习 1：设F 1， F 2分别为椭圆22221xyabab的左、右焦点，点P（1，32） 在椭精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页圆E 上，且点 P 和 F1关于点 C（0，34） 对称。（1）求椭圆 E 的方程；（2）过右焦点 F2的直线 l与椭圆相交于A，B两点，过点 P且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点 Q ，问是否存在直线l ，使得四边形 PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。练习 2：设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点与抛物线：x24 2y 的焦点重合， F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e33，过椭圆右焦点F2的直线 l 与椭圆C 交于M、N 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在直线l，使得OMONu uu u ru uu r 1，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页