2022年完整word版,西安交通大学2021年线性代数期末考试试题 .pdf

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1、共 4 页第 1 页西 安 交 通 大 学 考 试 题课程线性代数与空间解析几何（A）卷学院专业班号考 试 日 期2010 年 1 月 15 日姓名学号期末题号一二三四五六七八得分一、单项选择题 (每小题 5 分,共 15 分) (1).设 A 为三阶方阵 ,将 A 的第 2 行加到第 1 行得矩阵 B，再将 B 的第 1 列的1倍加到第 2 列得矩阵 C，记矩阵110010001P, 则(A) 1CPAP. (B) 1CPAP. (C) TCP AP. (D) TCPAP. 【】(2). 设有线性方程组 (I) : AXO ， (II):TA AXO,则(A) (II) 的解是 (I)的解，

2、 (I)的解也是 (II)的解; (B) (II) 的解是 (I)的解，但 (I)的解不是 (II) 的解; (C) (I)的解不是 (II)的解， (II) 的解也不是 (I)的解; (D) (I) 的解是(II) 的解，但 (II) 的解不是 (I)的解;. 【】(3) 若n阶方阵 A 相似于对角阵，则(A) A 有n个不同的特征值 ; (B) A 为实对称阵 ; (C) A 有n个线性无关的特征向量 ; (D) nr)(A. 【】二、填空题 (每小题 5 分,共 15 分) (1). 设2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵1213A的一个特征值为. (2). 矩阵2010B，则二次型(

3、)Tf xx Bx的矩阵为.成绩精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页共 4 页第 2 页(3). 已 知123,是 四 元 方 程 组AXb 的 三 个 解 ， 其 中()3r A且1223(1,2,3,4) ,(4, 4,4,4)TT，则方程组AXb的通解为三、 (12 分) 证明两直线1:4lxyz,2:lxyz异面；求两直线间的距离；并求与12,l l都垂直且相交的直线方程。四、(12 分)线性方程组123113112112xxx讨论取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时 , 求出该方程组

4、的结构式通解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页共 4 页第 3 页五、 (12 分).已知二次曲面方程2222224xayzbxyxzyz可经过正交变换xxyP yzz化为柱面方程224 4yz，求,a b的值及正交矩阵 P. 六、(12 分) 设101020101A,矩阵X满足2AXIAX，其中I为三阶单位矩阵，求矩阵X.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页共 4 页第 4 页七、(12 分) (注意:学习过第 8章“线性变换”者做第

5、(2)题,其余同学做第 (1)题) (1) 矩阵1123130101111432A，线性空间4|Vb bFAx，方程组=b有解求V 的基与维数 . (2) 设3TL R,T 在3R 的基123( 1,1,1) ,(1,0, 1) ,(0,1,1)TTT下的矩阵为101110121A，求 T 在基123(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1)TTT下的矩阵.八、(10 分)设12,nL是n维列向量组，矩阵111212122212TTTnTTTnTTTnnnnALLMMOML试证明12,nL线性无关的充要条件是对任意n维列向量 b， 方程组 AXb均有解。西安交通大学本科生课程考试试题标

6、准答案与评分标准课程名称：线性代数与几何（A） 课时： 48 考试时间： 2010 年 1 月 15 日精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页共 4 页第 5 页一.单选题（ 5 分3=15分） 1.B 2. A 3. C 二.填空题（ 5 分3=15分） 1. 432.0212123. (3,2,1,0)(2, 2,2,2) ,TTkk为任意常数三.（12 分）T2T1)1 , 1 , 1(,)1 , 1 , 1 (aa取点11)4,0,0(lP，点22)0 ,0 ,0(lP,)4,0 ,0(21PP混合积08,212

7、1PPaa，故12,l l异面1l与2l的距离121212|82 22 2aaPPdaauuu u rvvvv公垂线 l 的方向向量) 1, 1 ,0/(l含1,ll的平面方程为2(0)1(0)1(4)0 xyz含2, l l的平面方程为2(0)1(0)1(0)0 xyz故公垂线 l 的方程为 : 24020.xyzxyz四.（12 分）) 1(3)1)(2(000)1 (10211211211311A当2且1时,3)()(ArAr方程组有唯一解当2时,3)(,2)(ArAr方程组无解 当1时,11120000, ()()130000Ar AA方程组有无穷多解,取一个特解T)0 ,0 ,2(,

8、易得导出组的一个基础解系为:TT12( 1,1,0) ,( 1,0,1), 故结构式通解为2211ccx,21cc为任意常数五.记410,111111DabbA，有DAPPAPPT1，4, 1,0321. 2) 1(|41011410bAa,故1,3 ba对01，解0)0(xAI,得属于1的特征向量T)1,0 , 1(；对12，解0)1(xAI,得属于2的特征向量T) 1 , 1, 1(；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页共 4 页第 6 页对43，解0)4(xAI,得属于3的特征向量T)1 , 1 , 1 (. 将

9、上述 3 个特征向量再正交化，单位化，得正交矩阵61312162310613121P六、 （12 分）由题知),)()(2IAIAIAXIA001010100IA可逆故1201()()()030102XAIAIAIAI七、 （12 分）1. W 的基与维数为 A的列向量组的极大无关组和秩. 记4321A，可计算出 A的极大无关组为321,，故W 的基为321,，维数为 3 2. 基321,到321,的过渡矩阵记为 P即P111101011100010001则 T 在321,下的矩阵为2030222111PAP八.（10 分） 记12,nDL由n,1线性无关知|0D而T2| |0AD DD，即 A可逆, 故对任意n维列向量 b ，方程组 AXb均有解1XA b。 分别取12,nbL, 由方程组 AXb均有解知，12,nL与 A的列向量组等价 ,故( )r An，从而T2| |0AD DD,得|0D故n,1线性无关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页