2022年完整word版,最全圆锥曲线知识点总结 .pdf
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1、1 高中数学椭圆的知识总结1. 椭圆的定义 :平面内一个动点P 到两个定点12,FF的距离之和等于常数(12122PFPFaF F) ,这个动点 P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注意: 若1212PFPFF F,则动点P的轨迹为线段12F F;若1212PFPFF F,则动点 P的轨迹无图形 .(1)椭圆 :焦点在x轴上时12222byax(222abc)cossinxayb(参数方程,其中为参数),焦点在y轴上时2222bxay 1(0ab) 。2. 椭圆的几何性质:( 1)椭圆 (以12222byax(0ab)为例):范围:,axabyb;焦点:两
2、个焦点(,0)c;对称性:两条对称轴0,0 xy,一个对称中心(0,0 ) ,四个顶点(,0),(0,)ab,其中长轴长为2a,短轴长为2b; 离心率:cea,椭圆01e,e越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。( 2).点与 椭圆的位置关系:点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab;点00(,)P xy在椭圆上220220byax1;点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab3直线与圆锥曲线的位置关系:(1)相交:0直线与椭圆相交; ( 2)相切:0直线与椭圆相切;(3)相离:0直线与椭圆相离;如: 直线 ykx 1=0 与椭圆2215xym恒有公共点,则m 的取值范围是 _;
3、4. 焦点三角形 (椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形)5. 弦长公式 :若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且12,xx分别为 A、B 的横坐标,则AB2121kxx,若12,yy分别为 A、B 的纵坐标,则AB21211yyk,若弦AB 所在直线方程设为xkyb,则AB2121 kyy。6. 圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中,以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb;如( 1)如果椭圆221369xy弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是;(2)已知直线y=x+1 与椭圆22221(
4、0)xyabab相交于 A、 B 两点,且线段AB 的中点在直线 L:x 2y=0 上,则此椭圆的离心率为_;(3)试确定 m 的取值范围,使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称;特别提醒 :因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!椭圆知识点的应用1. 如何确定椭圆的标准方程?任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件ba,;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类
5、型。2. 椭圆标准方程中的三个量cba,的几何意义椭圆标准方程中,cba,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:)0(ba,)0(ca,且)(222cba。可借助右图理解记忆:cba,恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边, b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看2x,2y的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。4方程均不为零)CBACByAx,(22是表示椭圆的条件方程CByAx22可化为122CByCA
6、x,即122BCByACx,所以只有A、B、C同号,且 AB时,方程表示椭圆。 当BCAC时,椭圆的焦点在x轴上; 当BCAC时,椭圆的焦点在y轴上。5求椭圆标准方程的常用方法:待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数cba,的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页2 共 焦 点 , 则c相 同 。 与 椭 圆12222by
7、ax)0(ba共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可 设 为12222mbymax)(2bm,此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于x轴、 y 轴、原点对称的依据: 若把曲线方程中的x换成x,方程不变,则曲线关于y 轴对称; 若把曲线方程中的y 换成y ,方程不变,则曲线关于x轴对称; 若把曲线方程中的x、 y同时换成x、y ,方程不变,则曲线关于原点对称。8如何求解与焦点三角形PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题?思路分析:与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF相结合的方法进行计算
8、解题。将有关线段2121FFPFPF、,有关角21PFF (21PFF21BFF) 结合起来,建立21PFPF、21PFPF之间的关系 . 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?长 轴与 短轴的 长短 关系 决 定 椭 圆 形状 的变 化。 离 心 率) 10(eace,因 为222bac,0ca,用ba、 表示为) 10()(12eabe。显然:当ab越小时,) 10(ee越大,椭圆形状越扁;当ab越大,) 10(ee越小,椭圆形状越趋近于圆。题型 1:椭圆定义的运用例 1.已知1,F F为椭圆221259xy的两个焦点,过1F的直线交椭圆于A、B 两点若2212F AFB,则AB_. 例
9、 2.如果方程222xky表示焦点在x 轴的椭圆,那么实数k 的取值范围是_. 例 3.已知P为椭圆2212516xy上的一点,,M N分别为圆22(3)1xy和圆22(3)4xy上的点,则PMPN的最小值为题型 2: 求椭圆的标准方程例 1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点(3,2),( 2 3,1)AB;(2)经过点 (2, 3)且与椭圆229436xy具有共同的焦点;(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为42 4. 题型 3:求椭圆的离心率例 1、ABC中,30 ,2,3,oABCAABSV若以,A B为焦点的椭圆经过点C,则椭圆的离
10、心率为. 例 2、过椭圆的一个焦点2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于P,若12F PF为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为题型 4:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)例 1.已知实数, x y满足22142xy,则22xyx的范围为例 2.已知点,A B是椭圆22221xymn(0,0mn)上两点 ,且AOBOuuu ruu u r,则= 题型 5:焦点三角形问题例 1.已知12,FF为椭圆22194xy的两个焦点, p 为椭圆上的一点,已知12,P FF为一个直角三角形的三个顶点,且12PFPF,求12PFPF的值 . 例 2.已知12,FF为椭圆 C:22184xy的两个焦点,在C 上满足
11、12PFPF的点的个数为. 例 3.已知椭圆的焦点是) 1 , 0 (),1, 0(21FF,且离心率1e2 求椭圆的方程 ; 设点 P 在椭圆上,且121PFPF,求 cos21PFF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页3 题型 6: 三角代换的应用例 1.椭圆221169xy上的点到直线l:90 xy的距离的最小值为_例 2.椭圆221169xy的内接矩形的面积的最大值为题型 7:直线与椭圆的位置关系的判断例 1.当m为何值时,直线yxm与椭圆221169xy相交?相切?相离?例 2.若直线)(1Rkkxy与椭
12、圆1522myx恒有公共点,求实数m的取值范围;题型 8:弦长问题例 1.求直线24yx被椭圆224199xy所截得的弦长. 例 2.已知椭圆2212xy的左右焦点分别为F1,F2,若过点P( 0,-2)及 F1的直线交椭圆于A,B两点,求 ABF2的面积;题型 9:中点弦问题例1. 求以椭圆22185xy内的点 A(2,-1)为中点的弦所在的直线方程。例 2. 中心在原点,一个焦点为1(0,50)F的椭圆截直线32yx所得弦的中点横坐标为12,求椭圆的方程例 3. 椭圆221mxny与直线1xy相交于 A、 B两点,点 C 是 AB的中点若2 2AB,OC的斜率为22(O为原点),求椭圆的方
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