2022年小学数学比和比例问题知识汇总及解析例题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载小学数学知识总结之比和比例应用题【求比的问题】例 1 两个同样容器中各装满盐水。 第一个容器中盐与水的比是23，第二个容器中盐与水的比是 34，把这两个容器中的盐水混合起来，则混合溶液中盐与水的比是_。（无锡市小学数学竞赛试题）则混合溶液中，盐与水的比是：某电子产品去年按定价的80出售，能获利 20，由于今年买入价降（1994 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）即：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载【比例问题】例 1 甲、乙两包糖的重量比是41，如果从甲包取出10 克放入乙包后，甲、乙

2、两包糖的重量比变为75 那么两包糖重量的总和是_克。（1989 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）例 2 甲容器中有纯酒精11 升，乙容器中有水 15 升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器， 使酒精与水混合。 第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5，乙容器中纯酒精含量为25，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是_升。（1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：因为现在乙容器中纯酒精含量为25，所以，乙容器中酒精与水的比为25（ 1-25）=13 第一次从甲容器中倒5 升纯酒精到乙容器，才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是 515=13 又甲容器

3、中纯酒精含量为62.5 ，则甲容器中酒精与水的比为62.5 （1-62.5 ）=53 第二次倒后，要使甲容器中纯酒精与水的比为53，不妨把从甲容器中倒入乙容器的混合液中纯酒精作1 份，水作 3 份。那么甲容器中剩下的纯酒精便是11-5=6（升）6 升算作 4 份，这样可恰好配成53。而第二次从乙容器倒入甲容器的混合液共为13=4（份），所以也应是6 升。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载一.比的意义和性质（1） 比的意义两个数相除又叫做两个数的比。“ ：” 是比号，读作 “ 比” 。比号前面的数叫做

4、比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。比的后项不能是零。根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值（2）比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0 除外） ，比值不变，这叫做比的基本性质。（3） 求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、 后项是互质的数。（4）比例尺图

5、上距离：实际距离=比例尺要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。（5）按比例分配在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。2 比例的意义和性质（1） 比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。（2）比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。（3）解比例根

6、据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。3 正比例和反比例（1） 成正比例的量两种相关联的量，一种量变化， 另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k( 一定）（2）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x y=k(一定 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

7、- - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载二 正反比例问题【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简

8、捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。例 1 修一条公路，已修的是未修的1/3 ，再修 300 米后，已修的变成未修的1/2 ，求这条公路总长是多少米？例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算， 91 分钟可以做几道应用题？关键：做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系例 3 孙亮看十万个为什么这本书，每天看24 页，15 天看完，如果每天看36 页，几天就可以看完？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载三 按比例分配问

9、题【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47 人，二班有48 人，三班有 45 人，

10、三个班各植树多少棵？例 2 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是345。三条边的长各是多少厘米？例 3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子， 大儿子分总数的1/2 ，二儿子分总数的 1/3 ，三儿子分总数的1/9 ，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。例 4 某工厂第一、二、三车间人数之比为81221，第一车间比第二车间少80 人，三个车间共多少人？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载四 列方程例 1 甲乙两班共 90 人，甲班比乙班人数的2 倍少

11、 30 人，求两班各有多少人？例 2 仓库里有化肥 940 袋，两辆汽车 4 次可以运完，已知甲汽车每次运125 袋，乙汽车每次运多少袋？智趣题学校买了 4 张办公桌和 1 把椅子，共用去 510 元，后又买来 6 张办公桌和 1 把椅子共用去 750 元。求每张办公桌和每把椅子各多少元？作业1一台拖拉机第一天上午3 小时平均每小时耕地7.8 公亩，下午4 小时平均每小时耕地8.1 公亩，第二天用了 5 小时耕地38.4 公亩，正好完成任务。这台拖拉机平均每天耕地多少公亩? 2王、张两人各带同样多的钱去商店买花布，同种的花布小王买了9 米，小张买了6 米。王向张借了12元，两人的钱刚好用完。这

12、种花布每米多少元? 比的应用练习题1、两个相同的瓶子都装满了酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积比是3 ：1，另一个瓶中酒精与水的体积比是4 ：1。如果把这两个瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒精和水的比是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载（）。2、五 角人 民币 与贰角 人民 币的 张 数 比 为12 ： 35， 那 么 伍 角与 贰角 的总 钱数 比为（）。3、甲、乙、丙三个数的平均数是60。甲、乙、丙三个数的比是3 ：2 ：1。甲、乙、丙三个数各是多少？4、一个直角三角形的两个锐角度数的比是2 ：1，

13、这两个锐角分别是多少度？5、大、小两瓶油共重 2.7 千克，大瓶的油用去0.2 千克后，剩下的油与小瓶内油的重量比是3 ：2。求大、小瓶里各装油多少千克？6、甲、乙、丙三位同学共有图书108 本，乙比甲多 18 本，乙与丙的图书数之比是5 ：4，求甲、乙、丙三人各有图书多少本？7、一个直角三角形的三条边总和是60 厘米，已知三条边的比是3 ：4 ：5. 这个直角三角形的面积是多少平方厘米？8、一个直角三角形的周长为36 厘米，三条边的长度比是3 ：4 ：5，这个三角形的面积是多少平方厘米？9、一瓶盐水，盐和水的重量比是1 ：24，如果再放入 75 克水，这时盐与水的重量比是1 ：27，原来瓶内

14、盐水重多少千克？10、盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是2 ：3，红球个数与白球个数的比是 4 ：5。已知三种颜色的球共175 个，红球有多少个？11、王老师用 100 元去买了 20 支圆珠笔和 10 支钢笔，每支钢笔的价钱和每支圆珠笔的价钱的比是 3 ：1。问买圆珠笔和钢笔各花了多少元？12、甲、乙两包糖果的重量的比是4 ：1，如果从甲包取出10 克放入乙包后，甲、乙两包糖果重量的比变为 7 ：5。那么两包糖果重量的总和是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载13、某小学男、女生人

15、数之比是16 ：13，后来有几位女生转学到这所学校，男、女生人数之比变成为 6 ：5，这时全体学生共有880 人，问转学来的女生有多少人？14、小明读一本书，已读的和末读的页数比是1 ：5。如果再读 30 页，则已读的和末读的页数之比为 3 ：5。这本书共有多少页？15、运输队要运一批货物，已经运走的和剩下的比是1 ：4。如果再运走4 吨，那么运走的和剩下的比为 3 ：7。这批货物共多少吨？16、甲、乙、丙三人的彩球数的比例为9：4：2，甲给了丙 30 个彩球，乙也给了丙一些彩球，比例变为 2 ：1 ：1。乙给了丙多少个彩球？溶液问题一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量. 放多少水和放

16、多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容. 从一些基本问题开始讨论. 例 15 基本问题一（1）浓度为10，重量为80 克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8的糖水？（2）浓度为20的糖水40 克，要把它变成浓度为40的糖水，需加多少克糖？解：（ 1）浓度 10，含糖 80 10 8 （克），有水80-872（克） . 如果要变成浓度为8，含糖8 克，糖和水的总重量是88 100（克），其中有水100-8 92（克） . 还要加入水 92- 72 20 （克） . （2）浓度为2

17、0，含糖4020 8（克），有水40- 8 32 （克） . 如果要变成浓度为40， 32 克水中，要加糖x 克，就有x3240（ 1-40），例 16 基本问题二20的食盐水与5的食盐水混合， 要配成 15的食盐水900 克. 问： 20与 5食盐水各需要多少克？解： 20 比 15多（ 20-15 ）， 5 比 15少（ 15-5 ），多的含盐量（ 20-15 ） 20所需数量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载要恰好能弥补少的含盐量（15-5 ） 5所需数量 . 也就是画出示意图：相差的百分数之

18、比与所需数量之比恰好是反比例关系. 答：需要浓度 20 的 600 克，浓度 5 的 300 克. 这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到. 现在用这一方法来解几个配比的问题. 例 17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5 元，蓝笔定价9 元. 由于买的数量较多，商店就给打折扣. 红笔按定价 85 出售，蓝笔按定价 80 出售 . 结果他付的钱就少了18. 已知他买了蓝笔 30 支，问红笔买了几支？解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18 82. （85%-82）（ 82%-80） 3 2. 按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是23. 设买红笔是x 支，可列出比例式

19、5x93023 答：红笔买了 36 支. 配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比. 要提请注意，例17 中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错. 例 18 甲种酒精纯酒精含量为72，乙种酒精纯酒精含量为58，混合后纯酒精含量为 62 . 如果每种酒精取的数量比原来都多取15 升，混合后纯酒精含量为63.25 . 问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？解：利用例16 的方法，原来混合时甲、乙数量之比是后一次混合，甲、乙数量之比是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载这

20、与上一讲例 14 是同一问题 . 都加 15，比例变了，但两数之差却没有变. 5 与 2 相差 3，5 与 3 相差 2. 前者 3 份与后者2 份是相等的 . 把 25 中前、后两项都乘2，3 5 中前、后两项都乘3，就把比的份额统一了，即现在两个比的前项之差与后项之差都是5.15 是 5 份，每份是3. 原来这答：第一次混合时，取甲酒精12 升，乙酒精30 升. 例 19 甲容器中有8的食盐水300 克，乙容器中有12.5 的食盐水 120 克 . 往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样. 问倒入多少克水？解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与

21、所含的食盐重量之比一样. 甲中含盐量：乙中含盐量= 300 8 12012.5 = 8 5. 现在要使（300 克+倒入水）（ 120 克+倒入水） 85. 把“ 300 克+ 倒入水”算作8 份，“ 120 克+ 倒入水”算作5 份，每份是（300-120 ）（ 8-5 ）= 60 （克） . 倒入水量是 60 8-300 180 （克） . 答：每一容器中倒入 180 克水 . 例 20 甲容器有浓度为2的盐水 180 克，乙容器中有浓度为 9 的盐水若干克，从乙取出 240 克盐水倒入甲 . 再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水. 问：（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？（2

22、）再往乙容器倒入水多少克？解：（ 1）现在甲容器中盐水含盐量是180 2 240 9 25.2 （克） . 浓度是25.2 （ 180 240 ） 100 = 6 . （2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2 克盐. 因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中. 在倒出盐水 240 克后，乙的浓度仍是 9 ，要含有25.2 克盐，乙容器还剩下盐水25.2 9 280（克），还要倒入水420-280 140（克） . 答：（ 1）甲容器中盐水浓度是6；（2）乙容器再要倒入140 克水 . 例 21 甲、乙两种含金样品熔成合金. 如甲的重量是乙

23、的一半，得到含乙两种含金样品中含金的百分数. 解：因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少. 用例 17 方法，画出如下示意图. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载因为甲与乙的数量之比是12，所以（68- 甲百分数）（乙百分数-68 ）21 6 3. 注意： 6+327 9. 那么每段是因此乙的含金百分数是甲的含金百分数是答：甲含金 60 ，乙含金 72 . 用这种方法解题，一定要先弄清楚，甲和乙分别在示意图线段上哪一端，也就是甲和乙哪个含金百分数大. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页