2022年届高三数学大一轮复习62等差数列及其前N项和教案理新人教A版 .pdf

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1、6.2等差数列及其前n项和2014 高考会这样考1. 在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明；2. 运用基本量法求解等差数列的基本量问题；3. 考查等差数列的性质及综合应用复习备考要这样做1. 准确理解概念， 掌握等差数列的有关公式和性质；2. 注意不同性质的适用条件和注意事项1等差数列的定义如果一个数列从第2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n 1)d. 3等差中项如果Aab2，那么A叫做a与b的等差中项4等

2、差数列的常用性质(1) 通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN*) (2) 若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN*) ，则akalaman. (3) 若an是等差数列，公差为d，则 a2n 也是等差数列，公差为2d. (4) 若an，bn是等差数列，则panqbn 也是等差数列(5) 若an是等差数列，公差为d，则ak，ak m，ak 2m，(k，mN*) 是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列 an的公差为d，其前n项和Snna1an2或Snna1nn2d. 6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2n. 数列 an 是等差数列 ?SnAn

3、2Bn，(A、B为常数 ) 7等差数列的最值在等差数列 an中，a10，d0，则Sn存在最 _大_值；若a10，则Sn存在最 _小_值 难点正本疑点清源 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页1等差数列的判断方法(1) 定义法：anan1d (n2)；(2) 等差中项法：2an1anan2. 2等差数列与等差数列各项和的有关性质(1)am，amk，am2k，am 3k，仍是等差数列，公差为kd. (2) 数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(3)S2n 1(2n1)an. 3等差数列与函数在d0 时，an是

4、关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0. 1 (2012江西 ) 设数列 an ，bn 都是等差数列， 若a1b17，a3b3 21，则a5b5_. 答案35 解析两个等差数列的和数列仍为等差数列设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221 735. 2已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且xy，则a2a1b2b1的值为_答案34解析a2a114(yx) ，b2b113(yx) ，a2a1b2b134. 3已知等差数列an 中，a3a822，a67，则a5

5、_. 答案15 解析an 为等差数列，a3a8a5a622，a522a622715. 4 (2011江西 )设an为等差数列， 公差d 2，Sn为其前n项和， 若S10S11， 则a1等于 ( ) A18 B 20 C 22 D 24 答案B 解析因为S10S11，所以a110. 又因为a11a110d，所以a120. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页5(2012辽宁 ) 在等差数列 an中，已知a4a816，则该数列前11 项和S11等于 ( ) A58 B 88 C 143 D 176 答案B 解析S11a1

6、a112a4a8288. 题型一等差数列基本量的计算例 1(2011福建 ) 在等差数列 an中，a11，a3 3. (1) 求数列 an 的通项公式；(2) 若数列 an 的前k项和Sk 35，求k的值思维启迪：等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差解(1) 设等差数列 an的公差为d，则ana1(n1)d. 由a11，a3 3，可得 12d 3，解得d 2. 从而an1(n1)( 2) 32n. (2) 由(1) 可知an 32n，所以Snn1 2n22nn2. 由Sk 35，可得 2kk2 35，即k22k350，解得k7 或k 5. 又kN*，故k7.

7、 探究提高(1) 等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题(2) 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列 an的前n项和为Sn，满足S5S6 150. (1) 若S5 5，求S6及a1；(2) 求d的取值范围解(1) 由题意知S615S5 3，a6S6S5 8. 所以5a110d 5，a15d 8.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

8、 -第 3 页，共 13 页解得a17，所以S6 3，a17. (2) 方法一S5S6150，(5a1 10d)(6a115d) 150，即 2a219da110d210. 因为关于a1的一元二次方程有解，所以 81d28(10d21) d280，解得d 22或d22. 方法二S5S6150，(5a1 10d)(6a115d) 150，即 2a219da110d210. 故(4a1 9d)2d28. 所以d28.故d的取值范围为d 22或d2 2. 题型二等差数列的前n项和及综合应用例 2(1) 在等差数列 an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，

9、并求出它的最大值；(2) 已知数列 an 的通项公式是an4n25，求数列 |an| 的前n项和思维启迪： (1) 由a120 及S10S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解(2) 利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号解(1) 方法一a120，S10S15，10201092d152015142d，d53. an20(n1)5353n653. a130，即当n12 时，an0，n14 时，an0，当n 12 或 13 时，Sn取得最大值， 且最大值为S13S12122012112 53 130. 方法二同方

10、法一求得d53. Sn20nnn2 5356n21256n56n25223 12524. nN*，当n 12 或 13 时，Sn有最大值，且最大值为S12S13 130. 方法三同方法一求得d53. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页又由S10S15得a11a12a13a14a15 0. 5a130，即a130. 当n 12 或 13 时，Sn有最大值且最大值为S12S13130. (2) an4n 25，an14(n1) 25，an 1an4d，又a141 25 21. 所以数列 an 是以 21 为首项，以4

11、为公差的递增的等差数列令an4n250，an1n250，由得n6)，求数列的项数n. 思维启迪：在等差数列中，若mnpq，则amanapaq，在涉及数列前n项和及某些项和的问题中常用到此性质解由题意可知a1a2a636anan 1an2an5180得 (a1an) (a2an1) (a6an 5) 6(a1an) 216. a1an 36. 又Snna1an2 324，18n324.n 18. 探究提高本题的解题关键是将等差数列性质mnpq?amanapaq与前n项和公式Snna1an2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程 (1) 设数列 an的首项a1 7，且满足an1an2 (nN) ，

12、则a1a2a17_. (2) 等差数列 an 中，a1a2a3 24，a18a19a2078，则此数列前20 项和等于_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页答案(1)153 (2)180 解析(1) an1an 2，an为等差数列an 7(n1)2，a17 7162 25，S17a1a17272153. (2) 由已知可得 (a1a2a3) (a18a19a20) 2478? (a1a20) (a2a19) (a3a18)54?a1a2018?S20a1a2022018220 180. 整体思想在等差数列解题中的应用

13、典例： (12 分 )设等差数列 an 的前n项和Snm，前m项和Smn (mn) ，求它的前mn项的和Smn. 审题视角(1)Sm na1(mn) mnmn2d(mn) a1mn12d， 这样只要求出a1mn12d即可 (2) 由Sn，Sm可以构造出a1mn12d，并求出规范解答解方法一设an的公差为d，则由Snm，Smn，得Snna1nn2dm，Smma1m m2dn. 4 分 得 (mn)a1mnmn2dnm，mn，a1mn12d 1.8分 Sm n(mn)a1mnmn2d(mn)a1mn12d (mn) 12 分 方法二设SnAn2Bn (nN*) ，则Am2Bmn，An2Bnm. 4

14、 分 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页得A(m2n2) B(mn) nm.6分 mn，A(mn)B 1，A(mn)2B(mn) (mn) ，Sm n (mn) 12 分 温馨提醒(1) 本题的两种解法都突出了整体思想，其中方法一把a1mn12d看成了一个整体，方法二把A(mn) B看成了一个整体，解起来都很方便(2) 整体思想是一种重要的解题方法和技巧这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征(3) 本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误 . 方法与技巧1等差数列的判断方法(1

15、) 定义法：an1and (d是常数 ) ? an是等差数列(2) 等差中项法：2an1anan2 (nN*) ? an 是等差数列(3) 通项公式：anpnq(p，q为常数 ) ? an 是等差数列(4) 前n项和公式：SnAn2Bn (A、B为常数 ) ? an 是等差数列2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程 ( 组) 获得解失误与防范1如果pqrs，则apaqaras，一般地，apaqapq，必须是两项相加，当然也可以是aptapt2ap. 2当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0 时，an为常数3公差不为0 的等

16、差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0. 若某数列的前n项和公式是常数项不为0 的二次函数， 则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列A组专项基础训练( 时间： 35 分钟，满分：57 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 20 分) 1(2012福建 ) 等差数列 an中，a1a5 10，a47，则数列 an的公差为 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页A1 B 2 C 3 D 4 答案B 解析方法一设等差数列 an的公差为d，由题意得2a14d10，a13d7.解得a11，d2.d2.

17、方法二在等差数列 an 中，a1a52a310，a35. 又a47，公差d752. 2数列 an 为等差数列，a1033，a21，Sn为数列 an 的前n项和，则S202S10等于 ( ) A40 B 200 C400 D 20 答案C 解析S202S10a1a2022a1a10210(a20a10) 100d，又a10a2 8d，33 1 8d，d4，S202S10400. 3已知等差数列an 满足a1a2a3a1010，则有 ( ) Aa1a1010 B a2a1000，所以a30，a80，前n项和为Sn，a2a345，a1a5 18. (1) 求数列 an 的通项公式；(2) 令bnSn

18、nc (nN*)，是否存在一个非零常数c，使数列 bn 也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由解(1) 由题意知， an是等差数列，且公差d0，则由a2a345，a1a518，得a1da12d45，a1a14d18.解得a11，d4.an4n3 (nN*) (2) 由bnSnncn4n2nc2n n12nc，c0，可令c12，得到bn2n. bn 1bn2(n1) 2n2(nN*) ，数列 bn是公差为2 的等差数列即存在一个非零常数c12，使数列 bn也为等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页