2022年平面解析几何知识点 .pdf

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1、学习必备欢迎下载1直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0,90斜率不存在 . （2）直线的斜率：tan),(211212kxxxxyyk （111(,)P xy、222(,)P xy）. 2直线方程的五种形式：（ 1）点斜式：)(11xxkyy ( 直线l过点),(111yxP，且斜率为k) 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 xx（ 2）斜截式：bkxy (b为直线l在 y 轴上的截距 ). （ 3）两点式：121121x

2、xxxyyyy (12yy，12xx). 注：不能表示与x轴和y轴垂直的直线； 方程形式为：0)()(112112xxyyyyxx时，方程可以表示任意直线（ 4）截距式：1byax（ba,分别为x轴y轴上的截距，且0,0 ba） 注：不能表示与x轴垂直的直线， 也不能表示与y轴垂直的直线， 特别是不能表示过原点的直线（ 5）一般式：0CByAx (其中 A、 B不同时为0)一般式化为斜截式：BCxBAy，即，直线的斜率：BAk注： （1）已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或0 x已知直线横截距0 x，常设其方程为0 xmyx( 直线斜率k存在时，m为k的倒数 ) 或0y已知直线过点00(,

3、)xy，常设其方程为00()yk xxy或0 xx（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合3直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点（2）直线两截距互为相反数直线的斜率为1 或直线过原点（3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点4两条直线的平行和垂直：（1）若111:lyk xb，222:lyk xb212121,/bbkkll；12121llk k. （2）若0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，有1221122121/CACABABAll且0212121BB

4、AAll5平面两点距离公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载(111(,)P xy、222(,)Pxy) ，22122121)()(yyxxPPx轴上两点间距离：ABxxAB线段21PP的中点是),(00yxM，则22210210yyyxxx6点到直线的距离公式：点),(00yxP到直线0CByAxl：的距离：2200BACByAxd7两平行直线间的距离：两条平行直线002211CByAxlCByAxl：，：距离：2221BACCd8直线系方程：（1）平行直线系方程： 直线ykxb中当斜率k一定而b

5、变动时，表示平行直线系方程 与直线:0lAxByC平行 的直线可表示为10AxByC 过点00(,)P xy与直线:0lAxByC平行 的直线可表示为：00()()0A xxB yy（2）垂直直线系方程： 与直线:0lAxByC垂直 的直线可表示为10BxAyC 过点00(,)P xy与直线:0lAxByC垂直 的直线可表示为：00()()0B xxA yy（3）定点直线系方程： 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx( 除直线0 xx), 其中k是待定的系数 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy, 其中,A B是待定的系数（4）共点

6、直线系方程：经过两直线0022221111CyBxAlCyBxAl：，：交点的直线系方程为0)(222111CyBxACyBxA ( 除精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载2l) ，其中 是待定的系数9曲线1:( ,)0Cf x y与2:( ,)0Cg x y的交点坐标方程组( , )0( , )0f x yg x y的解10圆的方程：（ 1）圆的标准方程：222)()(rbyax（0r） （ 2）圆的一般方程：)04(02222FEDFEyDxyx（ 3）圆的直径式方程：若),(),(2211yxBy

7、xA，以线段AB为直径的圆的方程是：0)()(2121yyyyxxxx注： (1) 在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(ED，FEDr42122（2）一般方程的特点：2x和2y的系数相同且不为零；没有xy项；0422FED（3）二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的等价条件是：0CA；0B；0422AFED11圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则： “半弦长2+弦心距2=半径2”222)2(rdl；（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为),(),(2211yxByxA，则|11|1|22BABAyykxxkAB（其

8、中|,|2121yyxx的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解）12点与圆的位置关系：点),(00yxP与圆222)()(rbyax的位置关系有三种P在在圆外22020)()(rbyaxrdP在在圆内22020)()(rbyaxrdP在在圆上22020)()(rbyaxrd【P到圆心距离2200()()daxby】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载13直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种(22BACBbAad): 圆心到直线距离为d，由直线

9、和圆联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为0相离rd；0相切rd；0相交rd14两圆位置关系: 设两圆圆心分别为21,OO，半径分别为21,rr，dOO21条公切线外离421rrd；无公切线内含21rrd；条公切线外切321rrd；条公切线内切121rrd；条公切线相交22121rrdrr15圆系方程：)04(02222FEDFEyDxyx（1）过点11(,)A xy,22(,)B xy的圆系方程：1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc, 其中0axbyc是直线AB的方程

10、（2）过直线0CByAxl：与圆C:022FEyDxyx的交点的圆系方程：0)(22CByAxFEyDxyx, 是待定的系数（3）过圆1C:011122FyExDyx与圆2C:022222FyExDyx的交点的圆系方程：0)(2222211122FyExDyxFyExDyx, 是待定的系数特别地，当1时，2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF就是121212()()()0DDxEEyFF表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载交点的直线16圆

11、的切线方程：（1）过圆222ryx上的点),(00yxP的切线方程为:200ryyxx（2）过圆222)()(rbyax上的点),(00yxP的切线方程为:200)()(rbybyaxax（3）过圆220 xyDxEyF上的点),(00yxP的切线方程为: 0000()()022D xxE yyx xy yF(4) 若 P(0 x,0y) 是圆222xyr外一点 , 由 P(0 x,0y) 向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线 AB的方程为200 xxyyr(5) 若 P(0 x,0y) 是圆222()()xaybr外一点 , 由 P(0 x,0y) 向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则

12、直线 AB的方程为200()()()()xaxaybybr（6）当点),(00yxP在圆外时，可设切方程为)(00 xxkyy，利用圆心到直线距离等于半径，即rd，求出k；或利用0，求出k若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0 xx17 把两圆011122FyExDyx与022222FyExDyx方程相减即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121FFyEExDD18空间两点间的距离公式:若A111(,)x y z，B222(,)xyz，则AB222212121()()()xxyyzz19、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）、目标函数： 要求在一定条件下求极大值或

13、极小值问题的函数。用关于变量是一次不等式（等式）表示的条件较线性约束条件。、线性规划：求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题二、轨迹问题 (一) 求轨迹的步骤1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p（x，y）2、立式：写出适条件的p 点的集合3、代换：用坐标表示集合列出方程式f （ x，y）=0 4、化简：化成简单形式，并找出限制条件5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上（二）求轨迹的方法1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载2、定义法：利用已知或几何

14、图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线，然后联立，消去变量即可。5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。三、椭圆椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合1、定义：12122 (2)PFPFaaF F第二定义：(01)PFceeda2、标准方程：22221(0)xyabab或22221(0)yxabab；3、参数方程cossi

15、nxayb（为参数）几何意义：离心角4、几何性质： （只给出焦点在x 轴上的的椭圆的几何性质）、顶点(,0),(0,)ab、焦点(,0)c、离心率(01)ceea准线：2axc（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）5、焦点三角形面积：1 22tan2PF FSb（设12F PF）6、椭圆面积：Sa b椭（了解即可）7、直线与椭圆位置关系：相离（0） ；相交（0） ；相切（0）判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数8、椭圆切线的求法1）切点（00 x y）已知时，22221(0)xyabab切线00221x xy yab22221(0)yxabab切线00221y yx x

16、ab2）切线斜率k 已知时，22221(0)xyabab切线222ykxa kb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载22221(0)yxabab切线222ykxb ka9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离22221(0)xyabab0raex（左加右减）22221(0)yaabab0raey（下加上减）四、双曲线1、定义：122PFPFa第二定义：(1)PFceeda2、标准方程：22221(0,0)xyabab（焦点在x 轴）22221(0,0)yxabab（焦点在y 轴）参数方程：sectanxayb（

17、为参数） 用法：可设曲线上任一点P(sec ,tan)ab3、几何性质 顶点(,0)a 焦点(,0)c222cab 离心率cea1e 准线2axc 渐近线22221(0,0)xyababbyxa或22220 xyab22221(0,0)yxababbyxa或22220yxab4、特殊双曲线、等轴双曲线22221xyaa2e渐近线yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载、双曲线22221xyab的共轭双曲线22221xyab性质 1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线性质 2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点

18、在同一圆上5、直线与双曲线的位置关系 相离（0） ；相切（0） ； 相交（0）判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起0时可以是相交也可以是相切6、焦半径公式22221(0,0)xyabab点 P在右支上0rexa（左加右减）点 P在左支上0()rexa（左加右减）22221(0,0)yxabab点 P在上支上0reya（下加上减）点 P在上支上0()reya（下加上减）7、双曲线切线的求法 切点 P00(,)xy已知22221(0,0)xyabab切线00221x xy yab22221(0,0)yxabab切线00221y yx xab 切线斜率 K已知22221xyab222()bykxa kbka22221yxab222()bykxab kka8、焦点三角形面积：1 22cot2PF FSb（为12F PF）（重要）弦长公式：ykxb与曲线交与两点A、B 则221212111dABxxkyyk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页