高中高考数学知识点总结及解题思路.pdf

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1、 第 1 页 共 167 页 数学_高考数学知识点总结及解题思路林教学资源网 http:/考试内容：考试内容：集合、子集、补集、交集、并集逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件考试要求：考试要求： 榆林教学资源网 http:/ （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构一、知识结构: :本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化

2、简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾：（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为AA ；空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；如果BA ，同时AB ，那么 A = B.如果CACBBA，那么，.注：Z= 整数（） Z =全体整数 （）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（）（例：S=N； A= 第 2 页 共 167 页 N，则 C CsA= 0） 空集的补集是全集. 若集合

3、 A=集合 B，则 C CBA = ， C CAB = C CS（C CAB） = D （ 注 ： C CAB = ） .3. （x，y）|xy =0，xR，yR坐标轴上的点集.（x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集. （x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集.注：对方程组解的集合应是点集.例： 1323yxyx 解的集合(2，1).点集与数集的交集是. （例：A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则 AB =）4. n 个元素的子集有 2n个. n 个元素的真子集有 2n 1 个. n 个元素的非空真子集有 2n2 个.5. 一个命题的否命题为真，它的逆命

4、题一定为真. 否命题逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例：若325baba或，则应是真命题.解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真.，且21yx 3 yx.解：逆否：x + y =3x = 1 或 y = 2.21yx且3 yx,故3 yx是21yx且的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3. 例：若255xxx或， . 4. 集合运算：交、并、补. |, |,ABx xAxBABx xAxBAxUxAU交：且并：或补：且C5. 主要性质和运算律（1）包含关系：,;,;,.UAAA AUAUAB

5、 BCAC ABA ABB ABA ABB C（2）等价关系：UABABAABBABUC（3）集合的运算律：交换律：.;ABBAABBA 结合律:)()();()(CBACBACBACBA 第 3 页 共 167 页 分配律:.)()()();()()(CABACBACABACBA0-1 律：,AAA UAA UAU 等幂律：.,AAAAAA求补律：ACUA= = ACUA=U=U CCUU= = CCU U=U 反演律：CU(AB)= (C(CUA) )(C CUB) ) C CU(AB)= (C(CUA) )(C CUB) )6. 有限集的元素个数定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A

6、 的基数，记为 card( A)规定 card() =0.基本公式：(1)()( )( )()(2)()( )( )( )()()()()card ABcard Acard Bcard ABcard ABCcard Acard Bcard Ccard ABcard BCcard CAcard ABC(3) card(UA)=)= card(U)- card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.1.整式不等式的解法整式不等式的解法根轴法根轴法（零点分段法）将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨

7、论；一元二次不等式 ax2+box0(a0)解的讨论. 0 0 0 二次函数cbxaxy2（0a）的图象 第 4 页 共 167 页 个 个 个个 p个 q个 个 个个 p个 q个 个 个个 q个 p个 个 个 个个 q个 p个个个个个个个个个个个个个个个个一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221 无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2 R的解集)0(02acbxax21xxxx 2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(xgxf0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf 0(或)()(xgxf0)的形式

8、，（2）转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(; 0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：cbax,与)0( ccbax型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：“

9、或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p 或 q(记作“pq” )；p 且 q(记作“pq” )；非 p(记作“q” ) 。3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断（1）“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反；（2）“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真 第 5 页 共 167 页 4、四种命题的形式：原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命

10、题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知 pq 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。若 pq 且 qp,则称 p 是 q 的充要条件，记为 pq.7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引

11、出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高中数学第二章-函数考试内容：考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性反函数互为反函数的函数图像间的关系指数概念的扩充有理指数幂的运算性质指数函数对数对数的运算性质对数函数函数的应用考试要求：考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质（5）理解对数的概念，掌握对数的运

12、算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题 02. 函数 知识要点一、本章知识网络结构： 第 6 页 共 167 页 性质图像反函数F:AB对数指数对数函数指数函数二次函数具体函数一般研究函数定义映射二、知识回顾：（一） 映射与函数1.映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数)(Axxfy的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x

13、表示出，得到 x=(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x=(y)，x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数)(Axxfy的反函数，记作)(1yfx,习惯上改写成)(1xfy（二）函数的性质函数的单调性定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,若当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数；若当 x1f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数

14、y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性 第 7 页 共 167 页 正正确确理理解解奇奇、偶偶函函数数的的定定义义。必必须须把把握握好好两两个个问问题题：（1 1）定定义义域域在在数数轴轴上上关关于于原原点点对对称称是是函函数数)(xf为为奇奇函函数数或或偶偶函函数数的的必必要要不不充充分分条条件件； （2 2）)()(xfxf或或)()(xfxf是是定定义义域域上上的的恒恒等等式式。 2奇奇函函数数的的图图象象关关于于原原点点成成中中心心对对称称图图形形，偶偶函函数数的的图图象象关关于于y轴轴

15、成成轴轴对对称称图图形形。反反之之亦亦真真，因因此此，也也可可以以利利用用函函数数图图象象的的对对称称性性去去判判断断函函数数的的奇奇偶偶性性。 3.奇奇函函数数在在对对称称区区间间同同增增同同减减；偶偶函函数数在在对对称称区区间间增增减减性性相相反反. 4 如如果果)(xf是是偶偶函函数数， 则则|)(|)(xfxf， 反反之之亦亦成成立立。若若奇奇函函数数在在0 x时时有有意意义义，则则0)0(f。 7. 奇函数，偶函数：偶函数：)()(xfxf设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于y轴对称，例如：12 xy在) 1, 1 上

16、不是偶函数.满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.奇函数：)()(xfxf设（ba,）为奇函数上一点，则（ba ,）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：3xy 在) 1, 1 上不是奇函数.满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf.8. 对称变换：y = f（x）（轴对称xfyyy =f（x）（轴对称xfyx 第 8 页 共 167 页 xyy =f（x）（原点对称xfy9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10. 外层函数的定义

17、域是内层函数的值域.例如：已知函数 f（x）= 1+xx1的定义域为 A，函数 ff（x）的定义域是 B，则集合 A 与集合 B 之间的关系是 . 解：)(xf的值域是)(xff的定义域B，)(xf的值域R，故RB，而 A1|xx，故AB .11. 常用变换：)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf.证：)()()()()()()(yfyxfyyxfxfxfyfyxf)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf证：)()()()(yfyxfyyxfxf12. 熟悉常用函数图象：例：|2xy | x关于y轴对称. | 2|21xy|21xy| 2|21xyxy xy(0,1)

18、 xy(-2,1)| 122|2xxy| y关于x轴对称.熟悉分式图象：例：372312xxxy定义域, 3|Rxxx，值域, 2|Ryyy值域x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数22122212122222121)()()(bxbxxxxxbxbxxfxfx）（AB xy23 第 9 页 共 167 页 指数函数) 10(aaayx且的图象和性质a10a0 时，y1;x0 时，0y0 时，0y1;x1.性质（5）在 R 上是增函数（5）在 R 上是减函数对数函数 y=logax 的图象和性质:对数运算：nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnM

19、NMNMNMNMna1121loglog.loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12) 1 (推论：换底公式：（以上10且.aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,Mn21） 第 10 页 共 167 页 注：当0,ba时，)log()log()log(baba.：当0M时，取“+”，当n是偶数时且0M时，0nM，而0M，故取“”.例如：xxxaaalog2(log2log2中 x0 而2log xa中 xR）.xay （1, 0aa ）与xyalog互为反函数.a10a1a0) 1 , 0

20、(x时 0y ), 1 ( x时0y性质（5）在（0，+）上是增函数在（0，+）上是减函数 第 11 页 共 167 页 当1a时，xyalog的a值越大，越靠近x轴；当10 a时，则相反.（四）方法总结.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.对数运算：nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog.loglog1logloglogloglogloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12) 1 (推论：换底公式：（以上10且.aa,a1,c0,c1,b0,b1,a

21、0,a0,N0,Mn21）注：当0,ba时，)log()log()log(baba.：当0M时，取“+”，当n是偶数时且0M时，0nM，而0M，故取“”.例如：xxxaaalog2(log2log2中 x0 而2log xa中 xR）.xay （1, 0aa ）与xyalog互为反函数.当1a时，xyalog的a值越大，越靠近x轴；当10 a时，则相反.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为 0；偶次根式

22、中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. 第 12 页 共 167 页 .函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法.单调性的判定法：设 x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且 x1x2；判定f(x1)与 f(x2)的大小；作差比较或作商比较.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；f(-x)

23、/f(x)=1 是偶；f(x)f(-x)=-1 为奇函数.图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.高中数学 第三章 数列考试内容：考试内容：数列等差数列及其通项公式等差数列前 n 项和公式等比数列及其通项公式等比数列前 n 项和公式考试要求：考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前

24、 n 项和公式，井能解决简单的实际问题 03.03. 数 列 知识要点数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项 第 13 页 共 167 页 1. 等差、等比数列：等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan) 1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,* knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,* knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2) 1(1)2(111) 1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),(*qpnmNqpnm

25、aaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n 项和 第 14 页 共 167 页 等差数列等比数列定义常数）为(1daaPAannn常数）为(1qaaPGannn通项公式na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d=dn+1a-dknknnqaqaa11求和公式ndanddnnnaaansnn)2(22) 1(2)(1211) 1(11)1 () 1(111qqqaaqqaqnasnnn中项公式A=2ba 推广：2na=mnmnaaabG2。推

26、广：mnmnnaaa21若 m+n=p+q 则 qpnmaaaa若 m+n=p+q，则qpnmaaaa。2若nk成 A.P（其中Nkn）则nka也为 A.P。若nk成等比数列 （其中Nkn），则nka成等比数列。3nnnnnsssss232, 成等差数列。nnnnnsssss232,成等比数列。4)(11nmnmaanaadnmn11aaqnn ， mnmnaaq )(nm 性质5看数列是不是等差数列有以下三种方法：), 2(1为常数dndaann211nnnaaa(2n)bknan(kn,为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0, 2(1且为常数qnqaann 第 15 页 共 1

27、67 页 112nnnaaa(2n，011nnnaaa)注：i. acb ，是 a、b、c 成等比的双非条件，即acb a、b、c 等比数列.ii. acb （ac0）为 a、b、c 等比数列的充分不必要.iii. acb为 a、b、c 等比数列的必要不充分.iv. acb且0ac为 a、b、c 等比数列的充要.注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac0，则等比中项一定有两个.nncqa(qc,为非零常数).正数列na成等比的充要条件是数列nxalog（1x）成等比数列.数列na的前n项和nS与通项na的关系：)2() 1(111nssnasannn注： danddnaan111

28、（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）.等差na前 n 项和ndandBnAnSn22122 2d可以为零也可不为零为等差的充要条件若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. 等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2倍.,232kkkkkSSSSS；若等差数列的项数为 2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇 得到所求项

29、数到代入12 nn. 3. 常用公式：1+2+3 +n =21nn 61213212222nnnn 2213213333nnn注：熟悉常用通项：9，99，999，110 nna； 5，55，555，11095nna.4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题： 第 16 页 共 167 页 生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1. 其中第n年产量为1)1 (nra，且过n年后总产量为：.)1 (1)1 ()1 (.)1 ()1 (12rraarararaann银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每

30、月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为nra)1 ( 元. 因此，第二年年初可存款：)1 (.)1 ()1 ()1 (101112rararara=)1 (1)1 (1)1 (12rrra.分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清；r为年利率.1111111.11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra5. 数列常见的几种形式：nnnqapaa12（p、q 为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：写出特征方程qPxx2（2x对应2na，x 对应1na），并设二根21, xx若21xx 可设nnnxcxca2211.，若21xx 可设

31、nnxncca121)(；由初始值21,aa确定21,cc.rPaann1（P、r 为常数）用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数 n转化为nnnqaPaa12的形式，再用特征根方法求na；121nnPcca（公式法），21,cc由21,aa确定.转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn.选代法：rrPaPrPaannn)(21xPxaPrPPraannn1111)(1)1(rrPaPnnPr211.用特征方程求解：相减，rPaarPaannnn111na1111nnnnnnPaaPaPaPaa）（.由选代法推导结果：PrPPracPcaPracPrcnnn111111

32、112121）（，.6. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值. 如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法： 第 17 页 共 167 页 一是求使0, 01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：,.21) 12,.(413 ,211nn两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd ，的最小公倍数.2. 判断和证明

33、数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n2 的任意自然数,验证)(11nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212nnnaaaNnaaannn)(221都成立。3. 在等差数列na中,有关 Sn 的最值问题：(1)当1a0,d0 时，满足001mmaa的项数m 使得ms取最大值. (2)当1a0 时，满足001mmaa的项数 m 使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于1nnaac其中 na是各项不为 0

34、 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于nnba其中 na是等差数列， nb是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.5.常用结论1）: 1+2+3+.+n = 2) 1( nn 2） 1+3+5+.+(2n-1) =2n 3）2333) 1(2121nnn 4） ) 12)(1(613212222nnnn 第 18 页 共 167 页 5） 111) 1(1nnnn )211(21)2(1nnnn6） )()11(11qpqppqpq高中数学第四章-三角函数考试内容：考试内容：角的概念的推广弧度制任意角的三

35、角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数 y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角正弦定理余弦定理斜三角形解法考试要求：考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式（4）能正确运用三角公

36、式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A.、 的物理意义（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinxarc-cosxarctanx 表示（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形（8）“同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tancos=1”04. 三角函数 知识要点1. 与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360|终边在 x 轴上的角的集合： Zkk,180| 终边在 y

37、轴上的角的集合：Zkk,90180|yxSINCOS三角函数值大小关系图sinxcosx1 2 3 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosx 第 19 页 共 167 页 终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90| 终边在 y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180| 终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360k2

38、. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad18057.30=5718 11800.01745（rad）3、弧长公式：rl|. 扇形面积公式：211| |22slrr扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则 rysin； rxcos； xytan； yxcot； xrsec；. yrcsc.5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）、 、 、 、 、 、 、 、 、-+-+、

39、 、 、 、 、oooxyxyxy6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：roxya的 的 的P、 x,y)TMAOPxy(3) 个 ox2,个 sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 个 个 个 个 个 个:OOxyxy 第 20 页 共 167 页 三角函数 定义域)(xfsinxRxx|)(xfcosxRxx|)(xftanxZkkxRxx,21|且)(xfcotxZkkxRxx,|且)(xfsecxZkkxRxx,21|且)(xfcscxZkkxRxx,|且

40、8、同角三角函数的基本关系式：tancossin cotsincos 1cottan 1sincsc 1cossec1cossin22 1tansec22 1cotcsc229、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二公式组二 公式组三公式组三 xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin( xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin( 公式组四公式组四 公式组五公式组五 公式组六公式组六 xxxxxxxxcot)cot(tan)t

41、an(cos)cos(sin)sin( xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin( xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin( （二）角与角之间的互换公式组一公式组一 公式组二公式组二sinsincoscos)cos( cossin22sinsinsincoscos)cos( 2222sin211cos2sincos2cossincoscossin)sin( 2tan1tan22tan sincoscossin)sin( 2cos12sintantan1tantan)tan( 2cos12cos 公公式式组组一

42、一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xxsincos1+tan2x =sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1 第 21 页 共 167 页 tantan1tantan)tan( 公式组三公式组三 公式组四公式组四 公式组五公式组五2tan12tan2sin2 2tan12tan1cos22 2tan12tan2tan2 42675cos15sin,42615cos75sin,3275cot15tan,3215cot75tan.10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域RRR值域

43、1, 1 1, 1RRAA,周期性 222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当, 0非奇非偶当, 0奇函数单调性22,22kk上为增函数；223,22kk上为减函数2,12kk ；上为增函数12,2kk上为减函数（Zk ）kk2,2上为增函数（Zk ）1,kk上为减函数（Zk ）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAkcoscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1s

44、incos1cos12tanZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinsin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan( 第 22 页 共 167 页 （Zk ）上为减函数（Zk ）注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy 在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增）.xysin与xycos的周期是.)sin(xy或)cos(xy（0）的周期2T.2tanxy 的周期为 2（2TT，如图，翻折无效）. )s

45、in(xy的对称轴方程是2 kx（Zk ），对称中心（0 ,k）；)cos(xy的对称轴方程是kx （Zk ），对称中心（0 ,21k）；)tan(xy的对称中心（0 ,2k）.xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当tan, 1tan)(2Zkk；tan, 1tan)(2Zkk.xycos与kxy22sin是同一函数,而)(xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy.函数xytan在R上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于

46、原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此Oyx 第 23 页 共 167 页 性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T）；xycos是周期函数（如图）；xycos为周期函数（T）；212cosxy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： Rkkxfxfy),(5)(.abbabaycos)sin(sincos22 有yba2

47、2.11、三角函数图象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x）的振幅|A|，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0 时的相位）（当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号），由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0|A|1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐

48、标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的1|倍，得到 ysin x 的图象，叫做周期变换周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动个单位，得到 ysin（x）的图象，叫做相位变换相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换x)由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b)替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序

49、不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。4 4、反三角函数：、反三角函数：函数 ysinx，22，x的反函数叫做反正弦函数反正弦函数，记作 yarcsinx，它的定义域是1，1，值域是22，函数 ycosx，（x0，）的反应函数叫做反余弦函数反余弦函数，记作 yarccosx，它的定义域是1，1，值域是0，yxy=cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象 第 24 页 共 167 页 函数 ytanx，22，x的反函数叫做反正切函数反正切函数，记作 yarctanx，它的定义域是（，），值域是22，函数 yctgx，x（0，）的反函数叫做反余切函数反余切函数，记作 yarcct

50、gx，它的定义域是（，），值域是（0，）II. 竞赛知识要点竞赛知识要点一、反三角函数一、反三角函数.1. 反三角函数：反正弦函数xyarcsin是奇函数，故xxarcsin)arcsin(，1 , 1x（一定要注明定义域，若,x，没有x与y一一对应，故xysin无反函数）注：xx )sin(arcsin，1 , 1x，2,2arcsinx.反余弦函数xyarccos非奇非偶，但有kxx2)arccos()arccos(，1 , 1x.注：xx )cos(arccos，1 , 1x，, 0arccosx.xycos是偶函数，xyarccos非奇非偶，而xysin和xyarcsin为奇函数.反正