专升本《高等数学》精选练习强化试卷09.pdf

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1、专升本高等数学精选练习强化试卷 09一、一、选择题选择题1设函数在上连续，则等于（ B B ）)(xf),()(dxxfd （A）； （B）； （C）； （D）。)(xfdxxf)(Cxf)(dxxf)( 2若，则的原函数之一是（ B B ）xxfsin)()(xf （A）； （B）； （C）； （D）。xsin1xsin1xcos1xcos1解：设是的一个原函数，)(xF)(xf ，xxfsin)(1cos)(Cxxf，当时，。21sin)()(CxCxdxxfxF1 , 021CCxxFsin1)(3下列结论正确的是（ B B ） （A）； （B）；baxfdxxfdxd)()(xaxfd

2、xxfdxd)()( （C）； （D）。baxfdxxf)()(cxfdxxfba)()(4.设在区间上，,ba0)(xf0)( xf0)( xfbadxxfS)(1 ；，则必有（ B B ）.)(2abbfS)()(23bfafabS （A）；（B）；（C）；（D）321SSS312SSS213SSS。132SSS5设，110)1ln()(xdttxf1)(xexgx 则当时，是的（ B B ）0 x)(xf)(xg （A）等价无穷小； （B）同阶但非等价无穷小； （C）低阶无穷小； （D）高阶无穷小。解：11211lnlim1)1ln(lim)()(lim011000 xxxxxxexxx

3、edttxgxf ， 应选（B） 。41lim411)1ln(lim141lim000 xxexxxxxx6方程在区间内（ A A ）xdttxxcos104) , 0( （A）有且仅有一个实根； （B）有且仅有两个实根； （C）有无穷个个根； （D）无实根。解：设，xdttxxfxcos1)(04) , 0()(Cxf ，且， 1 , 0)(Cxf1)0(f01cos11) 1 (104dttf ，即方程在内有一个根，1) , 0(0)( f0)(xf1) , 0( ，在内单调增加，0sin121)(4xxxxf)(xf) , 0( 在内有且仅有一个实根。0)(xf) , 0(二、计算题二、

4、计算题1，求。tuduux 1 ln2 2lntuduuy22 ,dyxddydx解：，。tttttdydx1lnln2tttttdyxdln1ln1422222设，求。0sin12dtexxyt022xdxyd解： 时，。0 x1y ，。0) 1(cos2)(dxdyexxy2)(cos1xyxedxdyedxdyx10 ， 。) 1()(2cossin2)(2)(22dxdyxyexxedxydxyxy20222edxydx3设，求，.21 ,210 ,)(2xxxxxfxdttfxF0)()(20 x解：时， 1 , 0 x302031)()(xdttdttfxFxx 时，2 , 1 (

5、xxxdttfdttfdttfxF1100)()()()(。2267232231)2(221102xxxxdttdttx. 21 ,2267, 10 ,31)(23xxxxxxF4求。dttxdxdx20 2 cos 解： cos cos22 0 20 2 dttxdxddttxdxdxx2cos cos422 0 xxxdttx 。4220 cos2 cos2xxdttx5)41241141(lim22222nnnnn解：)41241141(lim22222nnnnn)41241141(1lim22222nnnnnn。dxxninin1021241)(41lim62arcsin10 x6设，

6、其中有连续导数，且，0 , 0 ,)()(20 xCxxdtttfxFx)(xf0)0(f（1）求使在连续；（2）求。C)(xF0 x)(xF解：，0)0(212)(lim)(lim)(lim02000fxxxfxdtttfxFCxxxx 当时，0 x4 0 32 0 )(2)()()(xdtttfxxfxxdtttfxFxx3 0 2)(2)(xdtttfxfxx 。3)0(3)(lim3)(lim3)(lim)(lim)0()(lim)0(00203 0 00fxfxxfxxxfxdtttfxFxFFxxxxxx三、证明题三、证明题1证明下列不等式：.22sin2124dxxx证明证明：则

7、，,sin)(xxxf2 ,4)(Cxf),tan1 (cossincos)(2xxxxxxxxxf 当时，)2 ,4(x0cosxx0tan1xx 当时，在上单减。)2 ,4(x0)( xf)(xf2 ,4 。是最小值是最大值2)2( ,22)4(ff 由估值定理得 ，即)42(22sin)42(224dxxx.22sin2124dxxx2设在上连续，在内可导，且，)(xf,ba),(baMxf)(0)(af 试证。2 )(2abMf(x)dxba 证法 1：，由中值定理，可得,baxLagrange，)()()()()(faxafxfxf),(ba ，)()()()(axMfaxxfbab

8、 abadxaxMdxxfdxxf )()()(.)(2)(2122abMaxMba证法 2：设，由，得，,bax0)(af)()()()(xfafxfdttfxa，xaxaxaaxMMdtdttfdttfxf)()()()(bab abadxaxMdxxfdxxf )()()(.)(2)(2122abMaxMba3设函数在上连续，在内可导，且满足)(xf 1 , 0) 1 , 0( ，) 1( )() 1 (1 10kdxxfxekfkx证明至少存在一点，使得。 ) 1 , 0()()11 ()(ff证明：设，则)()(1xfxexFx ，)()()()(111xfxexfxexfexFxx

9、x)()()(1xf xxxfxfex 在上连续，)(xf 1 , 01k 在上连续，由积分中值定理得，)(xF1 , 0k)(1)() 1 (1CfCekCkFfC 在上连续，在内可导，且，)(xF 1 ,C) 1 ,(C) 1 () 1 ()(FfCF 由罗尔定理知，即，) 1 ,(C0)(F0)()()(1fffe ，从而。01e0)()()(fff)()11 ()(ff4.设，试证施瓦茨不等式连续在,)( ),(baxgxf)(Schwarz 。bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222证明：设，badxxf)(2badxxg)(2badxxgxf)()(考虑积分，显然，badxxgxfI2)()(0 ,IR把此积分展开得，022I此不等式成立的条件是，即，04)2(22从而。bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(2225设上连续可导，试证。 1 , 0)(在xf1)0() 1 ( ff1021)(dxxf证明：利用柯西不等式， 2102)()0() 1 (1dxxfffdxxfdxxfdx102102102)()(1