2022年必修一数学第一章集合与函数的概念 .pdf

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1、课题:1.1.1（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2.一般地，研究对象统称为元素 （element） ，一些元素组成的总体叫集合 （set） ，也简称 集。3.关于集合的元素的特征（1）确定性： 设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2） 互异性： 一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样4.元素与

2、集合的关系；（1）如果 a 是集合 A 的元素，就说a 属于（ belong to） A，记作 aA （2）如果 a不是集合A 的元素，就说a 不属于（ not belong to）A，记作 aA（或a A ） （举例）5.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作 N 正整数集，记作N*或 N+；整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R （二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。（1）列举法： 把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如： 1，2，3， 4，5， x2，3x+2 ，5y3-x，x2+y

3、2， , ；例 1 （课本例1）思考 2，引入描述法说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。（2）描述法： 把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内。具体方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如： x|x-32 ，(x,y)|y=x2+1 ， 直角三角形 ， , ；例 2 （课本例2）说明： （课本 P5最后一段）思考 3： （课本 P6思考）强调： 描述法表示集合应注意集合的代表元素 (x,y)|y= x2+3x+2 与 y|y= x2+3x+2 不同，只要不引

4、起误解，集合的代表元素也可省略，例如：整数 ，即代表整数集Z。辨析： 这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写 全体整数 。下列写法 实数集 ，R 也是错误的。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页课题:1.1.2 集合间的基本关系（一）集合与集合之间的“包含”关系；A=1 ，2，3 ，B=1 ，2，3，4 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A；如果集合A 的任何

5、一个元素都是集合B 的元素， 我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集（ subset） 。记作：)(ABBA或读作： A 包含于（ is contained in）B，或 B 包含（ contains）A 当集合 A 不包含于集合B 时，记作A B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系)(ABBA或（二）集合与集合之间的“相等”关系；ABBA且，则BA中的元素是一样的，因此BA即ABBABA结论：任何一个集合是它本身的子集（三）真子集的概念若集合BA，存在元素AxBx且，则称集合A 是集合 B 的真子集（ proper subset） 。记作： A B（或 BA）读

6、作： A 真包含于B（或 B 真包含 A）举例（由学生举例，共同辨析）（四）空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set） ，记作：规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（五）结论：1AA2BA，且CB，则CA（六）例题（ 1）写出集合a ， b 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。（ 2）化简集合A=x|x-32,B=x|x5 ，并表示A、B 的关系；B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页课题： 1.1.3集合的基本运算1.并集一般地， 由所有属于集合A

7、或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与 B 的 并集（ Union）记作： AB 读作： “A 并 B”即：AB=x|x A，或 x B Venn图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与 B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。例题（ P9-10例 4、例 5）说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。问题：在上图中我们除了研究集合A 与 B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与 B 的交集。2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与 B 的交

8、集（intersection） 。记作： AB 读作：“A 交 B”即：AB=x| A，且 xB 交集的 Venn 图表示说明： 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。例题（ P9-10例 6、例 7）拓展：求下列各图中集合A 与 B 的并集与交集说明： 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集3.补集A B A(B) A B B A B A AB B A ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页全集： 一般地， 如果一个集合含有我们所研究问题中

9、所涉及的所有元素，那么就称这个集合为 全集（ Universe） ，通常记作U。补集：对于全集U 的一个子集A，由全集 U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（ complementary set）,简称为集合A 的补集，记作： CUA 即： CUA=x|x U 且 xA 补集的 Venn 图表示AUCUA说明：补集的概念必须要有全集的限制例题（ P12例 8、例 9）4.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn

10、图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5.集合基本运算的一些结论：ABA， A BB， A A=A ，A=,A B=B A AAB，BAB， A A=A ，A=A,A B=B A （CUA） A=U ， （CUA） A=若 AB=A ，则 AB，反之也成立若 AB=B ，则 AB，反之也成立若 x（ AB） ，则 x A 且 xB 若 x（ AB） ，则 x A，或 x B 6.课堂练习 （1）设 A= 奇数 、B= 偶数 ， 则 AZ=A ，BZ=B ，AB=（ 2）设 A= 奇数、B=偶数，则AZ=Z，BZ=Z，AB=Z_;_CBA_,_CBA25x0 x|xC3x1|xB2

11、x4|xA)4(_BAZ21m|mBZ2n|nA)3(那么，或，集合，则，集合一、 归纳小结（略）二、作业布置1、 书面作业： P13习题 1.1，第 6-12 题2、 提高内容：（1）已知 X=x|x2+px+q=0 ，p2-4q0,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且XBX,AX，试求 p、q；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页（2）集合 A=x|x2+px-2=0,B=x|x2-x+q=0, 若 AB=-2 ，0，1 ，求 p、q；（3）A=2 ，3，a2+4a+2 ，B=0 ，7， a2+4a-

12、2，2-a ，且 AB =3 ，7，求 B 课题： 1.2.1函数的概念三、新课教学（一）函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B的一个 函数（ function ） 记作：y=f(x) ，x A其中， x 叫做 自变量 ，x 的取值范围A 叫做函数的 定义域（ domain） ；与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 ，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的 值域（ range） 注意：1“y=f(x) ”是函数符号，

13、可以用任意的字母表示，如“y=g(x)” ；2函数符号“ y=f(x) ”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘 x2 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示4一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1求函数定义域课本 P20例 1 解： （略）说明：1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；2如果只给出解析式y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3函数的

14、定义域、值域要写成集合或区间的形式巩固练习：课本P22第 1 题2判断两个函数是否为同一函数课本 P21例 2 解： （略）说明：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的， 所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页值的字母无关。巩固练习：1课本 P22第 2 题2判断下列函数f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f

15、( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2（4）f ( x ) = | x | ； g ( x ) = 2x（三）课堂练习求下列函数的定义域（1）|x|x1)x(f（2）x111)x(f（3）5x4x)x(f2（4）1xx4)x(f2（5）10 x6x)x(f2（6）13xx1)x(f1.2.2 映射四教学思路（一）创设情景，揭示课题复习初中常见的对应关系1对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；2对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实

16、数对（, x y）和它对应；3对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5函数的概念（二）研探新知1我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）2先看几个例子，两个集合A、B 的元素之间的一些对应关系：（1）开平方；（2）求正弦；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页（3）求平方；（4）乘以 2归纳引出映射概念：一般

17、地， 设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记作“f： AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的映射与B 到 A 的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述（2） “都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维例 1下列哪些对应是从集合A 到集合 B 的映射？（1）A=|P P是数轴上的点 ，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代

18、表的实数对应；（2） A=|P P是平面直角坐标中的点 ，( , ) |,Bx yxR yR对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3） A= 三角形 ，B=|,x x是圆对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A=|x x是新华中学的班级 ，|,Bx x是新华中学的学生对应关系f：每一个班级都对应班里的学生思考：将（ 3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：BA 是从集合B 到集合 A 的映射吗？例 2在下图中，图（1） ， （2） ， （3） ， （ 4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对

19、应法则，是不是映射？是不是函数关系？A 开平方B A 求正弦B 9 4 1 3 3 2 2 1 1 3004506009001222321 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页（ 1）（ 2）A 求平方B A 乘以 2 B （ 3）（ 4）（四）巩固深化，反馈矫正1、画图表示集合A 到集合 B 的对应（集合A， B 各取 4 个元素）已知：（1）1,2,3,4,2,4,6,8AB，对应法则是“乘以2” ；（2） A=|x x0，B=R，对应法则是“求算术平方根”；（3）|0 ,Ax xBR，对应法则是“求倒数”；（4

20、）0|0A090,|1 ,Bx x对应法则是“求余弦” 2在下图中的映射中，A 中元素 600的象是什么？ B 中元素22的原象是什么？A 求正弦B （五）归纳小结提出问题： 怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有象，但B中元素未必要有原象；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1 4 9 3004506009001222321 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

21、- - - - - -第 8 页，共 12 页（六）设置问题，留下悬念1由学生举出生活中两个有关映射的实例2已知f是集合 A 上的任一个映射，试问在值域f(A) 中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？3 已知集合,1,0,1 ,Aa bB从集合 A 到集合 B 的映射，试问能构造出多少映射？课题： 1.3.1函数的单调性四、新课教学（一）函数单调性定义1增函数一般地，设函数y=f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x) 在区间 D 上是 增函数（ increasing functio

22、n ） 思考 ：仿照增函数的定义说出减函数 的定义（学生活动）注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间D 内的 任意 两个自变量x1，x2；当 x1x2时， 总有 f(x1)f(x2) 2函数的单调性定义如果函数y=f(x) 在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性 ，区间 D 叫做 y=f(x) 的单调区间 ：3判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x) 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1任取 x1，x2D，且 x1x2；2作差 f(x1)f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定

23、号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x) 在给定的区间D 上的单调性） （二）典型例题例 1 （教材 P34例 1）根据函数图象说明函数的单调性解： （略）巩固练习：课本P38练习第 1、2 题例 2 （教材 P34例 2）根据函数单调性定义证明函数的单调性解： （略）巩固练习：1课本 P38练习第 3题；2证明函数xxy1在（ 1，+）上为增函数例 3借助计算机作出函数y =x2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间解： （略）思考： 画出反比例函数xy1的图象1这个函数的定义域是什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

24、结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页2它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论说明： 本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象五、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论课题： 1.3.1函数的最大（小）值六、新课教学（一）函数最大（小）值定义1最大值一般地，设函数y=f(x) 的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的xI，都有 f(x) M；（2）存在 x0I ，使得 f(x0) = M 那么，称

25、M 是函数 y=f(x) 的最大值（ Maximum Value ） 思考 ：仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x) 的最小值（Minimum Value ）的定义 （学生活动）注意：1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得 f(x0) = M ；2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有 f(x)M（ f(x) M ） 2利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法1利用 二次函数 的性质（ 配方法 ）求函数的最大（小）值2利用 图象 求函数的最大（小）值3利用 函数单调性 的判断函数的最大（小）值如果函数 y=f(x) 在区间 a，b上单

26、调递 增 ，在区间 b，c上单调递 减则函数 y=f(x) 在 x=b处有 最大值 f(b) ；如果函数y=f(x) 在区间 a，b上单调递 减 ，在区间 b，c上单调递 增则函数 y=f(x) 在 x=b处有 最小值 f(b) ；（二）典型例题例 1 （教材 P36例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值解： （略）说明： 对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值巩固练习： 如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y 试将 y 表示成 x 的函数，并画出函

27、数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例 2 （新题讲解 ）旅 馆 定 价一个星级旅馆有150 个标准房， 经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：25 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页房价（元）住房率（ %）160 55 140 65 120 75 100 85 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据， 可假设该客房的最高价为160 元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160 相比降低的房价，因此当房价为)160(x

28、元时，住房率为)%102055(x，于是得y=150)160(x)%102055(x由于)%102055(x 1，可知 0 x90因此问题转化为：当0 x90 时，求y的最大值的问题将y的两边同除以一个常数0.75，得y1=x250 x17600由于二次函数y1在x=25 时取得最大值，可知y也在x=25 时取得最大值，此时房价定位应是16025=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元） 所以该客房定价应为135 元 （当然为了便于管理，定价140 元也是比较合理的）例 3 （教材 P37例 4）求函数12xy在区间 2，6上的最大值和最小值解： （略）注

29、意： 利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式巩固练习：（教材 P38练习 4）七、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论课题： 1.3.2函数的奇偶性八、新课教学（一）函数的奇偶性定义象上面实践操作1中的 图象关于y 轴对称 的函数即是 偶函数 ， 操作2中的 图象关于原点对称 的函数即是 奇函数1偶函数（ even function）一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x) ，那么f(x) 就叫

30、做 偶函数（学生活动 ） ：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义2奇函数（ odd function ）一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x) ，那么f(x) 就叫做 奇函数注意：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴

31、对称；奇函数的图象关于原点对称（三）典型例题1判断函数的奇偶性例 1（教材 P36例 3） 应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性（ 本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）解： （略）总结： 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定 f(x)与 f(x)的关系；3作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0 ，则 f(x) 是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f(x) f(x) = 0 ，则 f(x)是奇函数巩固练习：（教材 P41例 5）例 2 （教材 P46习题 13 B 组每

32、1 题）解： （略）说明： 函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数2利用函数的奇偶性补全函数的图象（教材 P41思考题）规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称说明： 这也可以作为判断函数奇偶性的依据巩固练习：（教材 P42练习 1）3函数的奇偶性与单调性的关系（学生活动 ）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象， 根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征例 3已知 f(x) 是奇函数，在(0， )上是增函数，证明：f(x) 在(， 0)上也是增函数解： (由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤) 规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页