专升本《高等数学》精选练习强化试卷01.pdf

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1、专升本高等数学精选练习强化试卷 01一、函数的概念一、函数的概念二、函数的特性二、函数的特性（奇偶性、单调性、周期性，不再赘述。 ） 函数的有界性函数的有界性： 有上界；上在 )(XxfkxfXxRk)( , , 有 有下界；上在 )(XxfkxfXxRk)( , , 有 有界。上在 )(XxfMxfXxM)( , , 0 有 例如：在有上界 1，无下界。21)(xxf) , 0 在有下界 0，无上界。xexf)() ,( ，在有界。2arctanxxxfarctan)() ,(三、分段函数三、分段函数 在定义域的不同范围具有不同的表达式的函数叫做分段函数。例 1符号函数符号函数，求，。0 ,

2、 10 0,0 , 1sgn)(xxxxxf)2(f)0(f)2(f 解：，。1)2(f0)0(f1)2(f ，。0 , 0 , 0 0 ,xx xxxxxxxsgn例 2取整函数取整函数：，xy 若，则。不超过 x 的最大整数。1nxnZnnx 表示 x例如：2.52，33，00，-4。注意注意：（1）；（2）。1,xxxRx有10 xxoxyxy sgn1-1 , 32 2, 21 1, 10 , 001 1,-12 2, ,xxxxxx例 3证明：，是以 1 为周期的周期函数。 xxxf)() ,(x解：， )() 1() 1(1) 1() 1(xfxxxxxxxf 是以 1 为周期的周

3、期函数。)(xf 定义域：，),( 值域：。其图形如右：) 1 , 0四、基本初等函数四、基本初等函数 （1 1）幂函数）幂函数： 。)( Rxy （2 2）指数函数：）指数函数： 。1) 0,( aaayx且 （3 3）对数函数：）对数函数： 。1) 0,( logaaxya且 （4 4）三角函数：）三角函数： ；xysinxycosxytan ；。xycotxysecxycsc （5 5）反三角函数：）反三角函数：；。xyarcsinxyarccosxyarctanxarcycot五、复合函数五、复合函数1 1复合函数的定义复合函数的定义 若函数的定义域为，函数的定义域为，值域)(ufy

4、1D)(xu2D，且，则称函数或为定义22 ),(DxxuuR12DR )(xfyf xyxoy1x0y123123 xxy在上的复合函数，称为中间变量。2Du例 4设， 求（1）；（2）1 , 0 1 , 1)(xxxf1 , 2 1 ,2)(2xxxxg)(xgf。)(xfg解：（1）当时，；1x0)2()(2xfxgf 当时，；1x0)2()( fxgf 当时，；1x1) 1 ()12()(2ffxgf 故。1 , 11 , 0)(xxxgf （2）当时，；1x112) 1 ()(2 gxfg 当时，；1x202)0()(2 gxfg 故. （，可见复合运算不可交换。1 , 21 , 1

5、)(xxxfg)()(xfgxgf）2 2把复合函数分解成若干个简单函数把复合函数分解成若干个简单函数 简单函数是指基本初等函数和多项式。例 5指出下列各复合函数的复合过程。 （1）xy2sin2 解：由，复合而成。xy2sin2uy22vu xvsin （2）23ln2xxy 解：由，复合而成。23ln2xxyuylnvu 232xxv （3）35)lg(arcsintanxy 解：由， 35)lg(arcsintanxy 5uy vutan3wv twlg复合而成。xtarcsin根据复合函数的结构，将复合函数分解成若干个简单函数时，应从外到里，一层一层地分解，千万不能漏层。六、初等函数六

6、、初等函数 由基本初等函数和常数，经过有限次四则运算与有限次复合而构成的，并能用一个数学式子表示的函数叫做初等函数。不是初等函数的函数称为非初等函数。例如 :、等都是初等函数。xtgeyx13)cos(xy1arcsinxxyln而狄里克莱函数，是无理数是有理数 x xxD , 0 , 1)(nxxxxf2)(xsgn是非初等函数。例 6设函数在内单调增加，且对一切有，)(xf) ,(x)()(xgxf证明：。)()(xggxff证明：证明：在内单调增加，且，)(xf) ,() ,(x)()(xgxf ，)()(xgfxff又，。)()(xggxgf)()(xggxff七、点七、点 的的 邻域

7、邻域a 设,且。RaR0 ，称为点的邻域。) ,(aN),( aaaxxa 点称为的中心，称为的半径。a) ,(aN) ,(aN ，称为点去心的邻域， ) ,(aN),(),(0 aaaaaxxaxaaa 表示。ax 0ax 常用和分别表示点的某个邻域和点的某个去心邻域。)(aN)(aNaa练练 习习 题题1用定义证明：，则对任一正，。axnnlimk 整数axknnlim 证明：， 当时，恒有。axnnlim0NN Nnaxn当时，必有，也必有，NnNknaxkn。axknnlim2用定义证明：若，且，则。) , 2 , 1( 0nxn0limaxnnaxnnlim证明：，时，恒有。axnn

8、lim0NN Nnaxn 当时，0aaaaxaaxaxaxaxnnnnn 当时，0annxx0。axnnlim3证明：。21424lim22nnnnn证明：限定，则，要使41 Nn04 n0 ，nnnnnnnnnnnnnn14322342423424232142422222 应有，令，只要取，1n12N 1 , 4max ,max21NNN ，时，恒有，0 1 , 4maxNNn2142422nnnn 。21424lim22nnnnn4证明。 limlim lim212axxaxnnnnnn 证明：先证“” 若， 则，时，恒有， limaxnn0 NNNn axn 当时，必有和，Nn Nn12Nn 2 也必有和成立，axn 12axn2 。 limlim212axxnnnn 再证“” 若, 则， limlim212axxnnnn0NNN21, 时，恒有； 时，恒有，1Nnaxn 122Nn axn2 取，则当时，有，故。 ) 2 , 12 ( max21NNNNn axn limaxnn 综上可知，。 limlim lim212axxaxnnnnnn5写出数列的极限不是 a 的叙述。nx ，有.axnnlim0NNNn axn ，有有. axnnlim0 NNNn axn