2012年第十七届“华罗庚金杯”奥数决赛试卷（小高组c卷）.pdf

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1、12012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 C 卷）一填空题（每小题 10 分,共 80 分）1 （10 分）算式 （）的值为 2箱子里已有若干个红球和黑球,放入一些黑球后,红球占全部球数的四分之一;再放入一些红球后,红球的数量是黑球的二分之一若放入的黑球和红球数量相同,则原来箱子里红球与黑球数量之比为 3 （10 分）设某圆锥的侧面积是 10,表面积是 19,则它的侧面展开图的圆心角是 4设 ab 和 ab 分别表示取 a 和 b 两个数的最小值和最大值,如,343,344,那么对于不同的自然数 x,64（x5）的取值共有 个5 （10 分）某水池有 A,B 两个水龙

2、头如果 A,B 同时打开需要 30 分钟可将水池注满现在 A 和 B 同时打开 10 分钟,即将 A 关闭,由 B 继续注水 40 分钟,也可将水池注满如果单独打开 B 龙头注水,需要 分钟才可将水池注满6如图是一个五棱柱的平面展开图图中的正方形边长都为 2按图所示数据,这个五棱柱的体积等于 7 （10 分）一条路上有 A、O、B 三个地点,O 在 A 与 B 之间,A 与 O 相距 1620,米,甲、乙两人同时分别从 A 和 O 点出发向 B 点行进,出发后第 12 分钟,甲、乙两人离 O 点的距离相等;第 36 分钟甲与乙两人在 B 点相遇那么 O 与 B 两点的距离是 米28 （10 分

3、）从 1 到 1000 中最多可以选出 个数,使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和二解答下列各题（每题 10 分,要求写出简要过程）.9 （10 分）一个四位数与它的反序数之差可否为 1008?请说明理由10 （10 分）已知 99 个互不相同的质数 p1,p2,p99,记作 N+,问 N被 3 除的余数是多少?11 （10 分）能否用 500 个如图所示的 12 的小长方形形成一个 5200 的大长方形,使得5200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星?请说明理由12 （10 分）小明拿着 100 元人民币去商店买文具,回来后数了数找回来的人民币有 4 张不同币值的纸币,4 枚不同的

4、硬币纸币面值大于一元,硬币的面值小于 1 元并且所有纸币的面值和以“元”为单位可以被 3 整除,所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被7 整除问小明最多用了多少钱?（注：商店有面值为 100 元、50 元、20 元、10 元、5元和 1 元纸币,面值为 5 角、1 角、5 分、2 分和 1 分的硬币找零）三解答下列各题（每小题 15 分,共 60 分,要求写出详细过程）13 （15 分）图中,ABCD 是平行四边形,E 在 AB 边上,F 在 DC 边上,G 为 AF 与 DE 的交点,H为 CE 与 BF 的交点已知,平行四边形 ABCD 的面积是 1,三角形 BHC 的面积是,求三角形 A

5、DG 的面积14 （15 分）记一百个自然数 x,x+1,x+2,x+99 的和为 a,如果 a 的数字和等于 50,则 x最小为多少?32012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 C 卷）参考答案与试题解析一填空题（每小题 10 分,共 80 分）1 （10 分）算式 （）的值为【分析】先算小括号里面的加法,再算括号外的除法,最后算减法,由此求解【解答】解：（）,;故答案为：2箱子里已有若干个红球和黑球,放入一些黑球后,红球占全部球数的四分之一;再放入一些红球后,红球的数量是黑球的二分之一若放入的黑球和红球数量相同,则原来箱子里红球与黑球数量之比为2：5【分析】此题中,

6、第一次加球后,变化的是黑球,红球没变（原有的）,这时红球数：黑球数1：32：6;第二次加球后,黑球是这次没变（球数是第一次变化后的）,红球却变化了,这时红球数：黑球数1：23：6对比可知,黑球数一样,红球却多出了 1 份,这正是第二次加入的红球,当然也是第一次加的黑球数至此就可求得问题答案了4【解答】解：1：1：32：61：23：6321615原有红球为 2 份、黑球为 5 份故：原来箱子里的红球与黑球之比为 2：53 （10 分）设某圆锥的侧面积是 10,表面积是 19,则它的侧面展开图的圆心角是324度【分析】根据圆锥的特征,圆锥的侧面是一个曲面,侧面展开是一个扇形,底面是一个圆,圆锥的表

7、面积侧面积+底面积,由题可知底面面积为 9,所以底面半径为 3,周长也就是侧面弧长为 6,设角度为 A 侧面半径为 R,则有R210,2R6,据此解答【解答】解：设角度为 A 侧面半径为 R,则有R210,2R6,解得：A324 度答：它的侧面展开图的圆心角是 324 度故答案为：324 度54设 ab 和 ab 分别表示取 a 和 b 两个数的最小值和最大值,如,343,344,那么对于不同的自然数 x,64（x5）的取值共有2个【分析】首先对 x 进行分类讨论,分别得出 2 种结果,据此解答【解答】解：当 x5 时,x55,4（x5）5,64（x5）5;当 x4 时,x5x,4（x5）4,

8、64（x5）4故答案为：25 （10 分）某水池有 A,B 两个水龙头如果 A,B 同时打开需要 30 分钟可将水池注满现在 A 和 B 同时打开 10 分钟,即将 A 关闭,由 B 继续注水 40 分钟,也可将水池注满如果单独打开 B 龙头注水,需要60分钟才可将水池注满【分析】我们把水池的容量看作单位“1”,先求出 B 水管的工作效率,然后用单位“1”除以 B 的工作效率就是单独打开 B 龙头注水,需要的时间【解答】解：1（1）40,1,60（分钟）;答：单独打开 B 龙头注水,需要 60 分钟才可将水池注满故答案为：606如图是一个五棱柱的平面展开图图中的正方形边长都为 2按图所示数据,

9、这个五棱柱的体积等于76【分析】如图,两个五边形是折成的五棱柱的底,其面积是正方形的面积减去一个直角三角形的面积,正方形的边长是 2,三角形的底和高都是 1,据此可求出这个五边形的面积,也就是五棱柱的底面积,五棱柱的高是 2,根据直棱的体积底面积高,即可求出这个五棱柱的体积【解答】解：（2211）2（40.5）23.527;故答案为：77 （10 分）一条路上有 A、O、B 三个地点,O 在 A 与 B 之间,A 与 O 相距 1620,米,甲、乙两人同时分别从 A 和 O 点出发向 B 点行进,出发后第 12 分钟,甲、乙两人离 O 点的距离相等;第 36 分钟甲与乙两人在 B 点相遇那么

10、O 与 B 两点的距离是1620米【分析】设 12 分钟时,甲走了 x 米,则甲距离 O 点（1620 x）米,所以乙走了（1620 x）米,考虑甲乙速度不变,36 分钟时,两人到达 B 点,此时甲行走 3x,乙行走3（1620 x）米;所以有 AB4x,OB3（1620 x）,又已知 AO1620 米;ABAO+OB,得到 3x1620+3（1620 x）,解得 x1080 米;7代入 OB3（1620 x）3（16201080）,解决问题【解答】解：设 12 分钟时,甲走了 x 米,则甲距离 O 点（1620 x）米,所以乙走了（1620 x）米,36 分钟时,两人到达 B 点,此时甲行走

11、 3x,乙行走 3（1620 x）米;因为 ABAO+OB,得到：3x1620+3（1620 x）,6x6480, x1080;O 与 B 两点的距离是：3（16201080）1620（米）;答：O 与 B 两点的距离是 1620 米故答案为：16208 （10 分）从 1 到 1000 中最多可以选出334个数,使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和【分析】要使取得数最多,必须使除数尽量小,因为自然数按被 2 除得的余数可以分成 2类,即余数是：0、1,这些数中任意两个数的差都能整除它们的和,不合要求;那么再看 3,自然数按被 3 除得的余数可以分成 3 类,即余数是：0、1、2,然后再

12、把余数分为 1 与 0和 2 两类讨论即可得出答案【解答】解：显然,自然数按被 3 除得的余数可以分成 3 类,即余数是：0、1、2,8被 3 除余 1 的所有数,任两个数相加的和被 3 除余 2,差能被 3 整除,符合要求,对被 3 除余 2 的所有数也如此,即 2+24,43 还是余 1,在 1 到 1000 中,被 3 除余 1 的有 334 个,余 0、2 的 333 个因此取被 3 除余 1 的 334 个,这些数符合题意;故答案为：334二解答下列各题（每题 10 分,要求写出简要过程）.9 （10 分）一个四位数与它的反序数之差可否为 1008?请说明理由【分析】由题意得 a9,

13、d1,则2000,10081000,则四位数,1008 是三位数,没有这样的数【解答】解：设这个四位数为,如果这个四位数与它的反序数之差为 1008,则a9,d1,所以2000,10081000,则是四位数,1008 是三位数,没有这样的数所以,一个四位数与它的反序数之差不能为 100810 （10 分）已知 99 个互不相同的质数 p1,p2,p99,记作 N+,问 N被 3 除的余数是多少?【分析】除 3 以外,质数除以 3 的余数只能是 1 或 2,质数的平方除以 3,余数只能是1,（2 的平方除以 3 余 1）,然后分是否含有质数 3 讨论【解答】解：除 3 外,质数除以 3 的余数只

14、能是 1 或 2,质数的平方除以 3,余数只能是 1,所以 99 个余数 1 加起来是 99,再除以 3,余数为 0;若这些质数中有 3,因为 3233,余数为 0,9所以 99 个余数加起来是 98,983322,答：N 除以 3 的余数是 0 或 2故答案为：0 或 211 （10 分）能否用 500 个如图所示的 12 的小长方形形成一个 5200 的大长方形,使得5200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星?请说明理由【分析】500 个小长方形就有 500 个小星星,500 个星星平均分成 5 行,每行就有 100 个,是偶数;5002002（个）100（个）;再把余下的 100 个

15、平均分给 50 列,每列分 2 个,这50 列每列就是 2+24（个）,剩下的 150 列每列是 2 个,都是偶数,由此可解【解答】解：可以使 5200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星,因为;500 个小长方形就有 500 个小星星,5005100（个）,每行 100 个是偶数;5002002（个）100（个）;再把余下的 100 个平均分给 50 列,每列分 2 个,这 50 列每列就是 2+24（个）,剩下的150 列每列是 2 个,都是偶数;所以可以使 5200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星12 （10 分）小明拿着 100 元人民币去商店买文具,回来后数了数找回来的人民币

16、有 4 张不同币值的纸币,4 枚不同的硬币纸币面值大于一元,硬币的面值小于 1 元并且所有纸币的面值和以“元”为单位可以被 3 整除,所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被7 整除问小明最多用了多少钱?（注：商店有面值为 100 元、50 元、20 元、10 元、510元和 1 元纸币,面值为 5 角、1 角、5 分、2 分和 1 分的硬币找零）【分析】根据能够被 3 整除的数的特征是：各个数位上的数的和能够被 3 整除,50+20+10+181 元,50+10+5+166 元,20+10+5+136 元,都能够被 3 整除,取最小的数是 36 元,能被 7 整除,是 7 的倍数,50+10+

17、2+163 分,再加起来即可【解答】解：能够被 3 整除,50+20+10+181 元,50+10+5+166 元,20+10+5+136 元,取最小的数是 36 元,能被 7 整除是 50+10+2+163 分,36 元+63 分36 元 6 角 3 分,100 元36 元 6 角 3 分63 元 3 角 7 分;答：小明最多用了 63 元 3 角 7 分钱三解答下列各题（每小题 15 分,共 60 分,要求写出详细过程）13 （15 分）图中,ABCD 是平行四边形,E 在 AB 边上,F 在 DC 边上,G 为 AF 与 DE 的交点,H为 CE 与 BF 的交点已知,平行四边形 ABC

18、D 的面积是 1,三角形 BHC 的面积是,求三角形 ADG 的面积【分析】设出平行四边形的底和高,得出 F 点的位置,进而用平行四边形的底表示出CF、DF、BE、AE 的长度,进而用平行四边形的底和高与三角形 ADG 的底和高的关系,问题即可得解【解答】解：设平行四边形 ABCD 的底为 a,高为 h,ah111AE,BE,h1计算 F 点在 CD 上的位置：SBEHBEh2SBCH,a,;h12SBEHBE（h1为BEH 之 BE 边上的高）,2a,;SCFHCF（hh1）2,CFh2SBCH,所以 CF（）2CF2, CFCF, CF, CF;DFDCCF;122计算ADG 的面积：SA

19、DGSADESAEG,AEh2AEh22,（h2为AEG 之 AE 边上的高）2h22,h2,（1）SADGSADFSDFG,DFh2DF（hh2）2,（DFh2）2,h22,h2,（2）（2）代入（1）可得：h2h2,h2h2, h2,SADGh2,13,;答：ADG 的面积是14 （15 分）记一百个自然数 x,x+1,x+2,x+99 的和为 a,如果 a 的数字和等于 50,则 x最小为多少?【分析】先根据等差数列求和公式得到一百个自然数的和,再分 100 x+4950 两数相加没有进位;100 x+4950 两数相加 t 次进位进行讨论即可求解【解答】解：总和 a100 x+99002100 x+4950,如果 100 x+4950 两数相加没有进位,则数字和x 的数字和+4+9+550,x 的数字和32,x 至少是 5 位数：99950;如果 100 x+4950 两数相加 t 次进位,则数字和x 的数字和+4+9+59t50,x 的数字和9t32,进位一次则 x 的数字和41,最小 199949;进位 2 次则 x 数字和50,最小699899;更多进位,x 位数也必超过 5所以 x 最小是 99950