专升本《高等数学》易错题解析-第七章：无穷级数.pdf

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1、无穷级数无穷级数无穷级数是研究生入学考试数学一和数学二的重点也是难点内容之一，内容包括常数项级数的收敛与发散，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与 p 级数以及它们的收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法，初等幂级数展开式，函函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数，狄利克雷（Dlrichlei）定理，函数在-l，l上的傅里叶级数，函数在0，l上的正弦级数和余

2、弦级数。通过学习，同学应达到如下要求：1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2.掌握几何级数与 p 级数的收敛与发散的条件。3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7.理解幂级数的收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出

3、某些数项级数的和。9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10.掌握 ex、sinx、cosx、ln（1+x）和（1+x） 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在-L，L上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，L上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。一、 知识网络图三角级数傅里叶展开函数在对称区间上的的傅里叶级数幂级数的和函数函数的幂级数展开幂级数收敛半径幂级数收敛交错级数，条件和绝对正项级数级数几何级数与和性质常数项级数的一般概念常数项级数p二、典型错误分析例 1、判断级数 是否收敛。1n

4、12n1错解 , 012n1limalimnnn0a1nn分析 通项为零只是级数收敛的必要条件，即就是收敛，极限也未必为零。级数收敛的充要条件应该是 cauchy 收敛准则,但必要条件可以用来否定级数收敛正确解 ，考虑到任意性， 不)(limlim1,mnnnmmniinmaaaam妨取，于是nm22112121)1212111(21lim) 12(21321121(lim)(limlim1,nnnnnnnnaaaannmnnnmmniinm从而 上面数列发散注意，正项级数判别其敛散性的步骤如下：首先考察00ulimnn如中含或的乘积通常选用比值法；nu! nn如是以为指数幂的因子，通常用根值

5、法，也可用比值法；nun如含形如（ 可以不是整数）因子，通常用比较法；nun利用级数性质判别其敛散性；据定义判别级数敛散性，考察是否存在，实际上考察nnSlim是否有上界。 nS例 2、判别下列级数的敛散性 1nnnnn!2发散需进一步判别错解 用比式判别法则 1n1nnnn1nn1n!1n2nn!2limuulimn nnn2n1nlim 2n11limnn 发散12e分析 此乃把正项级数的比式判别公式记颠倒了正确解法 只需要后一项比前一项就可以了，显然 收敛1nnuulimn1e2例 3、判别下列级数的敛散性 1nn12nn错解 用根式判别法： 发散02112nnlimulimnnnn分析

6、 此乃把正项级数的根式判别公式与级数收敛的必要条件混淆了正确解法 其实以上情形同比式判别法，结果是收敛的或者用比较原则 nnn212nn12nn 收敛 原级数收敛1nn213交错级数的敛散性的判别法 如，则称为交错级数。0un 43211nn1nuuuuu1莱伯尼兹判别法：如交错级数满足： 1nn1nu1( i ) ( ii ) 1nnuu0ulimnn则 收敛，且和 81nn1nu11us 例 4、判断下列级数的敛散性。 1nnn1n1 错解 ，从而发散 01limlimnnunnn 分析 以上是一个不定式的极限，分子有理化后即得极限是零正确解法 由以上分析知道nnunnn1limlim01

7、1limnnn并且 nnun1 1n2n1n1n1 1n2n 1nu 收敛例 5、判断下列级数的敛散性。 1n1nnlnn11错解 发散 0ln1limlimnnunnn分析 以上是一个不定式的极限，不能贸然得极限是零正确解法 0ln111limln1limlimnnnnnunnnn并且 0n11ln1nlnn1nln1n 即 1nln1n1nlnn11uunn 由 Leibnitz 判别法知收敛注意：绝对收敛与条件收敛 知识点的掌握 为任意项级数1nnu 如 收敛 称绝对收敛1nnu1nnu 如 发散 收敛 称条件收敛1nnu1nnu1nnu 定理，如 收敛 必收敛1nnu1nnu对幂级数主

8、要讨论两个问题（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数幂级数的收敛域具有特别的结构定理：（i）如在 收敛，则对于满足0nnnxa0 xx )0 x(0的一切 都绝对收敛0 xx xn0nnxa （ii）如在发散，则对于满足的一切 0nnnxa1xx 0 xx x发散0nnnxa证：（1） 收敛0nn0nxa0 xalimn0nn （收敛数列必有界）kxan0n而n0n0n0nnnxxkxxxaxa为几何级数，当即收n0n0 xxk1xx00 xx 收 原级数绝对收敛nnxa （2）反证：如存在一点使收2x)xx(120nn2nxa则由（1）收，矛盾。0nn1nxa由证明可知幂级数的收敛域

9、为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使收，发，称 R 为收敛半径Rx Rx 幂级数的收敛半径及其求法定理：如幂级数系数满足 0nnnxannna1alim)alim(nnn或则（1）01R （2）0R （3）0R 注意：当 的敛散性不能确定，要讨论Rx0nnnxa0nnn)R(a例 6：求下列幂级数的收敛域 1nnn1nnx3) 1(错解 故33n1n3limaalimn1nnn1nn31R 收敛域为)31,31(分析 求收敛域必须考虑在端点处所对应的级数的收敛情况正确解法 当原级数为为交错级数，满足31x 1n1nn1) 1( 收敛1nnu1n1n1u0ulimnn当原级数为发31x0nn

10、1 收敛域为31,31(例 7：求下列幂级数的收敛域 1n1nxn)n1ln( 错解 ) 1nln(n1n)2nln(limaalimnn1nn 1)n11ln(nln)n21ln(nln1nnlimn 1R 收敛域为-1，1）分析 求收敛域必须考虑在端点处所对应的级数的收敛情况正确解法 当原级数为发1x 1nn)n1ln()n1n)n1ln(2n原级数为为交错级数1x1nnn)n1ln() 1(满足（1）0n)n1ln(limulimnnn （2）设 x)x1ln()x(f2x ，当，2x)x1ln(x1x)x(f2x 1x1x1)x1ln( 单调减， 0)x(f)x(f1nnu1n)n2l

11、n(n)n1ln(u故 收敛 收敛域为-1，1）1nnn)n1ln() 1(求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：,n!x2!xx1n!xen20nnx 1,1,x1xx1x1x11n1n20nnn 1,1,xxx1xx11n20nn 1 , 1,4x3x2xxnx1x1ln4321nn1n !12nx17!x5!x3!xx!12nx1sinx12nn7530n12nn , !2nx16!x4!x2!x1!2nx1cosx2nn6420n2nn , 1,1,xn!1n1x2!1x1x1n2在端点的敛散性与 有关。例 9 求下列幂级数的和函数1n

12、nx1nn错解 令 1n1n1nnxn1nxx1nnxS 321n1nx12xx1xxxx分析 幂级数只有在收敛域内才是逐项可积、逐项可导的 ，所以首先得求收敛域正确解法 xx1nn2n1nxlimuulimn1nnn1nnR=1，x=1，un0，收敛域为（-1，1）令 1n1n1nnxn1nxx1nnxS x（-1，1）321n1nx12xx1xxxx例 10 求下列幂级数的和函数0nnn2x2n!n1 错解令1nn20nn0nn2tn!nn!ttn!n1tS1nnt1nntt!1n11net!1nne2nn1nntt!2n1!1ntet2ttettee故 x (-1,1) 4x2x1exS

13、22x分析 幂级数只有在收敛域内才是逐项可积、逐项可导的 ，所以首先得求收敛域，不能想当然的认为收敛域就是（-1,1）正确解法0n0nn2n2tn!n12xt2xn!n1收敛域（-，+）0uulimn1nn令1nn20nn0nn2tn!nn!ttn!n1tS1nnt1nntt!1n11net!1nne2nn1nntt!2n1!1ntet2ttettee故，x 4x2x1exS22x,例 11 利用计算幂级数的和函数，求下列级数的和 n20nn21nn1错解 因为 ，所以 S=0021nnn2limn n20nn21nn1分析 通项趋近于零只是级数收敛的必要条件。首先考虑其对应的幂级数，再求收敛

14、域，利用收敛幂级数的性质正确解法 210n0nnn0nn2nSS21211nn21nn1S322111S2记： （-1，1） 2n2n20nn1x1nnxx1nnxS x1xxxxx1nnx222xn22n2n2 27421Sx12x132 27223227421nn10nn2n将函数展开成幂函数1、泰勒级数与麦克劳林级数 设函数在的某邻城内具有任意阶导数，则级数 xf0 x 2000000hn00nxx! 2xfxx! 1xfxfxx! nxf n00nxx!nxf称为在点的泰勒级数 xf0 xx 特别当，则级数0 x0 nn20hnnx! n0fx! 20fx! 10f0fx! n0f称为

15、的麦克劳林级数 xf2、函数展开成泰勒级数的条件 xfRxx0能展开成泰勒级数： xf 0nn00n0nn0nxx! nxfxxaxf收敛于 xf 0 xRlimnn 在，之间 1n1nnx!1nfxR0 xx3、幂级数展开式的求法 方法 1、 直接法：计算 证明： !nxfa0nn 0 xRlimnn及 200000 xx! 2xfxxxfxfxf n00nxx!nxf 方法 2、 间接法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换四则运算，逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式。例 12 将下例函数展开成的幂函数0 xx , 2x3x1xf21x0错解 ) 1)2(1211)(12111

16、211xxxxxxxf然后将, 按几何级数展开即可 1)(1x) 1)2(1x分析 不符和在 x=1 展开的如下形式 2000001! 21! 11! xxfxxfxfxnxfhnn nnxnxf1!0正确解法 2x11x12x1x1xf其中 0nnn21x12121x1211x211x1 ，121x13x1 0nnn31x13131x11311x312x1 4x2 0nn1n1nn1x312112x11x1xf 3x1（如 ，0 x0 2x1121x11xf 3x21514x15212x4x22xxf2 如 x1lnx1lnx1x1lnxx1lnxf332 ，） 1nnn31nxxn111考

17、研试题选编例 13 (2004 考研数学一) 设为正项级数，下列结论中正1nna确的是 (A) 若=0，则级数收敛.nnnalim1nna（B） 若存在非零常数，使得，则级数发散.nnnalim1nna(C) 若级数收敛，则. 1nna0lim2nnan(D)若级数发散, 则存在非零常数，使得. 1nnannnalim B 错解 C分析 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.正确解法 取，则=0，但发nnanln1nnnalim11ln1nnnnna散，排除(A)，(D)；又取，则级数收敛，但nnan11nna，排除(C), 故应选(B).nnan2lim本

18、题也可用比较判别法的极限形式， ，而级数发散，因此级数也发散，01limlimnanannnn11nn1nna故应选(B).例 14 (2004 考研数学三) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.1212)(nnnuu1nnu(2) 若收敛，则收敛.1nnu11000nnu(3) 若，则发散.1lim1nnnuu1nnu(4) 若收敛，则，都收敛.1)(nnnvu1nnu1nnv则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 错解 D分析 可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性.正确解法 (1)是错误的，

19、如令，显然，分散，而nnu) 1(1nnu收敛.1212)(nnnuu(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n )，1lim1nnnuunu所以发散.1nnu(4)是错误的，如令，显然，都发散，nvnunn1,11nnu1nnv而收敛. 故选(B).1)(nnnvu例 15 (2005 考研数学一) 求幂级数的收敛区间与和函数nnnxnn211) 12(11 () 1(错解原级数可以分成两个与121) 1()(nnnxxs两个分别求和相加而得121) 12(1) 1()(nnnxnnxp，221)(xxxs2122112)

20、 1(2)(xxxpnnn 从而对积分得到，再积分，用分步积分公式有)(xp xarctan2，从而和函数为)1ln(arctan22xxx)1ln(arctan21222xxxxx分析 显而易见该级数的收敛区域为(-1,1),正确解法 以上的推导结果只有在收敛区域才是成立的，所以正确的答案是在以上结果里加上收敛区域即可。错误的解答属于典型的对而不全例 16 (2004 考研数学一)设有方程，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟01 nxxn一正实根，并证明当时，级数收敛.nx11nnx错解 利用介值定理证明存在性，而正项级数的敛散性可用比较法判定。证明： 记 由，. 1)(nxxxfnn01)0(nf，及连续函数的介值定理知，方程存在正0) 1 ( nfn01 nxxn实数根).1 , 0(nx由与知 ，故当时，01 nxxn0nxnnxxnnn1101.)1(0nxn而正项级数收敛，所以当时，级数收敛.11nn11nnx分析 没有考虑唯一性。正确解法 现利用单调性证明惟一性。当 x0 时，可见在上单调增加, 故方程0)(1nnxxfnn)(xfn), 0 存在惟一正实数根，补上这条，原证明才完整。01 nxxn.nx