《高等数学（一元函数微分学）》考点精讲与例题解析.pdf

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1、高等数学（一元函数微分学） 考点精讲与例题解析一、学习要求1 1. 会用导数的定义求函数在一点处的导数.2 2. 会求曲线上一点处的切线方程与法线方程.3.3. 熟记导数的基本公式，会用导数的四则运算法则、复合函数的求导法则和反函数求导法则求导数.4.4. 会求分段函数的导数.5.5. 会求隐函数的导数，熟练掌握对数求导法.6.6. 会求由参数方程所确定的函数的导数.7.7. 理解高阶导数的概念，了解莱布尼兹公式，会求简单函数的n阶导数.5 5. 掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性.6 6理解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分.7 7. 会用罗尔定理证明方程根的存在性，会用拉格朗日中

2、值定理证明一些简单的不等式8 8. 会用洛必达法则求，和型未定式的极限.000-10009 9. 会利用导数判断函数的单调性、会求函数的单调区间，会利用函数的单调性证明一些简单的不等式及方程解的唯一性.1010. 理解函数的极值概念，会求函数的极值和最值，会解决一些简单的应用问题.11.11. 会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点.12.12. 会求曲线的渐近线（水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线）.13.13. 会描绘一些简单函数的图形.二、学习内容1.1. 导数的 3 3 种定义形式定义 1 设函数在点的某一邻域内有定义，如果，则称函数)(xfy 0 xxyxfx00lim)(在点处可导。其中

3、，)(xf0 x)(-)(00 xfxxfy第 1 页 共 34 页定义 2 设函数在点的某邻域内有定义，若，)(xf0 x000-)(-)(lim)(0 xxxfxfxfxx或，则称函数在点处可导。则称函数xxfxxfxfx)(-)(lim)(0000)(xf0 x 在点处可导。)(xf0 x定义 3 若函数在点的某个左（右）邻域内有定义，并且)(xf0 x（）则称函数在000-)(-)(lim)(-0 xxxfxfxfxx000-)(-)(lim)(0 xxxfxfxfxx)(xf点 处存在左（右）导数。0 x函数在点处可导的充要条件是。)(xf0 x)()()(00-0 xfxfxf例例

4、 1 1 若，则求1)(-)2(lim000 xxfxxfx)(0 xf 解解: ，因此xxfxxfx)(-)2(lim0001)(22)(-)2(lim20000 xfxxfxxfx21)(0 xf例例 2 已知函数在处可导，且，求)(xf0 x2(0) fxfxfx(0)-)(-2lim0解：-4(0)2-2-(0)-)(-2lim2-(0)-)(-2lim00fxfxfxfxfxx例例 3 讨论函数在处的可导性0001)(1xx-exxfx0 x解：解： ，所以函数在处连续0(0)(lim0fxfx)(xf0 x，1-11lim(0)-)(lim(0)100-xxxexfxff0-11l

5、im(0)-)(lim(0)100 xxxexfxff，所以函数在处不可导。(0)(0)-ff0 x第 2 页 共 34 页2.2. 可导与连续的关系函数在点处可导函数在点处连续)(xf0 x)(xf0 x反之不成立，例如，函数在点处连续，但不可导。从可导和连续的关系可以| xy 0 x看出，如果函数在点处不连续，则函数在点处必不可导。请看下例)(xf0 x)(xf0 x例 4 设，求。, 1,4, 1,2)(2xxxxxxf) 1 (f 解：因为，所以不存在，3)2(lim)01 (21xxfx44lim)01 (1xfx)(lim1xfx从而是间断点，即在处不连续，故在不可导。1x)(xf

6、1x)(xf1x3. 求导基本公式（1） （2）0)(C1 -)(xx（3） （4）xxcos)sin(xx-sin)cos(（5） （6）xx2sec)tan(xx2-csc)cot(（7） （8）xxxtansec)sec(xxxcot-csc)csc(（9） （10）aaaxxln)(xxee )(（11） （12）axxaln1)log(xx1)ln(（13） （14）2-11)arcsin(xx2-11-)arccos(xx（15） （16）211)arctan(xx211-)cot(xxarc4. 求导四则运算设，都可导，则)(xuu )(xvv （1） （2）（为常数）vuvu

7、)(uccu )(c（3） （4）uvvuuv )(2-)(vvuvuvu0)( v例 5 求下列函数的导数第 3 页 共 34 页（1） （2）7sinlncos33xxxxyxxxycosln3（3）xxxycos1sin解：（1） xxxxy1cos-31332-2（2）xxxxxxxxxxxxxxxxysinln-coscosln3)sinln-cos(cosln332232 （3）2)cos1 ()(-sincossin(xxxxxy5. 复合函数求导例 6 设，求xeytany解：)()tan()(tan xxeyx21-2tan21secxxex例 7 设，求xxfdxd)(ln

8、)(xf 解：，令，则，即xxxfxfdxd1)ln()(lnxtlntex tetf2)(xexf2)(6. 隐函数求导和参数方程求导例 8 求下列函数的导数：（1）设函数由方程所确定，求；)(xyy 1xyeye0 xdxdy（2）设函数由方程所确定，求.)(xyy 1arctan2yexydxdy分析： 这是一组隐函数求导数的问题，对题，注意由可得，求0 x1y即为求曲线上点处的导数。对题，由于函数已就解出，故视为函数，0 xdxdy) 1 , 0(xx为自变量，对求导数得，再利用反函数求导法则得.yydydxdxdy解： 将代入方程得，从而。对方程两边关于求导数，得 0 xeyey1y

9、x第 4 页 共 34 页，将，代入得，即1xyyeyyeye0 x1yeyeye)0()0(210 xy 对方程两边关于变量求导数，得y ，1212121) 1(11222yyyeyyyedydxyy1211422yyeyyy由反函数求导法则得 .11412/122yeyyyydydxdxdy说明 题中求可解出后再将，代入，但计算较繁琐，这表0 xdxdyy0 x1y明选择合适的代入时间可简化计算。 题的结果中是的函数，不必将其化为的函数形式，这表明对隐函数求dxdyyx导数，结果中允许出现变量，注意对复合函数求导数，结果中不能有中间变量而)(xyy 必须化为用自变量表示的形式。例 9 已知

10、 求., 2,tytteyetex0 xdxdy分析：注意到函数是由方程所确定的隐函数，函数由参)(tyy 2tyteye)(xy数方程所确定，故求，需先由隐函数求导法则求出，再由参数方程求导)(,tyytextdxdydtdy法求解。解：由已知条件知，当时，.对方程两边关于 求导，得 0 x0t1y2tyteyet， 0)(dtdytyeyedtdyetytt解得 ，而 ，tyttytteeeeydtdy)(ttteedtdx所以 ，将代入，得)()(/tttyttytteeteeeeydtdxdtdydxdy1, 0, 0ytx20 xdxdy例 10 已知函数，求)4-)(3-()2-)

11、(1-(xxxxy y解：（对数求导法）函数两边同时取对数得第 5 页 共 34 页)4ln(-) 3ln(-)2ln() 1ln(21)4-)(3-()2-)(1-(ln21lnx-x-x-x-xxxxy上式两边同时对求导数：x4131211121x-x-x-x-yy所以 413121114)-)(3-()2-)(1-(21x-x-x-x-xxxxy对数求导法主要用于多个函数连乘除的求导数及幂指函数的求导数。)g()(xxfy 例 11 设函数，求sinx)1(xxyy解：函数式两边同时取对数得：xxxy1lnsinln上式两边同时对求导：x)1 (sin1lncosxxxxxxyy所以 x

12、xxxxxxxxysin)1()1 (sin1lncos7. 高阶导数二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数。例 12 已知，求2-1-arccosxxxy y 解：，xxxxxxyarccos-1-1-arccos222-11-xy 例 13 已知函数由方程所确定，求)(xyy exyeyy 解：方程两边关于求导， x0yxyyey所以 xeyyy-再对式两边关于求导，解得x0)(2 yxyyyeyeyy xeyyeyyy 2)(-2第 6 页 共 34 页将代入得 32)()(2-xexeyyeyyyy 例 14 设函数由方程所确定，求22dxyd.)(xyy 0sin21yyx分析：这是隐函

13、数求二阶导数的问题，由隐函数求导法则可得，0cos211dxdyydxdy于是可用两种方法求.22dxyd解：对已知方程两边关于求导数，得x0cos211dxdyydxdy可用两种方法求得.22dxyd方法 1 由上式解得，注意到，故由商的求导公式得ydxdycos22)(xyy .3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd方法 2 注意到及都是的函数，对式两边关于求导数，ydxdyx0cos211dxdyydxdyx得 ，0cos21)(sin2122222dxydydxdyydxyd解得 3222)cos2(sin4)(2cossinyydxdyyydxyd.

14、例 15 求下列函数的阶导数：n ； .xeyxsin)41ln(2xy解题思路：求阶导数的方法有直接法与间接法。所谓直接法，是指先求出已知函数的n一阶到三阶或四阶导数后，从中寻找规律写出阶导数的一般形式；所谓间接法，是指对n已知函数通过四则运算、变量代换等方法，利用几个常用函数的阶导数公式进行求解。n间接法是常用方法，应注意掌握。解： 用直接法求解，因为，)cos(sinxxeyx)4sin(2xex ，)4cos()4sin(2 xxeyx)24sin()2(2xex第 7 页 共 34 页，)24cos()24sin()2(2 xxeyx) 34sin()2(3xex归纳可得.)4sin

15、()2()(nxeyxnn 用间接法求解方法 1 因为，由)21ln()21ln()41ln(2xxxynnnxnx)1 (!) 1() 1()1ln(1)(得，nnnnxnx)21 (2 !) 1() 1()21ln(1)(，nnnnnnxnxnx)21 (2 !) 1()21 ()2( !) 1() 1()21ln(1)(于是.)()()()21ln()21ln(nnnxxy)21 (1)21 () 1(2!) 1(1nnnnxxn方法 2 因为，所以利用有 xxxxy21221241821)()1 (!) 1()11(nnnxnx，即nnnnxnx)21 (2 !) 1() 1()211

16、(11)1(nnnnxnx)21 ()2( !) 1() 1()211(11)1(.)21 (1)21 () 1(2!) 1(1)(nnnnnxxny说明：对题，若利用莱布尼茨公式可用间接法求，但结果的形式较复杂且不易合并。对题，若用直接法，即由求，则不易归纳出阶导数的一般2418xxyy y n形式，且两种方法表明，同一函数可用不同的公式求解。8. 分段函数求导例 16 已知函数，求.1)(xexf)(xf 分析：这是含有绝对值符号函数的求导问题，一般是先去掉绝对值符号将其化为分段函数，然后对各区间段的函数利用初等函数求导法则求导数，再对衔接点利用导数定义求导数。第 8 页 共 34 页解：

17、因为，所以, 1, 1,)(111xexeexfxxx当时， ；当 时，而1x1)(x-exf1xxexf- 1-)(，1) 1 ()(lim) 1 (1xfxffx111lim11xexx1) 1 ()(lim) 1 (1xfxffx，111lim11xexx所以不存在，从而) 1 (f 1-11)(- 11 -xexxexfxx不存在例 17 设，问为何值时处处可导并求。0011)(xbxaxxxxfba,)(xf)(xf 解题思路：与已知极限存在或函数在某点连续确定函数表达式中的常数一样，这类问题需用导数定义求解，注意到可导必连续，因此利用在连续与可导条件建立常数)(xf0 x和所满足的

18、代数方程组，然后解方程组使问题得以解决。ab解：由初等函数的可导性，只要在可导，则处处可导，当时)(xf0 x)(xf0 x可导则必连续，故有，)(xf(0)(lim)(lim0 x0-fxfxfx(0)(0)(0)-fff因为，21)(21lim11lim)(lim000-xxxxxfxxxabxaxfxx)lim)(lim00（所以. 又因21axxxxfxffxx2111lim)0()(lim)0(00202111limxxxx )1211 ()1 ()211 (lim220 xxxxxx81)1211 (41lim220 xxxxx，故，即.bxfxffx)0()(lim)0(081b

19、81)0( f第 9 页 共 34 页综上所述，当，时处处可导，且21a81b)(xf)(xf 0,810,122122xxxxxx9. 微分可导函数点处的微分)(xfy 0 xx dxxfxxfdy)()(00（1）可微与可导的关系函数在点处可导函数在点处可微)(xfy 0 xx )(xfy 0 xx （2）微分与增量的关系自变量的微分等于自变量的增量，即dxx 函数的增量，微分)(xfy xxxfy)(0dxxfxxfdy)()(00当时，；0 xdyy 当，且时，0 x0)(0 xf，与是等价无穷小1lim)(1)(limlim00000 xyxfxxfydyyxxxydy例 18 已知

20、函数，求)2(sin2221xyxdy解题思路：这是一组复合函数求导数问题，关键是弄清楚函数的复合关系，从外层到里层逐层求导。当已知函数既有复合运算也有四则运算时，应根据函数的表达式决定先用四则运算求导法则还是复合函数求导法则，有时也可利用对数求导法或一阶微分形式不变性简化运算。解： ，只要求出即可。利用乘法法则与复合函数求导法则有dxydyy )2)(2cos()2sin(22)2(sin)1)(2ln2(2221221xxxxxyxx ，)4)(4sin(22ln)1)(2(sin2212221xxxxxx所以 .dxxxxxdyx2ln)2(sin)4sin(412222321例 19

21、已知函数由方程所确定，求)(xyy 0ln-yxeydy解：方程两边同时对求导数，得0ln-yxeyx0-yyyxeeyy第 10 页 共 34 页所以，故1-yyxyeyey dxxyeyedxydyyy1-例 20 设函数，可导，求)(-)(xfxeefy )(ufdy解：)()()(-)()e()(-)()(-)(-xfefeefexfefeeefy-x-x-xxfxfxxf-xx所以dxydydxxfefeefe-x-x-xxf)()()(-)(例 21 利用导数定义求下列函数在指定点处的导数或微分(1) 设，求；)2arcsin()100()2)(1()(2xxxxxxxf)2(f

22、(2) 设在连续且，求.)(xax )()()(22xaxxfaxxdf)(解题思路： 由导数与微分的关系，求函数在一点处的导数或微分，一般是)(xfy 0 x利用公式及法则先求出导函数，再将代入计算导函数在处的函数值，但)(xf 0 x0 x)(0 xf 有时也直接利用导数定义，如第(2)题由于仅有在连续而是否可导未知，)(xax )(x不满足求导法则的条件，故利用导数定义求解。解：(1) )100()4)(3)(1()2()100()4)(3)(1()(x-x-x-x-xx-x-x-x-x-xxf2221)2arcsin(2)-(x-xx-x所以 ， (2)f 4!9824)98()2()

23、 1(12 .(2) 因为，而0)(af axafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim22 ，)(2)()(limaaxaxax所以 .axxdf)(dxaf)( dxaa)(2第 11 页 共 34 页自测题自测题 2.12.11. 填空题（28 分）：函数在可导的必要条件是在该点 ；)(xf0 x)(xf设为可微函数，则 ；)1(xfy dy设，则 ；1arcsin) 1-()(xxxxxf(1)f设 当 时在可导；, 0,1sin)(xxxfa, 0, 0 xxa)(xf0 x设是由方程所确定的隐函数，则 ；)(xyy 1lnyxy)0(y设则 ；,sin,lnty

24、tx22dxyd设，则 。)-1 (ln)(xxf(0)(nf2. 解下列各题（42 分）： 已知是可导函数，求；)(xf0(0) f2(0)f20tan)cos-1 (limxxfx 设，求；2121arctanxexydy 设，求；xxxyln)sin(y第 12 页 共 34 页 设由方程组 所确定，求；)(xyy 1sin,sinlnteytxydxdy 设由方程所确定，求；)(xyy 1yxey1 yy 已知，求。2312xxy ny3. 求曲线 在处的切线方程， （8 分）)1 (ln32,arctan322ttyttx3x第 13 页 共 34 页4.讨论函数 在处的连续性与可微

25、性。 （8 分）, 0,11)(xxxf0, 0 xx0 x5. 设对任意实数和，函数满足等式且，证明：xy)(xf)()()(yfxfyxf1(0) f.（7 分）)()(xfxf第 14 页 共 34 页6. 证明：若在处不连续，则在处必不可导。 （7 分）)(xf0 x)(xf0 x第 15 页 共 34 页自测题自测题 2.22.21. 填空（20 分）：设，则 ；112arctan) 1-()(232xxxxxxf(1)f设是由方程所确定的隐函数，则 ；)(xyy 0cosxyeyx(0)y设，则 ；txxxttf2)11 (lim)()(tdf设是可导函数，且，则曲线在点处的)(x

26、f12)-1 (1)lim0 xxffx)(xfy (1), 1 (f切线斜率是 ；设，则使存在的最高阶导数 。xxxxf223)(0)(nfn2.解下列各题（40 分）： 设二阶可导，且，求 ；)(xftxxftxftxFtsin)(-)2(lim)(2)(xF 设，求；)(ln2222222axxaaxxydy 设，求；33235211exxxyy第 16 页 共 34 页 设由确定，求，；)(xyy 23)1 (lnttyttxdxdy22dxyd 设，求 ；xxxfln)(2)()(xfn3n3. 设在有定义且，又对任意正实数，有，)(xf), 0( 2) 1 ( fyx,)()()(

27、yfxfxyf求.)(xf4.设在上处处可导，且存在，若函数)(xf),(-(0)f 0(0)(0) ff第 17 页 共 34 页 求。 （10 分）, 0,)()(xxfxg, 0, 0 xx)(xg5. 已知在有定义，且对任意都有，当时)(xf,x)(2) 1(xfxf10 x，试判断在处的可导性。 （10 分）)-1 ()(2xxxf)(xf0 x6. 设，且，证明：nxaxaxaxfnsin2sinsin)(21xxfsin)( 。 （10 分）132321nnaaaa第 18 页 共 34 页第 19 页 共 34 页中值定理与导数的应用1.1. 极值的概念设在的某一邻域内有定义，

28、若对一切有)(xf0 x)(0 xU)(0 xUx ), )()( )()(00 xfxfxfxf则称在取得极小(大)值，称是的极小(大)值点，极小值和极大值统称为极值，)(xf0 x0 x)(xf极小值点和极大值点统称为极值点费马定理 若在可导，且在取得极值，则)(xf0 x0 x0)(0 xf0 xxyO费马定理的几何意义如图所示：若曲线在取得极大值或极小值，且曲线在)(xfy 0 x处有切线，则此切线必平行于轴0 xx习惯上我们称使得的为的驻点费马定理表明：可导函数在0)( xfx)(xf)(xf取得极值的必要条件是为的驻点0 x0 x)(xf2.2. 微分中值定理罗尔中值定理 若在上连

29、续，在内可导且，则在内至)(xf,ba),(ba)()(bfaf),(ba少存在一点，使得0)(f罗尔中值定理的几何意义：在两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于轴xx例 1 1 不用求出函数的导数，说明有几个实根，)4)(3)(2)(1()(xxxxxf0)( xf并指出它们所在的位置解：由于是内的可导函数，且，故在区)(xf),(0)4() 3()2() 1 (ffff)(xf间上分别满足罗尔中值定理的条件，从而推出至少存在4 , 3,3 , 2,2 , 1 ，使得)4 , 3( ),3 , 2( ),2 , 1 (321)3

30、 , 2 , 1(0)(ifi又因为是三次代数方程，它最多只有个实根，因此有且仅有个0)( xf30)( xf3实根，它们分别位于区间内)4 , 3(),3 , 2(),2 , 1 (第 20 页 共 34 页例 2 2 设，证明方程在内至少有一个根01.210naaan0.10nnxaxaa) 1 , 0(证: :令则，,1.2)(1210nnxnaxaxaxFnnxaxaaxF.)(100)0(F且由假设知，可见在闭区间上满足罗尔中值定理的条件，从而推出至少存0) 1 (F)(xF 1 , 0在一点，使得即方程在内至少有一个根。) 1 , 0(0)(F0.10nnxaxaa) 1 , 0(

31、拉格朗日中值定理若在上连续，在内可导，则在内至少存在一)(xf,ba),(ba),(ba点，使得abafbff)()()(从这个定理的条件与结论可见，若在上满足拉格朗日中值定理的条件，则当)(xf,ba时，即得出罗尔中值定理的结论，因此说罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一)()(bfaf个特殊情形。例 3 证明：若在区间内可导，且，则在内是一个常数)(xfI0)( xf)(xfI证：在区间内任取一点，对任意，在以与为端点的区间上应用拉I0 x0,xxIx0 xx格朗日中值定理，得到)()()(00 xxfxfxf其中介于与之间由假设知，故得，即这0 xx0)(f0)()(0 xfxf)()(0

32、 xfxf就说明在区间内恒为常数)(xfI)(0 xf例 4证明：若在上连续，在内可导，且，则在上严)(xf,ba),(ba0)( xf)(xf,ba格单增证：任取，且，对在区间上应用拉格朗日中值定理，,21baxx21xx )(xf,21xx得到 211212 , )()()(xxxxfxfxf由假设知，且，故从上式推出，0)(f012 xx0)()(12xfxf即所以在上严格单增)()(12xfxf)(xf,ba类似可证：若，则在上严格单减0)( xf)(xf,ba例 5 证明不等式对一切成立xxxx)1ln(10 x证：令，对任意，在上满足拉格朗日中值定理的条件，)1ln()(xxf0

33、x)(xf, 0 x从而推出至少存在一点，使得 ), 0(xxffxf)()0()(第 21 页 共 34 页由于，上式即0)0(f11)(f1)1ln(xx又由，可得x0 xxxx11因此当时就有0 xxxxx)1ln(13.3. 洛必达法则若 (1)，；0)(lim0 xfxx0)(lim0 xgxx(2) 与在的某去心邻域内可导，且；)(xf)(xg0 x0)( xg(3) 存在， （或为） ，则)()(lim0 xgxfxx)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx例 6 下列极限(1) (2) ;sinlim30 xxxx;2coslim2xxx(3) (4) ;1a

34、rctan2limxxxxxxxxxln1lim1解：由洛比达法则可得(1) 616sinlim3cos1limsinlim02030 xxxxxxxxxx(2) 11sinlim2coslim22xxxxx(3) 11lim111lim1arctan2lim2222xxxxxxxxx(4) 211) 1(lnlim11) 1(ln1limln1lim22111xxxxxxxxxxxxxxxxxxx例 7 求下列极限：第 22 页 共 34 页(1) (为正整数) （2）(为正整数)xxmx)(lnlimmxmxexlimm(3) (4) xxx3tanln5tanlnlim0 xexxexx

35、xarctan2lim解：(1) 由于，故0lim11limlnlim1111mxmxmxxmxmxxx0)ln(lim)(lnlim1mmxmxxxxx (2) 由于，所以011limlim11xmxxmxemex0)(limlim1mxmxxmxexex (3) 13tan15tan1lim5tan33tan5lim3tan3sec35tan5sec5lim3tanln5tanlnlim22002200 xxxxxxxxxxxxxx(4) 由于xxxxxxexxxexexxe212arctan2limarctan2lim 1112arctan21lim2xxxxeexxxe且，所以.1)2

36、(2arctan2limarctan2limxexxexexxexxxxxx1arctan2limxexxexxx对于其它类型的未定式，如等类型，我们可以通过恒等变形或简1 ,0 , , ,00 0单变换将它们转化为或型，再应用洛必达法则00例 8 求下列极限：(1) (2) ;lnlim0 xxx);tan(seclim2xxx(3) (4) (5) ;)1 (lim1xxx;lim0 xxx210)(coslimxxx第 23 页 共 34 页解：(1) 0)(lim11lim1lnlimlnlim02000 xxxxxxxxxxx(2) 0sincoslimcossin1lim)tan(

37、seclim222xxxxxxxxx(3) 由于，0111lim) 1ln(lim)1ln(lim1xxxxxxxx所以1lim)1 (lim0)1ln(11eexxxxxx(4) 由(1)得，所以0lnlimlnlim00 xxxxxx1limlim0ln00eexxxxxx(5) 由于212tanlim)ln(coslim)ln(coslim020102xxxxxxxxx所以21)ln(cos010212lim)(coslimeexxxxxx我们已经看到，洛比达法则是确定未定式的一种重要且简便的方法使用洛必达法则时我们应注意检验定理中的条件，然后一般要整理化简；如仍属未定式，可以继续使用使

38、用中应注意结合运用其他求极限的方法，如等价无穷小替换，作恒等变形或适当的变量代换等，以简化运算过程此外，还应注意到洛必达法则的条件是充分的，并非必要如果所求极限不满足其条件时，则应考虑改用其它求极限的方法例 9 极限存在吗? 能否用洛比达法则求其极限?xxxxxsinsinlim解：，极限存在但不能用洛比达法则求出其极限因为1sin11sin11limsinsinlimxxxxxxxxxx尽管是型，可是若对分子分母分别求导后得，由于不xxxxxsinsinlimxxcos1cos1xxxcos1cos1lim存在，不满足洛必达法则第三条，故不能使用洛必达法则。4.4. 利用单调性证明不等式例

39、10 证明：当时，1xxx132第 24 页 共 34 页证：令，则在上连续，在内可导，且xxxf132)()(xf) , 1 ) , 1 (，故在上严格单增，从而对任意，都有 011)(2xxxf)(xf) , 1 1x即当时，0) 1 (132)(fxxxf1xxx1325.5. 函数的极值由费马定理我们知道，可导函数的极值点一定是它的驻点但是反过来却不一定例如是函数的驻点，可它并不是极值点，因为是一个严格单增函数0 x3xy 3xy 所以只是可导函数在取得极值的必要条件，并非充分条件另外，对0)(0 xf)(xf0 xx 于导数不存在的点，函数也可能取得极值例如，它在处导数不存在，但在该

40、 xy 0 x点却取得极小值 0综上所论，我们只须从函数的驻点或导数不存在的点中去寻求函数的极值点，进而求出函数的极值极值第一充分条件 设在连续，且在的去心邻域内可导)(xf0 x0 x),(0 xU(1) 若当时，当时，则在),(00 xxx0)( xf),(00 xxx0)( xf)(xf取得极大值；0 x(2) 若当时，当时，则在),(00 xxx0)( xf),(00 xxx0)( xf)(xf取得极小值；0 x(3)若对一切都有(或)，则在不取极值),(0 xUx0)( xf0)( xf)(xf0 x例 11 求的极值点与极值32 )52(xxy解：在内连续，当时，有32353252

41、 )52(xxxxy),(0 x331-321310310310 xxxxy令得驻点当时，函数的导数不存在列表讨论如下(表中表示单增，0 y1x0 x表示单减)：x)0 ,( 0 ) 1 , 0( 1), 1 ( y +不存在 0 +第 25 页 共 34 页 y 0极大值 3 极小值 故得函数的极大值点，极大值；极小值点，极小值)(xf0 x0)0(f1x3) 1 (f顺便指出，我们也可以利用函数的驻点及导数不存在的点来确定函数的单调区间例如上例中函数的单增区间为及；单减区间为32 )52(xxy0 ,(), 1 1 , 0当函数二阶可导时，我们也往往利用二阶导数的符号来判断的驻点是否为极)

42、(xf)(xf值点极值的第二充分条件 设在二阶可导，且)(xf0 x0)(, 0)(00 xfxf(1) 若，则在取得极大值；0)(0 xf)(xf0 x(2) 若，则在取得极小值0)(0 xf)(xf0 x例 12 试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还axxaxf3sin31sin)(3x是极小值？求此极值解：由假设知，从而有，即xxaxf3coscos)(0)3(f012a2a又当时，且，2axxxf3sin3sin2)( 03)3( f所以在处取得极大值，且极大值xxxf3sin31sin2)(3x3)3(f6 6 函数的最大值与最小值及其应用问题根据闭区间上连续函数的性质，若函

43、数在上连续，则在上必取得)(xf,ba)(xf,ba最大值和最小值本段将讨论这样求出函数的最大值和最小值对于可导函数来说，若在区间内的一点取得最大(小)值，则在不仅有)(xfI0 x0 x即是的驻点，而且为的极值点一般而言，最大(小)值还可能在, 0)(0 xf0 x)(xf0 x)(xf区间端点或不可导点上取得因此，若在上至多有有限个驻点及不可导点，为了避免)(xfI对极值的考察，可直接比较这三种点的函数值即可求得最大值和最小值例 13 求函数在上的最大值与最小值593)(23xxxxf4 , 2解：在上连续，故必存在最大值与最小值令)(xf4 , 2，得驻点和，因为0) 3)(1( 396

44、3)(2xxxxxf1x3x第 26 页 共 34 页 ,15)4( , 3)2( ,22) 3( ,10) 1(ffff所以在取得最大值 10，在取得最小值 )(xf1x3x22-说明 求最大(小)值的问题中，值得指出的是下述特殊情形：设在某区间上连续，在)(xfI内可导，且有唯一的驻点如果还是的极值点，则由函数单调性判别法推知，I0 x0 x)(xf当是极大值时，就是在上的最大值；当是极小值时，就是)(0 xf)(0 xf)(xfI)(0 xf)(0 xf在上的最小值)(xfI例 14 求数列的最大项 n n解：设则),0( )(1xxxfx210ln1)(xxxxfx令得当时当时所以在,

45、 0)( xfex ), 0(ex, 0)( xf),( ex, 0)( xf)(xf时取得极大值由于是唯一的驻点，故为在内的最大ex ex eeef1)()(xf), 0( 值直接比较与有，从而推知是数列的最大项233332 33 n n如果遇到实际生活中的最大值或最小值问题，则首先应建立起目标函数(即欲求其最值的那个函数)，并确定其定义区间，将它转化为函数的最值问题特别地，如果所考虑的实际问题存在最大值(或最小值)，并且所建立的目标函数有唯一的驻点，则必为所求)(xf0 x)(0 xf的最大值(或最小值)7.7. 曲线的凹凸性和拐点例 15 讨论高斯曲线的凸性2xey解：，所以22xxey

46、2) 12(22xexy 当，即当或时；0122x21x21x0 y当，即当时0122x2121x0 y因此在区间与内曲线是凹的，在区间内曲线是凸的。)21,(),21()21,21(定义 曲线上的凹与凸的分界点称为该曲线的拐点。根据上例的讨论即知，点与都是高斯曲线的拐点)1,21(e)1,21(e2xey拐点的必要条件 若在某邻域内二阶可导，且为曲线)(xf0 x),(0 xU) )( (0, 0 xfx的拐点，则)(xfy 0)(0 xf下面是判别拐点的两个充分条件第 27 页 共 34 页定理 设在某邻域内二阶可导，若在的左、右两侧分别有确)(xf0 x0)(0 xf)(xf 0 x定的

47、符号，并且符号相反，则是曲线的拐点，若符号相同，则不是拐)(,(00 xfx)(,(00 xfx点定理 设在三阶可导，且，则是曲线)(xf0 x0)(0 xf0)(0 xf)(,(00 xfx的拐点)(xfy 此外对于的二阶不可导点，也有可能是曲线的拐点)(xf0 x)(,(00 xfx)(xfy 例 16 求曲线的拐点31xy 解：在内连续当时，31xy ),(0 x353292 ,31 xyxy当时，不存在由于在内，在内，因此曲0 x0yyy ,)0 ,(0 y), 0( 0 y线在内凹，在内凸，由拐点的定义可知点是曲线的拐点31xy )0 ,(), 0( )0 , 0( 综上所述，寻求曲

48、线的拐点，只需先找到使得的点及二阶不可导点，)(xfy 0)(0 xf然后再按凹凸性判定定理去判断。8.8. 渐近线当函数的定义域或值域含有无穷区间时，要在有限的平面上作出它的图形就必须)(xfy 指出趋于无穷时或趋于无穷时曲线的趋势，因此有必要讨论的渐近线xy)(xfy 定义 设的定义域含有无穷区间，若，)(xfy ),( a0)(limbkxxfx则称是在时的斜渐近线，当时，为的水平渐bkxy)(xfy x0kby )(xf近线若，则称为的垂直渐近线)(lim( )(lim00 xfxfxxxx或0 xx )(xfy 说明：，bkxxfx)(limkxxfx)(lim类似地可以定义时的斜渐

49、近线x例 17 求下列曲线的渐近线(1) ； (2) 12xxyxxy)1ln( 第 28 页 共 34 页解：(1) 的定义域为，且，12xxy),(11lim2xxxx，11lim2xxxx21)1(lim2xxxx21)1(lim2xxxx所以在时有斜渐近线，在时有斜渐近线12xxyx21 xyx21xy(2) 的定义域是由于，xxy)1ln( ), 0()0 , 1(0)1ln(limxxx，所以有水平渐近线和垂直渐近线xxx)1ln(lim1xxy)1ln( 0y1x第 29 页 共 34 页导数的应用习题1、证明（） 。2arccosarcsinxx11x2、某厂生产电视机，固定成

50、本为元，每生产一台电视机，成本增加元，已知总收益 R 是ab年产量的函数 ,x21( )42RR xbxx(04 )xb问每年生产多少电视机时，总利润最大？此时总利润是多少？3、证明：当时，不等式成立。01a01- aaxxa第 30 页 共 34 页4、确定抛物线方程中的常数, 使其与直线在处相切.2yxbxcbc、2yx2x 5、设函数处有极小值-10, 求常数3232yxaxbxcxx 在处有极大值,在。abc、6、三次函数当时有极小值 0, 又曲线在点(1,8)处的切线过(3,0)点.求( )f x3x ( )yf x的表达式。( )f x第 31 页 共 34 页7、设函数在0，1可