考研《高等数学》模拟考试题（三）.pdf

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1、 1 2016 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）模拟题 一选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列各题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在题后的括号内。 （1）设( )f x为可导的偶函数，且满足0(1)(1)lim12xffxx ，则曲线( )yf x在点( 1,( 1)f处的法线的斜率为 （ ） （A)12 1( )2B （C）2 （D）2 （2）曲线1121xxeyx的渐近线条数为 （ ） （A）3 条 （B）2 条 （C）1 条 （D）0 条 （3）设0( )(2) ( )xF xtx f t dt，( )f x可导且( )0f

2、x，则（ ） （A）(0)F是极值，且为极大值； （B）(0)F是极值，且为极小值； （C）(0)F不是极值，但点(0,0)是曲线( )F x的拐点； （D）(0)F不是极值，点(0,0)也不是曲线( )F x的拐点. （4）设( , )f x y在0,0处连续，且2200( , ) 1lim41xyxyf x ye，则 （ ） （A）( , )f x y在0,0处偏导数不存在 （B）( , )f x y在0,0处偏导数存在但不可微 （C）(0,0)(0,0)4xyff，且( , )f x y在0,0处不可微 （D）(0,0)(0,0)0 xyff，且( , )f x y在0,0处可微分 （5

3、）下列反常积分 12arctandxxx， 0)sin(2dxxxex， 1122,1)1 (xxdx dxxx10ln1 中收敛的是 （ ） 2 （A） （B） （C） （D） （6） 设)( xf在,ba上可导， 又满足0)()()(2xadttfxfxf， 且,0)(badttf则xadttf)(在),(ba内 （ ） （A）恒为零 （B）恒为正 （C）恒为负 （D）可变号 （7）已知三阶实对称矩阵3 3()ijAa满足条件：1A ；331a ； ( ,1,2,3)ijijaA i j，其中ijA为ija的代数余子式，则方程组123001xA xx 的解： （ ） （A）352 （B）1

4、23 （C）001 （D）101 (8) 设,A B均为n阶矩阵，且( )( )r Ar Bn，则A与B （ ) （A）必有相同的非零向量组； （B）必有全部相同的特征值； （C）均有零特征值，但没有公共的特征向量； （D）均有零特征值，且有公共特征向量. 答案：14AACD 5-8 BACD 其中：5,分析： （1） (1)法一：2211121()arctan111arctanln2142421dxxdxxdxxx ，缺点慢 法二：由柯西判别法，22arctan2xxlim xx（1p ） ，故（1）收敛. （2）发散， （4）发散 （3）收敛于22. 2sin2222001sec2222a

5、rctan( 2 tan ) 21 sin1 2tan20 xttIdtdtttt 6 分析： 令( )( ),( )( )0 xaF xf t dt F aF b， 方程化为：2( ) ( )( )0FxF xF x 由罗尔定理，至少00( , ),()0 xa b F x，设0 x为极大值点，0()0F x，有0()0Fx， 3 有2000() ()()0FxF xF x，与条件矛盾。故( )F x恒为零. 二填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在题中的横线上。 （9）已知ln2161xtdte，则x 。 （10）设),(yxzz 由0)2,(22yezxz确定

6、，其中连续可偏导，则xz= 。 （11）星形线33cossinxatyat 的周长 。 （12）由曲线)1ln(2yx与直线2lnx所围平面图形的面积为 。 （13）微分方程xeyyy223 满足1)(lim0 xxyx的特解为 。 （14）设A，B为三阶矩阵，A与B相似，1, 121为矩阵A的两个特征值，又,311B则11)41(00)3(BBEA 。 答案： （9）2ln2， （10）11222zxzxze， （11）6a，分析：星形线：22233333cos,sinxaxyaya ， 周长：22204( )( )6lxyda. （12）4，分析：画图，ln20214xSedx. （13）

7、2332xxxyeexe （14）1144 三解答题：15-23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15） （本题满分 10 分） 试确定常数, a b的值，使极限2245001lim()xtxabedtxxx存在，并求该极限值. 分析：222320245540000131lim()limlim5xtxxtxxxaxxbedtabaxbeedtxxxxx ， 4 法一：考虑22224()1 ()()2xxexo x ，代入有： 422440311()2lim5xxaxbxo xx 2440(3)12lim5xbab xxbx存在， 有30,10abb ，所以1,1

8、3ab .极限值为110. 法二：洛必达法则.解略。 （16） （本题满分 10 分） 设( )f x在0,1上连续，在0,1内可导，( )0(01)fxx，(0)0f， 证明证明：存在,(0,1) ，使得1时，有( )( )( )( )ffff. 证明：欲证结论成立：即证：( )(1)( )(1)ffff，构造：( )(1)( )(1)fxfxf xfx， 积分得：ln( )ln(1)f xfx，于是：( ) (1)1f x fx， 令：( )( ) (1),(0)(1)0F xf x fx FF，由罗尔定理，存在(0,1). 使得( )0,F即证。 ：存在,(0,1) ，使得1时，有( )

9、( )( )( )ffff. （17） （本题满分 10 分） 求常数k的取值范围，使得不等式：,arctan)1ln(xxk当0 x时成立。 分析：从题设可知，只需考虑0k 的情形， ( )ln(1)arctan ,f xkxx则(0)0f，且 22211( )11(1)(1)kkxxkfxxxxx，令2( )1.g xkxxk 5 则当0 x 时，( ), ( )fx g x同号,10,021( )(21)0,210,2xkg xkxxkxk, 由此可见，( )g x在(0,)上的最小值2111112424kgkkkkkk ， 若( )g x的最小值大于 0，即11104 (1)1( 21

10、)42kk kkk 。 （18） （本题满分 10 分） 设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要作多少功？（假设在球从水中取出的过程中水面的高度不变） 分析：定积分的物理应用题，从水中取出缓慢小球， （19）（本题满分 10 分） 计算二重积分DdxdyyxI,)sin(其中2,20:yxxD。 分析：法一：因为被积函数需要分块表示，可以考虑以yx为分界线将区域 D 6 分成两块，12:2 ,:0DyxDyx，于是： 12sin()sin()DDIxy dyx d12sin()sin()4DDxy dyx d 法二：利用对称性，记与 D 关于yx的对称区域

11、为*D，又记： ( , )sin()( , )f x yxyf y x，由轮换对称性，*sin()sin()DDxy dxy d， *220011sin()sin()sin()22DDIxy dxy ddxxy dy ()xyt22200211(sin )sin22xxxxdxt dtdxtdt,由周期函数的积分性质 220001sinsin42dxtdtdxtdt。 （20）（本题满分 11 分） 已知函数( )f x连续可导，且满足201( )()()2xf xxfxf tx dtx， （1）求( )f x的表达式； （2）求20( )limxf xx. 分析： （1）000()( )(

12、)u t xxxxf tx dtf u duf u du ， 两边求导：( )()()()fxfxxfxfxx，即( )()0fxxfx， ( )()0()()( )0fxxfxfxx fx ，解得：22( )1xxfxx， 故2221( )ln(1)arctan12xxf xdxxxxcx， 由初始条件：21(0)0,( )ln(1)arctan2ff xxxx， （2）222000( )( )1limlimlim22 (1)2xxxf xfxxxxxxx. （21） （本题满分 11 分） 设有抛物线2: l yabx，试确定常数, a b的值，使得满足以下两个条件： 7 （1）2: l

13、yabx与1yx相切； （2）2: l yabx与x轴所围成图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积最大. 分析：设切点00,xy，2ybx ，切线斜率为021kbx ， 从而0011,24xyabb ，代入切线方程：14(1)ab（1） ， 又旋转体的体积：223002 ()aaayVx dydyaab， 22 (23)0,Vaa解得： 220,2 (26 ),(0)40,( )4033aaVa VV ， 有23a 时体积最大.代入（1）所以：23,34ab. （22） （本题满分 11 分） 设m nA矩阵，且( )()r Ar A brn， （1）证明方程组Axb有且仅有1nr 个线性无关的解；

14、 （2）若1234123412341435231xxxxxxxxbxxxax 有三个线性无关的解，求, a b的值及方程组的通解。 分析： （1）令12,n r 为0Ax 的基础解系，为Axb的特解，则： 01122,n rn r 为Axb的一组解，下证明线性无关. 令：00110n rn rkkk，有 1 12201()0n rn rn rkkkkkk， （1）两边左乘A， 01()0n rkkkb，而0b ，于是010n rkkk， （2） ，代入（1） ： 1 1220n rn rkkk， 同时12,n r 为基础解系， 所以120n rkkk 代入（2） ，00k ，于是，01,n r

15、 线性无关. 再证仅有1nr 个线性无关解向量： 又若011,n r 为Axb的线性无关解（2nr 个） ， 8 则：110220110,n rn r 为0Ax 的解， 令1 122110n rn rkkk ，即有： 1 122111210()0n rn rn rkkkkkk ，由011,n r 线性无关，有1210n rkkk ，即121,n r 线性无关，与( )()r Ar A brn矛盾. （2）因Ax有三个线性无关的解，于是0Ax 至少有两个线性无关的解，于是： 4( )2,( )2r Ar A，由观察可知( )2r A ,所以( )2r A ， 111111111143510115

16、4213100031Abbaab ，则3,1ab， 方程通解为：124,0,3,0( 2,1,1,0)( 6,0,5,1)TTTxkk . （23） （本题满分 11 分） 设二次型2221231231 21 323( ,)222(0)f x x xxxxx xx xax x a通过正交变换化为标准形22212322yyby， （1）求常数, a b； （2）求正交变换矩阵。 分析： （1） 二次型对应矩阵1111111Aaa ， 由题意，A的特征值为：1232,b 因：123123trAA ，1,1ba （2）当122时，对应特征向量：12111,001， 当31 时，对应特征向量：3111 ， 9 正交化：取11112211112( ,)1,(,)21 ， （注：只需记住两步就行）33， 单位化：1231111111,1 ,1263021 ， 取123,Q ,使得1221Q AQ